1、第十講 排列與組合課程類型：復(fù)習(xí) 預(yù)習(xí) 習(xí)題 針對學(xué)員基礎(chǔ)：基礎(chǔ) 中等 優(yōu)秀授課班級授課日期學(xué)員高二數(shù)學(xué)16班5月25日D組楊佩云本章主要內(nèi)容：1.加法計數(shù)原理與乘法計數(shù)原理；2.排列數(shù)與組合數(shù)；3.排列的綜合應(yīng)用；4.組合的綜合應(yīng)用.本章教學(xué)目標(biāo)：1.掌握分類用加法分步用乘法兩類計數(shù)原理；2.掌握排列數(shù)與組合數(shù)的運算方法；3.掌握排列與組合的綜合應(yīng)用.第一節(jié) 計數(shù)原理曉明同學(xué)準(zhǔn)備周六從射洪到成都去玩，他可選擇乘坐汽車，一天有4班，也可選擇火車，一天有3班，那么曉明從射洪到成都共有多少中選擇？若曉明到了成都之后有準(zhǔn)備去都江堰，從成都到都江堰的汽車有6班，火車有2班，那么曉明從射洪到都江堰共有多

2、少種選擇？課前導(dǎo)入【知識與方法】一分類加法計數(shù)原理1完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法那么完成這件事共有N 種不同的方法2完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N 種不同的方法二分步乘法計數(shù)原理1完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法2完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N 種

3、不同的方法注意：1.在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事 2.在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分多步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事【例題與變式】題型一 計數(shù)原理【例1】某大學(xué)食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，試問要“完成的這件事”指的是什么？若配成“一葷一素”是否“完成了這件事”？要“完成配成套餐”這件事需分類，還是分步，為什么？【例2】展開后共有多少項？【例3】甲、乙、丙準(zhǔn)備周末出去郊游，問共有多少種情況？【變式1】(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4)展開后共有_項. 【變式2】將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有（）

4、A53種 B35種 C3種 D15種【變式3】某校高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班現(xiàn)選兩個班的學(xué)生參加社會實踐活動，若要求這兩個班來自不同年級，則有不同的選法_種【變式4】（2016新課標(biāo)）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（） A24 B18 C12 D9【例4】有一個圓被兩相交弦分成四塊，現(xiàn)用5種不同的顏料給這四塊涂色，要求相鄰的兩塊顏色不同，每塊只涂一種顏色，共有多少種涂色方法？【例5】（2018南開區(qū)一模）如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，

5、現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色（底面A1B1C1不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）A6種 B9種 C12種 D36種【變式5】（2017瀘州模擬）如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有3種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（） A12 B24 C18 D6【變式6】將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂在如圖所示的圖中，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？【例6】高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）A16種B

6、18種C37種D48種【變式7】3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？【例7】用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的：(1)四位密碼？(2)四位數(shù)？(3)四位奇數(shù)？【變式8】（2015四川）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（） A144個 B120個 C96個 D72個1某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有（ ）A6種 B7種 C8種 D9種23名學(xué)生報名參加籃球、足球、排球、計算機課外興趣小組，每人選報一門，則不同的報名方案有

7、_種. 3甲、乙、丙3個班各有三好學(xué)生3,5,2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選2名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會，共有_種不同的推選方法4. 用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報，板報設(shè)計如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆問：該板報有多少種書寫方案？1.實際完成情況：按計劃完成；超額完成，原因分析_；未完成計劃內(nèi)容，原因分析_.2.授課及學(xué)員問題總結(jié)：第二節(jié) 排列與組合的應(yīng)用曉明同學(xué)準(zhǔn)備周天用自己存了很久的零花錢買一注七星彩，你能幫他算算他中一等獎的概率大概是多少嗎？（假定每個數(shù)字只能出現(xiàn)一次）課前導(dǎo)入【知識與方法】一排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(

8、2)C性質(zhì)(1)0！1；An!(2)CC；CCC二排列與組合的應(yīng)用1.特殊元素與特殊位置需要_.2.相鄰問題用_.3.不相鄰問題用_.4.定序問題用_.5.平均分組問題用_.6.元素相同問題用_.三排列組合綜合應(yīng)用的常用策略1.正難則反策略.2.若題中有多個需要滿足的要求，則逐個擊破，并優(yōu)先考慮特殊元素.【例題與變式】類型一 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略 位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。【例1

9、】由0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù). 【變式1】（2015四川）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（） A144個 B120個 C96個 D72個【例2】7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？【變式2】六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A192種 B216種 C240種 D288種要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部

10、也必須排列.類型二 相鄰元素捆綁策略【例1】7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法. 【例2】某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 .【變式1】（2017濱州一模）5位同學(xué)站成一排照相，其中甲與乙必須相鄰，且甲不能站在兩端的排法總數(shù)是（） A40 B36 C32 D24【變式2】（2017豐臺區(qū)一模）小明跟父母、爺爺奶奶一同參加中國詩詞大會的現(xiàn)場錄制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總數(shù)為（） A60 B72 C84 D96 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端.類型三 不相鄰問

11、題插空策略【例1】一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈，2個相聲，3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？【例2】已知兩個不同的蘋果，兩個不同的梨子和一個桃子，隨機把三種水果排成一排，則相同水果都不相鄰的概率為_.【變式1】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 .【變式2】某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72 B120 C144 D168【變式3】(2017·北京西城區(qū)質(zhì)檢)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，

12、若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種. 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插.空模型處理類型四 定序問題倍縮空位插入策略【例1】7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法.【例2】有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？【變式1】期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?【變式2】有5個同學(xué)排隊，問：乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少種？類型五 平均分組問題除法策略 平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避

13、免重復(fù)計數(shù).【例1】6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？【例2】（2016重慶模擬）將甲乙等5名交警分配到三個不同的路口疏通交通，每個路口至少一人，且甲乙在同一路口的分配方案有_種.【例3】（2016西安校級二模）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了5名即將畢業(yè)的大學(xué)生進行教學(xué)實習(xí)活動，現(xiàn)將他們分配到高一年級的1，2，3三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（ ） A30種 B90種 C150種 D180種【變式1】將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？【變式2】某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安

14、排方案種數(shù)為_.【變式3】（2017南雄市二模）5位大學(xué)畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，則不同的分配方法共有（） A25種 B60種 C90種 D150種類型六 重排問題求冪策略 允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種.【例】把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法.【變式1】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 .【變式2】某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電

15、梯，下電梯的方法 . 一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.類型六 多排問題直排策略【例】8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法. 【變式】有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 .類型七 元素相同問題隔板策略 將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為.【例】有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 【變式1】10個相同的球裝5個盒中,每

16、盒至少一有多少裝法？【變式2】求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)（若改為正整數(shù)解呢？） 1有A，B，C，D，E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次A，B兩位學(xué)生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名請你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列的種數(shù)為()A6 B.18 C.20 D.242將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()A10 B.20 C.30 D.403我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A18個 B.15個 C.12

17、個 D.9個4(2017·唐山聯(lián)考)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A24對 B.30對 C.48對 D.60對5(2017·青島二模)將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18種 B.24種 C.36種 D.72種6.(2017·福建福州聯(lián)考)甲、乙等5人在9月3號參加了紀念抗日戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵慶典后，在天安門廣場排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有() A12種 B.24種 C.48種 D.120種7(2017·佛山質(zhì)檢)設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|x