1、絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統一考試理科數學本試卷共5頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1 .答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用 0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3 .請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上 答題無效。4 .作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共 12小題，每小題

2、5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目 要求的.1 .設集合 A= x|x2-5x+6>0 , B= x|x-1<0,貝U AA B=A. ", 1)B. (-2, 1)C. (-3, -1)D. (3, +8)2 .設z=-3+2i ,則在復平面內Z對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限T T T T3 .已知 AB =(2,3), AC=(3, t), BC=1,則 AB BC =A.-3B.-2C.2D.34. 2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面

3、軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日12點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為Mi,月球質量為 M2,地月距離為 R, L2點到月球的距離為 r,根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程:C13M1 M2 一 、M1E(r r)R一 r 設0f = L ,由于口的值很小，因此在近似計算中R讓心匚Q3,則r的近似值為（1 ：）5.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉最高分、1個最低分，得到 7個有效評分.7個有效評分與9個原始

4、評分相比，不變的數字特征是B.平均數C.方差D.極差6.若a>b,則A.ln(a- b)>0B.3a<3bC.a3- b3>0D.a >b7.% 3為兩個平面，則 all 3的充要條件是a內有無數條直線與3平行8.a內有兩條相交直線與3平行8.C.a,3平行于同一條直線若拋物線2y =2px（p>0）的焦點是橢圓3PD.a, 3垂直于同一平面2y+匚=1的一個焦點，則p=PA. 2B. 3C. 4D. 89.卜列函數中,n一為周期且在區間2（一，4Jl一）單調遞增的是2A . f(x)=co史xB . f(x)= sin 2xC. f(x)=cos xD.f

5、(x)= sin x冗10.已知 (0 , ), 2sin 2 a=cos 2 a+1 ,貝U sin a=1B.A. 一5D2V5522X y22211 .設F為雙曲線C： -y、=1(a >0,b >0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x +y =a a b交于P, Q兩點.若PQ = OF，則C的離心率為A.應B. 73C. 2D. 7512. 設函數f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2 f (x),且當xW (0,1時，f (x) = x(x 1).若對任意，,8xu(-oo,m 都有f (x) > ,則m的取值范圍是 9-：9B.-二,3C.-：5

6、,2D.-：8 .,3,4二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.13. 我國高鐵發展迅速，技術先進 .經統計，在經停某站的高鐵列車中，有 10個車次的正點率為 0.97,有 20個車次的正點率為 0.98,有10個車次的正點率為 0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率 的估計值為.14. 已知 f(x)是奇函數，且當 x<0 時，f(x)=eaxf(ln2) = 8.ua=.15. zXABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=一，則AABC的面積為. 316. 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體

7、或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有 個面，其棱長為.(本題第一空2分，第二空3分.)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據要求作答(一)必考題：共 60分。17. (12 分)如圖，長方體 ABCD AB1C1D1的底面ABCD是正方形，點 E在AA1上，BE，EC1.用

8、門/ / «1/ (1)證明：BE，平面 EB1C1；(2)若AE=A1E,求二面角BECC1的正弦值.18. (12 分)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發球權，先多得 2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5,乙發球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束.(1)求 P (X=2)；(2)求事件 X=4且甲獲勝”的概率.19. （12 分）已知數列an和bn滿足 a1=1, b1=0, 4an卡= 3anbn +4 , 4bn

9、由=3bnan-4.(1)證明：an+bn是等比數列，an 6n是等差數列;(2)求an和bn的通項公式.20. (12 分)一，一、,.，x 1已知函數f x =lnx-.1 -1(1)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；(2)設xo是f(x)的一個零點，證明曲線y=ln x在點A(x0, ln x。)處的切線也是曲線 y = ex的切線.21 . ( 12 分)已知點A(-2,0), B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-1.記M的軌跡為曲線 C.2(1)求C的方程，并說明 C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交 C于P, Q兩點，點P在第一象限，

10、PEx軸，垂足為E,連結QE并延長交C于點G.(i)證明：PQG是直角三角形；(ii)求PQG面積的最大值.(二)選考題：共1。分.請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分.22 .選彳4-4：坐標系與參數方程(10分)在極坐標系中，O為極點，點M (%,%)( P0a0)在曲線C: P=4sin8上，直線i過點A(4,0)且與om 垂直，垂足為P.(1)當% =：時，求4及i的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.23 .選彳4-5：不等式選講(10分)已知 f (x) =|x -a |x | x -2 |(x -a).(1)

11、當a =1時，求不等式f (x) <0的解集；若x w (-,1時，f (x) <o,求a的取值范圍.2019年普通高等學校招生全國統一考試理科數學-參考答案1 . A2, C3, C6. C7. B8. D4. D5, A9. A10. B 11. A 12. B13. 0.9814. W15.17.6 娟16. 26； 72-1解：(1)由已知得，B1C1 _L平面ABBA , BEu平面ABBA, 故 B1C1 .L BE .又 BE _L EC1,所以 BE _L平面 EB1cl.(2)由(1)知 ZBEB1 =90，由題設知 RtAABE = RtAA1B1E ,所以 /

12、AEB = 45)故 AE =AB , AA =2AB .以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向,| DA |為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,2)則C (0, 1, 0) , B (1, 1, 0),C1 (0, 1,，E (1, 0, 1) , CE=(1,-1,1) , CC1 = (0,0,2).設平面EBC的法向量為n= (x, y, x),則眄"。,即!x=0,CE n =0, x - y z =0,所以可取n =(0, -1,-1).設平面ECCi的法向量為m= (x, y, z),則區1m =。,即(2z"CE m =0, x - y z -

13、0.所以可取m= (1, 1, 0)nr'.日十cos : n, m =1=.I n II m I 2所以，二面角BECC1的正弦值為 . 218.解：(1) X=2就是10： 10平后，兩人又打了 2個球該局比賽結束，則這 2個球均由甲得分，或者均由乙 得分.因此 P (X=2) =0.5 >0.4+ (105) X (1 -04) =05.(2) X=4且甲獲勝，就是10: 10平后，兩人又打了 4個球該局比賽結束，且這 4個球的得分情況為：前 兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分. 因此所求概率為0.5 X1O4) + (1 -0.5) X0.4/5 0.4=0.1 .1

14、，,、19.解：(1)由題設得 4(an+ +bn+) =2(an +bn),即 an書 +bn+ =2(an +bn).1 又因為a1+b1=l,所以an +bn)是首項為1,公比為一的等比數歹U.2由題設得4(an + 一燈由)=4(第bn) +8 ,即 an由-bn+ =an -bn +2 .又因為a1)1=l,所以a。-，是首項為1,公差為2的等差數列. 1(2)由(1)知，an+bn=, anbn=2n1.111所以 an =2(an +a)+(an -bn) =了+n-萬,111bn =2(an +bn) - -bn) = 27 - 門 +萬20.解：(1) f (x)的定義域為(

15、0, 1) , ( 1, +8)單調遞增.e 12 e2 1 e2 -3因為 f (e) =1 <0, f (e2)=2-=>0,e-1e2 -1 e2 -1所以f (x)在(1, +8)有唯一零點 X1,即f (x1)=0 .c 11 、, X1 1又0一 <1 , f () = Tn X1 += - f (x1)= 0 ,x1x1x1 71故f （x）在（0, 1）有唯一零點一.Xi綜上，f（X）有且僅有兩個零點.（2）因為-=eX。nx（）一，1,故點B （ Tnx。，一）在曲線y=e上.X。 X0 1由題設知f（X。）= 0 ,即In x。=,X。-11.1Xo 1-

16、 一 1n X。- 1故直線AB的斜率k =色二X。x。一-lnx°-x。xo 1 丫一 一X。-11Xo曲線y=ex在點B（-In x°,L）處切線的斜率是Xo11一，曲線y = |nx在點A（x0,ln x。）處切線的斜率也是 一,XoXo所以曲線y =ln x在點A（x0,ln x。）處的切線也是曲線 y=ex的切線.12221 .解：（1）由題設得一，一=-,化簡得 人+工=1（兇。2）,所以C為中心在坐標原點，焦x 2 x -2242點在x軸上的橢圓，不含左右頂點.（2） （i）設直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx（k。）.r2得 x = ± ，.=

17、11 2k2、一 2記 u =,貝U P(u, uk),Q(u, -uk),E(u,。).,1 2k2于是直線QG的斜率為k,方程為y=k(x-u). 22k,、y =-(x -u),由，2 2 2得L -,42(2+k2)x2 -2uk2x + k2u2 -8 =。.uk32 2 k2(ii)由(i)得 |PQ|=2ug |PG| 二2uk . k2 12 k2一 1 一一一所以 PQG 的面積 S = -|P(Q| PG |8k(1 k2)一 (1 2k2)(2 k2)18(- k)k121+2(, + k)2u(3k2 - 2)僅G (xG, yG),則u和xG是方程的解，故 xG =2

18、，由此信yG2 k2uk3,2 -uk從而直線PG的斜率為2ku(3k2 2)2 U2 k2所以PQ _L PG ,即APQG是直角三角形.1 ， ，一設1=卜+,則由k>0得t>2,當且僅當k=1時取等 k一 8t16因為S =2在2, +oo)單調遞減，所以當 t=2,即k=1時，S取得最大值，最大值為 一1 2t29一一，16因此， PQG面積的最大值為9P0 = 4sin =2.3.322 .解：(1)因為M (P0,e。梃C上，當日0 =二時,3由已知得 |OP |=| OA| cos=2 3設Q(P,e)為l上除P的任意一點.在RtzXOPQ中Pcosi e -二3=| OP |= 2 ,經檢驗，點P(2,-)在曲線Pcos |0 - 1=2上.3.3( n、所以，l的極坐標方程為 ccos 9 1=23(2)設 P( P, 8),在 RtzXOAP 中，|OP|=|OA|cosH =4cosH,即 P = 4co