1、第第9講講 周長、面積、體周長、面積、體積、表面積積、表面積梁 碧 湘第一節第一節 巧求周長巧求周長l 專題簡析：專題簡析：l 對于一些不規則的比較復雜的幾何圖形，對于一些不規則的比較復雜的幾何圖形，要求它們的周長，我們可以運用要求它們的周長，我們可以運用平移的方法平移的方法，把它轉化為標準的長方形或正方形，然后再利把它轉化為標準的長方形或正方形，然后再利用周長公式進行計算。用周長公式進行計算。l 將一個大長方形或正方形分割成若干個長方將一個大長方形或正方形分割成若干個長方形和正方形，那么圖形周長就會形和正方形，那么圖形周長就會增加幾個長或增加幾個長或寬寬；反之，將若干個小長方形或正方形合成一

2、；反之，將若干個小長方形或正方形合成一個大長方形或正方形，圖形周長就會減少幾個個大長方形或正方形，圖形周長就會減少幾個長或寬。長或寬。例題例題1 ： 下圖是一個樓梯的側面圖，求此圖下圖是一個樓梯的側面圖，求此圖形的周長。形的周長。l例題例題2 ：下圖是由：下圖是由6個邊長個邊長2厘米的正方形拼厘米的正方形拼成的，這個圖形的周長是多少厘米？成的，這個圖形的周長是多少厘米？ 分析：這題我們可以用平移的方法將它轉化 為一個長方形，如下圖：例題例題3 ： 兩個大小相同的正方形拼成一個兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來兩個正方形周長的和減長方形后，周長比原來兩個正方形周長的和減少了少了6厘

3、米。原來一個正方形的周長是多少厘？厘米。原來一個正方形的周長是多少厘？ 例題例題4： 將一張邊長為將一張邊長為36厘米的正方形厘米的正方形紙，剪成紙，剪成4個完全一樣的小正方形紙片，個完全一樣的小正方形紙片，這這4個小正方形周長的和比原來的正方個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米？形周長增加了多少厘米？第二節第二節 組合圖形的面積組合圖形的面積第一專題簡析：第一專題簡析：組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組合，二是重一是拼合組合，二是重疊組合疊組合。要正確解答

4、組合圖形的面積，應該注意以下。要正確解答組合圖形的面積，應該注意以下幾點：幾點：1，切實掌握有關簡單圖形的概念、公式，牢固建立空，切實掌握有關簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；間觀念；2，仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基，仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的；本圖形組合而成的；3，適當采用增加輔助線等方法幫助解題；，適當采用增加輔助線等方法幫助解題；4，采用割、補、分解、代換等方法，可將復雜問題變，采用割、補、分解、代換等方法，可將復雜問題變得簡單。得簡單。例例1 ： 一個等腰直角三角形，最長一個等腰直角三角形，最長的邊是的邊是12厘米，這個三角形的面

5、厘米，這個三角形的面積是多少平方厘米？積是多少平方厘米？l分析與解答分析與解答 ： 由于此三角形中只知道最長的由于此三角形中只知道最長的邊是邊是12厘米，所以，不能用三角形的面積公式厘米，所以，不能用三角形的面積公式來計算它的面積。我們可以假設有來計算它的面積。我們可以假設有4個這樣的個這樣的三角形，且拼成了下圖正方形。顯然，這個正三角形，且拼成了下圖正方形。顯然，這個正方形的面積是方形的面積是1212，那么，一個三角形的，那么，一個三角形的面積就是面積就是12124=36平方厘米。平方厘米。例例3： 四邊形四邊形ABCD和四邊形和四邊形DEFG都都是正方形，已知三角形是正方形，已知三角形AF

6、H的面積是的面積是7平方厘米。三角形平方厘米。三角形CDH的面積是多少的面積是多少平方厘米？平方厘米？分析分析 ： 設大正方形的邊長是設大正方形的邊長是a，小正方，小正方形的邊長是形的邊長是b。（1）梯形）梯形EFAD的面積是（的面積是（a+b）b2，三角形，三角形EFC的面積也是的面積也是（a+b）b2。所以，兩者的面積。所以，兩者的面積相等。相等。（2）因為三角形）因為三角形AFH的面積的面積=梯形梯形EFAD的面積梯形的面積梯形EFHD的面積，而的面積，而三角形三角形CDH的面積的面積=三角形三角形EFC的面積的面積梯形梯形EFHD的面積，所以，三角形的面積，所以，三角形CDH的面積與三

7、角形的面積與三角形AFH的面積相等，的面積相等，也是也是7平方厘米。平方厘米。l例例4 下圖中正方形的邊長為下圖中正方形的邊長為8厘米，厘米，CE為為20厘米，梯形厘米，梯形BCDF的面積是多少平方厘米？的面積是多少平方厘米？l分析分析 ：要求梯形的面積，關鍵是要求出上：要求梯形的面積，關鍵是要求出上底底FD的長度。連接的長度。連接FC后就能得到一個三角后就能得到一個三角形形EFC，用三角形，用三角形EBC的面積減去三角形的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形的面積就能得到三角形EFC的面積：的面積：8202882=48平方厘米。平方厘米。FD=48220=4.8厘米，所求梯形的面積厘米，

8、所求梯形的面積就是（就是（4.88）82=51.2平方厘米。平方厘米。例例5 圖中圖中ABCD是長方形，長為是長方形，長為6，寬為，寬為4，三角形三角形EFD的面積比三角形的面積比三角形ABF的面積大的面積大6平方平方厘米，求厘米，求ED的長。的長。l 分析：分析： 因為三角形因為三角形EFD的面積比三角形的面積比三角形ABF的面積大的面積大6平方厘米，所以，三角形平方厘米，所以，三角形BCE的面積比長方形的面積比長方形ABCD的面積大的面積大6平方平方厘米。三角形厘米。三角形BCE的面積是的面積是646=30平平方厘米，方厘米，EC的長則是的長則是3026=10厘米。厘米。因此，因此，ED的

9、長是的長是104=6厘米。厘米。組合圖形的面積（二）組合圖形的面積（二） 專題簡析：專題簡析：在組合圖形中，三角形的面積出現的機會很多，在組合圖形中，三角形的面積出現的機會很多，解題時我們還可以記住下面三點：解題時我們還可以記住下面三點：1，兩個三角形等底、等高，其面積相等；，兩個三角形等底、等高，其面積相等；2，兩個三角形底相等，高成倍數關系，面積也，兩個三角形底相等，高成倍數關系，面積也成倍數關系；成倍數關系；3，兩個三角形高相等，底成倍數關系，面積也，兩個三角形高相等，底成倍數關系，面積也成倍數關系。成倍數關系。l例題例題2 下圖中，邊長為下圖中，邊長為10和和15的兩個正方體的兩個正方

10、體并放在一起，求三角形并放在一起，求三角形ABC（陰影部分）的（陰影部分）的面積。面積。l分析分析 三角形三角形ADC的面積是的面積是10152=75，而三角形而三角形ABC的高是三角形的高是三角形BCD高的高的1510=1.5倍，它們都以倍，它們都以BC為邊為底，所為邊為底，所以，三角形以，三角形ABC的面積是三角形的面積是三角形BCD的的1.5倍。陰影部分的面積是：倍。陰影部分的面積是：7.5（11.5）1.5=45。例題例題3 ： 兩條對角線把梯形兩條對角線把梯形ABCD分割成四個分割成四個三角形。已知兩個三角形的面積（如圖所示），三角形。已知兩個三角形的面積（如圖所示），求另兩個三角形

11、的面積各是多少？（單位：求另兩個三角形的面積各是多少？（單位：平方厘米）平方厘米）分析：分析：1，因為三角形，因為三角形ABD與三角形與三角形ACD等底等高，等底等高，所以面積相等。因此，三角形所以面積相等。因此，三角形ABO的面積的面積和三角形和三角形DOC的面積相等，也是的面積相等，也是6平方厘米。平方厘米。2，因為三角形，因為三角形BOC的面積是三角形的面積是三角形DOC面面積的積的2倍，所以倍，所以BO的長度是的長度是OD的的2倍，即倍，即三角形三角形ABO的面積也是三角形的面積也是三角形AOD的的2倍。倍。所以，三角形所以，三角形AOD的面積是的面積是62=3平方厘平方厘米。米。l例

12、題例題4 ： 在三角形在三角形ABC中，中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是，陰影部分的面積是20平方平方厘米，求三角形厘米，求三角形ABC的面積。的面積。分析分析（1）因為）因為CE=3AE，所以，三角形，所以，三角形ADC的面的面積是三角形積是三角形ADE面積的面積的4倍，是倍，是20（13）=80平方厘為；平方厘為；（2）又因為）又因為DC=2BD，所以，三角形，所以，三角形ABD的面積是三角形的面積是三角形ADC面積的一半，是面積的一半，是802=40平方厘米。因此，三角形平方厘米。因此，三角形ABC的的面積是面積是8040=120平方厘主。平方厘主。復雜面積問題復雜面積問

13、題專題簡析：專題簡析：解答有關解答有關“圖形面積圖形面積”問題時，應注意以下問題時，應注意以下幾點：幾點：1，細心觀察，把握圖形特點，細心觀察，把握圖形特點，合理地進行切合理地進行切拼拼，從而使問題得以順利地解決；，從而使問題得以順利地解決；2，從整體上觀察圖形特征，掌握圖形本質，從整體上觀察圖形特征，掌握圖形本質，結合必要的結合必要的分析推理和計算，使隱蔽的數分析推理和計算，使隱蔽的數量關系明朗化量關系明朗化。l例例4：街心花園中一個正方形的花壇四：街心花園中一個正方形的花壇四周有周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是面積是12平方米，中間花壇的面積是平方米，中

14、間花壇的面積是多少平方米？多少平方米？例例1：街心花園中一個正方形的花壇四周有：街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平平方米，中間花壇的面積是多少平方米？方米，中間花壇的面積是多少平方米？分析與解答：分析與解答： 把水泥路分成四個同樣大小的長方形把水泥路分成四個同樣大小的長方形（如下圖）。因此，一個長方形的面積（如下圖）。因此，一個長方形的面積是是124=3平方米。因為水泥路寬平方米。因為水泥路寬1米，米，所以小長方形的長是所以小長方形的長是31=3米。從圖中米。從圖中可以看出正方形花壇的邊長是小長方形可以看出正方形花壇的邊

15、長是小長方形長與寬的差，所以小正方形的邊長是長與寬的差，所以小正方形的邊長是31=2米。中間花壇的面積是米。中間花壇的面積是22=4平方平方米。米。l例例2：一塊正方形的鋼板，先截去寬：一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長分米的長方形，又截去寬方形，又截去寬8分米的長方形（分米的長方形（如圖如圖），面），面積比原來的正方形減少積比原來的正方形減少181平方分米。原正方平方分米。原正方形的邊長是多少？形的邊長是多少？分析與解答：分析與解答： 把陰影部分剪下來，并把剪下的兩個把陰影部分剪下來，并把剪下的兩個小長方形拼起來（如圖），再被上長、小長方形拼起來（如圖），再被上長、寬分別是寬分別是8分米、

16、分米、5分米的小長方形，分米的小長方形，這個拼合成的長方形的面積是這個拼合成的長方形的面積是181+85=221平方分米，長是原來正平方分米，長是原來正方形的邊長，寬是方形的邊長，寬是8+5=13分米。所以，分米。所以，原來正方形的邊長是原來正方形的邊長是22113=17分米。分米。第三節第三節 體積體積專題簡析：專題簡析：解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：點：（1）物體沉入水中，物體沉入水中，水面上升部分的體積等水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等于物體的體積。這是物下降部分

17、的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全如果物體不全部浸在水中部浸在水中，那么排開水的體積就等于浸，那么排開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。在水中的那部分物體的體積。解答立體圖形的體積問題時要注意：解答立體圖形的體積問題時要注意：（2）把一種形狀的物體變為另一種形狀的物）把一種形狀的物體變為另一種形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。體后，形狀變了，但它的體積保持不變。（3）求一些不規則形體體積時，可以通過變）求一些不規則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。形的方法求體積。（4）求與體積相關的最大、最小值時，要大）求與體積相關的

18、最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定勢。膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定勢。l例題例題1：有大、中、小三個正方體水池，它：有大、中、小三個正方體水池，它們的內邊長分別為們的內邊長分別為6米、米、3米、米、2米。把兩堆米。把兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了面分別升高了6厘米和厘米和4厘米。如果將這兩厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？高多少厘米？分析：中、小水池升高部分是一個長方體，它的分析：中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水

19、池水面分別體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高了升高了6厘米和厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是厘米，兩堆碎石的體積就是330.06+220.04=0.7（立方米）。把（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是它沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。了多少厘米。 330.06+220.04=0.7（立方米）（立方米）0.76的平方的平方=7/360（米）（米）=1又又17/18（厘米）（厘米） l例題例題2：一個底面半徑是：一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶厘米的圓柱形瓶中，水深中，水深8

20、厘米，要在瓶中放入長和寬都是厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？放在水中，水面上升幾厘米？分析：分析：l在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，排開水的體積是排開水的體積是8815=960（立方厘米）。（立方厘米）。而現在瓶中水深是而現在瓶中水深是8厘米，要淹沒厘米，要淹沒15厘米高的厘米高的鐵塊，水面就要上升鐵塊，水面就要上升158=7（厘米），需要（厘米），需要排開水的體積是（排開

21、水的體積是（3.14101088）7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。水中。分析：分析：當鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是當鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14101088=250（平方厘米）。水的形狀（平方厘米）。水的形狀變了，但體積還是變了，但體積還是3.1410108=2512（立方厘（立方厘米）。水的高度是米）。水的高度是2512250=10.048（厘米），上（厘米），上升升10.0488=2.048（厘米）（厘米）3.1410108（3.14101088）8=25122508=10.0488=2.048（厘米）（厘米）l

22、例題例題3：某面粉廠有一容積是：某面粉廠有一容積是24立方米的長立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當貼倍。當貼著它一最大的內側面將面粉堆成一個最大著它一最大的內側面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖28-1所示）。所示）。分析：分析：設圓錐體的底面半徑是設圓錐體的底面半徑是r，則長方體的高和寬也都是，則長方體的高和寬也都是r，長是，長是2r。長方體的容積是。長方體的容積是2rrr=24，即，即r的的立方立方=12。這個半圓錐體的體積是。這個半圓錐體的體積是1/3r的平方的平方r2=1/6r的立方，將的

23、立方，將r的立方的立方=12代入，就可代入，就可以求得面粉的體積。以求得面粉的體積。設圓錐體的底面半徑是設圓錐體的底面半徑是r，則長方體的容積是，則長方體的容積是2rrr=24，r的立方的立方=12。1/33.14r的平方的平方r2=1/63.14r的立方的立方=1/63.1412=6.28（立方米）（立方米）l例題例題4：如果把：如果把12件同樣的長方體物品打包，件同樣的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？打包物體的表面積最小呢？ 圖284 c b a 圖285 圖286分析：分析：l設長方體物品的長、寬、高

24、分別是設長方體物品的長、寬、高分別是a、b、c，并且并且abc（入土（入土28-4）。比較）。比較“34”和和“26”兩種包法。圖兩種包法。圖28-5中大長方體表面積中大長方體表面積為為6ab+8ac+24bc，圖，圖28-6中大長方體的表中大長方體的表面積為面積為4ab+12ac+24bc，兩個式子中都曲，兩個式子中都曲調相同的部分調相同的部分4ab+8ac+24bc后，后，式與式與式式的大小要看的大小要看2ab與與4ac的大小。（的大小。（1）當）當b=2c時，時，2ab=￥ac，兩種包法相同。（，兩種包法相同。（2）當）當b2c時，時，“34”的包法表面積最小。（的包法表面積最小。（3）

25、當）當b2c時，時，“26”的包法表面積最小。的包法表面積最小。l例題例題5：一只集裝箱，它的內尺寸是：一只集裝箱，它的內尺寸是181818。現在有批貨箱，它的外尺寸。現在有批貨箱，它的外尺寸是是149。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？分析：因為集裝箱內尺寸分析：因為集裝箱內尺寸18不是貨箱尺寸不是貨箱尺寸4的倍數，的倍數，所以，只能先在所以，只能先在181618的空間放貨箱，可放的空間放貨箱，可放181618（149）=144（只）。這時還（只）。這時還有有18218的空間，但只能在的空間，但只能在18216的空間的空間放貨箱，可放放貨箱，可放18216（149）=

26、16（只）。最后剩下（只）。最后剩下1822的空間無法再放貨箱，的空間無法再放貨箱，所以最多能裝所以最多能裝144+16=160（只）。（只）。181618（149）+18216（149）=144+16=160（只）（只） 第第4講講 表面積表面積專題簡析：專題簡析：l小學階段所學的立體圖形主要有四種長方體、小學階段所學的立體圖形主要有四種長方體、 正方體、圓柱體和圓錐體。正方體、圓柱體和圓錐體。 l在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點：點：（1）充分利用）充分利用正方體正方體六個面六個面 的面積都相等，每個的面積都相等，每個面都是正方形的特點

27、。面都是正方形的特點。（2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于積等于切面面積的兩倍切面面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形。反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積粘合面積的兩倍。的兩倍。（3）若把幾個長方體拼成一個）若把幾個長方體拼成一個表面積最大表面積最大的長方的長方體，應把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體，應把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成一個體拼成一個表面積最小表面積最小的長方體，應把它們最大的長方體，應把它們最大的面拼合起來。的面拼合起來。l例題例題1：從一個棱長：從一個棱長10厘

28、米的正方體木塊上厘米的正方體木塊上挖去一個長挖去一個長10厘米、寬厘米、寬2厘米、高厘米、高2厘米的厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？小長方體，剩下部分的表面積是多少？這是一道開放題，分幾種情況考慮：這是一道開放題，分幾種情況考慮：按圖按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為積為592平方厘米。平方厘米。按圖按圖27-2所示，在某個面挖，剩下部分的表面積所示，在某個面挖，剩下部分的表面積為為632平方厘米。平方厘米。按圖按圖27-3所示，挖通某兩個對面，剩下部分的表所示，挖通某兩個對面，剩下部分的表面積為面積為672平方厘米。平方厘米。 圖27

29、-1 圖27-2 圖27-3l例題例題2：把：把19個棱長為個棱長為3厘米的正方體重疊起厘米的正方體重疊起來，如圖來，如圖27-4所示，拼成一個立體圖形，求這所示，拼成一個立體圖形，求這個立個立 體圖形的表面積。體圖形的表面積。 圖274l要求這個復雜形體的表面積，必須從整體入手，要求這個復雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個方向觀察，每個方向上的小從上、左、前三個方向觀察，每個方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所所示）。示）。 圖275 從前往后看 從左往右看 從上往下看而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向而從另外三個方向

30、上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的表面積可采的面積是相等的。整個立體圖形的表面積可采用（用（S上上+S左左+S前）前）2來計算。來計算。（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）（平方厘米）l例題例題3：把兩個長、寬、高分別是：把兩個長、寬、高分別是9厘米、厘米、7厘厘米、米、4厘米的相同長方體，拼成一個厘米的相同長方體，拼成一個 大長方體，大長方體，這個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？這個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？分析：把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，分析：把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的表面需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個拼合面的面積最的表面積最小，就必須使兩個拼合面的面積最大，即減少兩個大，即減少兩個97的面。的面。（99+94+74）22972=（6