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文檔簡介

1、 比較法證明不等式的依據是:不等式的意義及實數比比較法證明不等式的依據是:不等式的意義及實數比較大小的充要條件作差比較法證明的一般步驟是:作差;較大小的充要條件作差比較法證明的一般步驟是:作差;恒等變形;判斷結果的符號;下結論其中,變形是恒等變形;判斷結果的符號;下結論其中,變形是證明推理中一個承上啟下的關鍵,變形的目的在于判斷差的證明推理中一個承上啟下的關鍵,變形的目的在于判斷差的符號,而不是考慮差能否化簡或值是多少,變形所用的方法符號,而不是考慮差能否化簡或值是多少,變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運用要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運用一切有

2、效的恒等變形的方法一切有效的恒等變形的方法 綜合法證明不等式的思維方向是綜合法證明不等式的思維方向是“順推順推”,即由已知的不,即由已知的不等式出發,逐步推出其必要條件等式出發,逐步推出其必要條件(由因導果由因導果),最后推導出所,最后推導出所要證明的不等式成立要證明的不等式成立 綜合法證明不等式的依據是:已知的不等式以及邏輯推綜合法證明不等式的依據是:已知的不等式以及邏輯推證的基本理論證明時要注意的是:作為依據和出發點的幾證的基本理論證明時要注意的是:作為依據和出發點的幾個重要不等式個重要不等式(已知或已證已知或已證)成立的條件往往不同,應用時要成立的條件往往不同,應用時要先考慮是否具備應有

3、的條件,避免錯誤,如一些帶等號的不先考慮是否具備應有的條件,避免錯誤,如一些帶等號的不等式,應用時要清楚取等號的條件,即對重要不等式中等式,應用時要清楚取等號的條件,即對重要不等式中“當當且僅當且僅當時,取等號時,取等號”的理由要理解掌握的理由要理解掌握 分析法證明不等式的依據也是不等式的基本性質、已知分析法證明不等式的依據也是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的思維方向是思維方向是“逆推逆推”,即由待證的不等式出發,逐步尋找使它,即由待證的不等式出發,逐步尋找使它成立的充分條件成立的充分條件(執果索因執果索

4、因),最后得到的充分條件是已知,最后得到的充分條件是已知(或或已證已證)的不等式的不等式 當要證的不等式不知從何入手時,可考慮用分析法去證當要證的不等式不知從何入手時,可考慮用分析法去證明,特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更為有效明,特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更為有效 由教材內容可知,分析法是由教材內容可知,分析法是“執果索因執果索因”,步步尋求上一,步步尋求上一步成立的充分條件,而綜合法是步成立的充分條件,而綜合法是“由因導果由因導果”,逐步推導出不,逐步推導出不等式成立的必要條件,兩者是對立統一的兩種方法一般來等式成立的必要條件,兩者是對立統一的兩種方法一般來說,對于較復

5、雜的不等式,直接用綜合法往往不易入手,因說,對于較復雜的不等式,直接用綜合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索證題途徑,然后用綜合法加以證明,此,通常用分析法探索證題途徑,然后用綜合法加以證明,所以分析法和綜合法可結合使用所以分析法和綜合法可結合使用 (1)反證法:先假設要證明的結論是不正確的,然后利用反證法:先假設要證明的結論是不正確的,然后利用公理、已有的定義、定理、命題的條件逐步分析,得到和命題公理、已有的定義、定理、命題的條件逐步分析,得到和命題的條件的條件(已有的定義、定理、公理等已有的定義、定理、公理等)矛盾的結論,以此說明假矛盾的結論,以此說明假設的結論不成立,從而原來的命題結

6、論正確設的結論不成立,從而原來的命題結論正確 (2)放縮法:將需要證明的不等式的值適當地放大放縮法:將需要證明的不等式的值適當地放大(或縮小或縮小),使不等式由繁化簡,達到證明的目的使不等式由繁化簡,達到證明的目的 例例4若若a,b,c為直角三角形三邊,為直角三角形三邊,c為斜邊求證:為斜邊求證:a3b3c3.所以所以f(x)在在(0,)上是增函數,使用的證明方法是上是增函數,使用的證明方法是 ()A綜合法綜合法B分析法分析法C反證法反證法 D以上都不是以上都不是解析:上述證明過程是從已知條件出發,經過推理論證得到解析:上述證明過程是從已知條件出發,經過推理論證得到結論,用了綜合法結論,用了綜

7、合法答案:答案:A解析:解析:“xnxn1或或xnxn1”的對立面是的對立面是“xnxn1”,“任任意一個意一個”的反面是的反面是“存在某一個存在某一個”答案:答案:B3若若a0,b0,則,則paabb,qabba的大小關系是的大小關系是 ()Apq BpqCpq Dpq答案:答案:A答案:答案:C二、填空題二、填空題5設設、為銳角,且為銳角,且Msin(),Nsinsin,則,則M、N的大小關系是的大小關系是_解析:解析:sin()sincoscossinsinsin.答案:答案:M答案:答案:a0,b0,ab三、解答題三、解答題9設設ab0,求證:,求證:3a32b33a2b2ab2.證明:證明:3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因為因為ab0,所以,所以ab0,3a22b20,從而從而(3a22b2)(ab)0.故故3a32b33a2b2ab2成立。成立。10已知已知a,b,c,d都是實數,且都是實數,且a2b21,c2d21, 求證:求證:|acbd|1.法三法三(分析法分析法):要證:要證|acbd|1,只需證明只需證明(acbd)21. 即只需證明即只需證明a2c22abcdb2d21.由于由于a2b21,

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