1、實用文檔文案大全占八、高中數學必修1知識點第一章集合與函數概念K1.1 3集合【i.i.i】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數集及其記法N表示 自然數集"N *或N +表示 正整數集2 Z表示 整數集？ Q表示 有理數集z R表示 霎教集二(3)集合與元素間的關系對象a與集合M的關系是aw M ,或者a更M ,兩者必居其一.只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。(4)集合的表示法自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合描述法： x| x具有的性質,其中x為集合的代表元

2、素.圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集(0 ).把研究的對象統稱為 元素，把一些元素組成的總體叫做 集合。【1.1.2】集合間的基本關系1、 一般地，對于兩個集合 A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合 B中的元素，則稱集合 A是集合B的 子集。記作A B.2、如果集合A三B ,但存在元素xW B,且X盤A,則稱集合A是集合B的真子集.記作：盾B.3、把不含任何元素的集合叫做空拿.記作：0 .并規定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合 A有2n個子集，2n-1

3、個真子集.5、子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖子集A£ B(或B3A)A中的任一元素都WT B(1)A AK(2) 0 J A(3)若 A J B且 B J C ,則 AJ C(4)若 AE B且 BE A,則 A = B或真子集A-B 豐(或 b?a)A J B ,且B中至 少有一兀素小屬于A(1) 0c A (A為非空子集)(2)若 Au B且 B = C ,則 A-C 豐¥'¥集合 相等A = BA中的任一元素都 屬于B, B中的什 toOWT a(1)A CB(2)B J A6、已知集合A有n（n之1）個元素，則它有2n個子集，它有2n

4、 _1個真子集，它有2n-1個非空子集，它有2n-2非空真子集【1.1.3】集合的基本運算1、 一般地，由所有屬于集合 A或集合B的元素組成的集合，稱為集合 A與B的花堡.記作：AU B.2、 一般地，由屬于集合 A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為 A與B的交集.記作：AnB.3、全集、補集 Cu A=x|x = U,Hx2U名稱記號意義性質示意圖交集aDbx |x w A,且x w B(1) A1A=A(2) Apl0=0(3) abjaABE BCl并集aUbx|xw A,或x w B(1)aIJa=a(2)a!J0=a(3) AJB = AAUB 3 B補集eu ax| xU ,且

5、x 更 A一1Ari(©A)=。展(An B) =( uA)U(?uB)取ALB)=(UA)nQB) 2aU(qA)=UG)121 函數的概念1、函數的概念設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f ,使對于集合A中的任意一個數X,在集合B中都有惟一確定的數f（x刑它對應，那么就稱 f:AT B為集合A到集合B的一個函數，記作:y=f（x）xWA.函數的三要素：定義域、值域和對應法則.如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等122 函數的表示法2、函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之

6、間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系3、映射的概念設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f ,對于集合 A中任何一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合 A , B以及A到B的對應法則f ）叫做集合 A到B的映射，記作給定一個集合 A到集合B的映射，且awA,bwB.如果元素a和元素b對應，那么我們把元素 b叫做元 素a的象，元素a叫做元素b的原象.U1.33函數的基本性質【1.3.1】單調性與最大(小)值(1)函數的單調性定義及判定方法函數的 性質定義圖象判定方法函數的 單調性如果對于屬于

7、定義域I內 某個區間上的任意兩個自變量的值Xi、x2,當x1< x2 時，都有 f(x 1) < f(x 2), 那么就說f(x)在這個區 間上是增函數.i yy=f(X)f(x )/ f(x )(1)利用定義(2)利用已知函數 的單調性(3)利用函數圖象(在某個區間圖 象上升為增)(4)利用復合函數oXiX2x如果對于屬于定義域I內 某個區間上的任意兩個自變量的值Xi、X2 ,當Xi< X2 時,都有 f(x 1) > f(xx 2), 那么就說f(x)在這個區 間上是減函用.yf(x 1)y=f(x)f(X2(1)利用定義(2)利用已知函數 的單調性(3)利用函數圖

8、象(在某個區間圖象下降為減)(4)利用復合函數ox 1x 2x在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數, 減函數減去一個增函數為減函數.對于復合函數 y = fg(x),令u =g(x),若y = f (u)為增，u=g(x)為增，則y = f g(x)為增；若y=f(u)為減，u =g(x)為減，則 y = f g(x)為增；若 y=f(u)為增，u = g(x)為減，則 y=fg(x)為減；若y = f (u)為減，u = g(x)為增，則y = f g(x)為減.a ,(2)打函數f (x) =x +a(a A0)的圖象與性質 xf(x

9、)分別在(*,-信、ja收)上為增函數，分別在、(0,0上為減函數.(3)最大(小)值定義一般地，設函數y = f(x)的定義域為I ,如果存在實數 M滿足：(1)對于任意的XWI ,都有f(x)wM ;存在X°WI ,使得f(Xo)=M .那么，我們稱 M是函數f(x)的最大值，記作fmax(X)= M .一般地，設函數 y=f(x)的定義域為I ,如果存在實數 m滿足：(1)對于任意的xw I ,都有f(x)至m；(2)存在門，使得f(x°)=m.那么，我們稱 m是函數f(x)的最小值，記作fmax(x) = m.【1.3.2 奇偶性(4)函數的奇偶性定義及判定方法函數

10、的性質定義如果對于函數 f(x)定義 域內任意一個X,都有f( X) = f(x),那么函 數f(x)叫做奇函數.圖象(-a. f t-a)；判定方法(1)利用定義(要 先判斷定義域是否 關于原點對稱)(2)利用圖象(圖 象關于原點對稱)函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個X,都有f( x)=f(x)，那么函數 f(x)叫做偶函數.(1)利用定義(要 先判斷定義域是否 關于原點對稱)(2)利用圖象(圖 象關于y軸對稱)若函數f(x)為奇函數，且在 x = 0處有定義，則f(0)=0.奇函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相反.在公共定義域內，兩個

11、偶函數(或奇函數)的和(或差)仍是偶函數(或奇函數)，兩個偶函數(或奇函數)的積(或商)是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積(或商)是奇函數.R補充知識1函數的圖象(1)作圖平移變換V = f (x)_ 上2?T v = f (X+h) y f(X) h肛右移|hI個單位y f(X h)伸縮變換y = f(x)-0FT y = f8x)對稱變換y = f (x)0：A：1,縮Ar / y = f (x) A 1,扁 ' v = Af (x)一X軸一y =f(x)y =7(x)y 軸r/ y = f (x)y = f(-x)原占y 二 f (x)y - - f (-x)fiy - f (

12、x)y = f (x)去掉"由左邊圖象y = f (X)一葆跖瓶優！家下稼其關¥下1輔擊曾象T y=f (I X|)y = f (x)保留x軸上方圖象將X5i下方圖象翻折my q f(x)|第二章基本初等函數（I ）K2.1 3指數函數【2.1.1】指數與指數哥的運算1、根式的概念(1) 一般地，如果 xn =a，那么x叫做a的n次方根。其中n>1,nWN十.(2)當n為奇數時，n/=a；(3)當n為偶數時，好=| a |= !a(a- 0)-a (a :二 0)(4)我們規定：nam=man (a>0,m,nwN , m > 1 a q=A"(

13、n >0 )；a(5) 運算性質： ar as =ar'(a >0,r, sw R) (ar)s = ars(a > 0, r, s R)(ab)r =arbr(a > 0,b > 0,r R)（4）指數函數注意口訣：底數取倒數，指數取相反數.函數名稱指數函數定義函數y =ax（a >0且a=1）叫做指數函數圖象a >10 < a <1yy = 1Xx 士y=a L (0,1)y = a* '七1?k y(o,i)OxOx定義域R值域(0,)過定點圖象過定點（0,1）,即當x = 0時，y = 1.奇偶性非奇非偶【2.1.2

14、 指數函數及其性質單調性在R上是增函數在R上是減函數函數值的 變化情況ax >1 (x>0) ax =1 (x =0) ax <1 (x<0)ax<1 (x>0)ax=1 (x=0)ax>1 (x<0)a變化對圖象的影響在笫一象限內，a越大圖象越局；在第二象限內，a越大圖象越低.K2.2 3對數函數【2.2.1 對數與對數運算(1)對數的定義若ax = N(a A0,且a #1),則x叫做以a為底N的對數，記作x = loga N ,其中a叫做底數，N叫做真數.負數和零沒有對數.對數式與指數式的互化：x = logaNu ax = N(a>

15、0, a#1,NA0).(2)幾個重要的對數恒等式loga1=0, log a a =1, alogaN=N.(3)常用對數與自然對數常用對數：lg N ,即10g10 N ；自然對數：lnN,即logeN (其中e = 2.71828).(4)對數的運算性質如果a >0,a#1,M >0,N >0,那么加法：loga M +1oga N =1oga(MN )減法：1oga M loga N = log a MN數乘：nloga M =loga M n(n w R) agaN =N logab M n= nloga M (b =0, n w R) 換底公式：log a N =

16、10gb N (b > 0,JLb 1)blogb a-1倒數關系：10g a b =(a A0, a #1,b A0,b #1).log ba【2.2.2 對數函數及其性質(5)對數函數函數 名稱對數函數定義函數y = log a x(a > 0且a # 1)叫做對數函數圖象a >10<a<1第-9 -頁共18頁yi x = 1 y = lOga X/yiX = 1；y = loga XO/ (1,0)xOKx定義域(0,收)值域R過定點圖象過定點(1,0),即當x = 1時，y = 0.奇偶性非奇非偶單調性在(0, +道)上是增函數在(0,十比)上是減函數函數

17、值的 變化情況lOgax >0 (x>1)lOgax=0 (x=1)logax <0 (0 <x < 1)lOga x<0 (x>1)lOga x = 0 (x = 1)loga x > 0 (0 < x < 1)a變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越靠低；在第四象限內，a越大圖象越靠高.(6)反函數的概念設函數y = f(x)的定義域為 A,值域為C ,從式子y= f(x)中解出x,得式子x = (y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x = cP(y) , x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x=(y)表示x是

18、y的函數，函數x=?(y)叫做函數y = f (x)的反函數，記作 x=f'(y),習慣上改寫成 y=f(x).(7)反函數的求法1 確定反函數的定義域，即原函數的值域；從原函數式 y = f (x)中反解出x= f (y)；11將x = f (y)改寫成y = f (x),并注明反函數的定義域.(8)反函數的性質1原函數y = f(x)與反函數y= f (x)的圖象關于直線 y=x對稱.1函數y = f (x)的定義域、值域分別是其反函數y = f (x)的值域、定義域.若P(a,b)在原函數y = f(x)的圖象上，則 P (b,a)在反函數y=f,(x)的圖象上.一般地，函數 y

19、 = f (x)要有反函數則它必須為單調函數.R2.3 1募函數(1)募函數的定義第-# -頁共18頁般地，函數y=xa叫做哥函數，其中 x為自變量，豆是常數(2)募函數的圖象X0(3)哥函數的性質圖象分布：哥函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象 象限(圖象關于y軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限 象只分布在第一象限.哥函數是偶函數時，圖象分布在第一、(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖過定點：所有的哥函數在(0,十比)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)-單調性：如果 a >0,則募函數的圖象過原點，并且在 0,收)上為增函數.如果a <0,則哥函數的圖

20、象在(0,+")上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸.奇偶性：當a為奇數時，哥函數為奇函數，當 a為偶數時，哥函數為偶函數.當q =(其中p,q互質，pP和q w Z ),若p為奇數q為奇數時，則y =qx p是奇函數，若p為奇數q為偶數時,_qy = xp是偶函數，若p為q偶數q為奇數時，則y =xp是非奇非偶函數.圖象特征：哥函數 y = xa, x (0, +*),當a >1時，若0<x<1 ,其圖象在直線=x下方，若x>1 ,其圖象在直線y =x上方，當a<1時，若0<x<1,其圖象在直線y = x上方，若x >1

21、,其圖象在直線y = x下方.(1)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x) =ax2 bx c(a=0)頂點式:一2_f (x) = a(x-h)k(a = 0)第-13 -頁共18頁-b,g)上遞增，當x =一2時,2a2abbb旦上遞增，在，-)上遞減，當x =2a2a2a兩根式：f(x) = a(x-x1)(x-x2)(a = 0)(2)二次函數圖象的性質2對稱軸方程為 x = ,頂點坐標是(,).2a2a 4a當a>0時，拋物線開口向上，函數在 (-/,-、上遞減，在2a2. 4ac-bfmin (x)=；當a <0時，拋物線開口向下，函數在(-°°4

22、a時,fmax(x)=4a22一次函數f(x)=ax +bx+c(a =0)當 = b 4ac>0時，圖象與 x軸有兩個交點2(3) 一兀一次萬程 ax +bx +c = 0(a #0)根的分布2.2.設一兀一次萬程 ax +bx+c =0(a =0)的兩實根為x1,x2，且X W x2.令f (x) = ax +bx+c,從以下四個方面來分析此類問題：開口方向：a對稱軸位置：x = -B 判別式：端點函數值符號.2a(4)二次函數f (x) =ax2+bx+c(a #0)在閉區間p, q上的最值設f (x)在區間p,q上的最大值為M ,最小值為(I)當a>0時(開口向上)b一 .

23、 .b右一一 < p ,則m = f (p) 右p < 一一2a2ab - bq ,則 m = f () 右>q ,則 m = f (q) 2a2ab右 一一 Mx。，則 M = f (q) 2a(n)當a <0時(開口向下)> q ,則 M = f (q) 2a b；ff-2a)X高中數學必修4知識點第一章三角函數正角：按逆時針方向旋轉形成的角1、任意角負角：按順時針方向旋轉形成的角 、零角：不作任何旋轉形成的角2、角口的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱 a為第幾象限角.第一象限角的集合為 匕k 360' < a

24、 < k 360，+ 90,，k w第二象限角的集合為 J k 360C+90C <k 360十180。女三Z）第三象限角的集合為 a k 360C+180S <a <k 360 +270，, k w Z第四象限角的集合為 匕k 360C+270C <« <k 3600+3601，k w終邊在x軸上的角的集合為Q, = k 180'，kw 7）終邊在y軸上的角的集合為 Q a = k 180+90,k w2終邊在坐標軸上的角的集合為lot a =k 90,，k w23、與角a終邊相同的角的集合為 臚 =k 360' +a,kwz4、

25、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.5、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為l ,則角a的弧度數的絕對值是 a =-. r6、弧度制與角度制的換算公式：2n =360，, 1=專，1 = 1180 上57.3 .7、若扇形的圓心角為 a （口為弧度制），半徑為r ,弧長為l ,周長為C ,面積為S ,則l = r G，C = 2r +l ,一 1 一 12S = lr = a r . 228、設ot是一個任意大小的角，a的終邊上任意一點 P的坐標是（x, y ）,它與原點的距離是 r （r =qx +y2 >0 ）,則 sin a = , cos a = , tanct='（

26、x#0）. rrx9、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.10、三角函數線：sin« =MP , cosa =0M , tan« =AT .11、角三角函數的基本關系:222/222sin工(1 pin a +cos a =1 (sin a =1 cos a,cos a =1sin a );c sin ;2 =tanIsin ： - tan ： cos ： ,cos ：二cos 二（3）倒數關系：tanacoto（=112、函數的誘導公式：(1)sin(2kn +a )=sincc, cos(2kn +a )=cos

27、a , tan(2kn +a 戶 tana(kwz 卜(2 jsin (n +a )= -sin a , cos(n +«)= cosot , tan(n +a)= tana .(3)sin(-a 戶sin”，cos(-ot)=cos« , tan(-« )=tanu .(4)sin(n Ct ) = sina , cos(n -a )= -cosa , tan(n口)=tana .口訣：函數名稱不變，符號看象限.=cosot , cos - -a20 )= sin a . (6 )sin +a=coset ,(冗cos I 一 二2=-since .第-23 -

28、頁共18頁口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.13、的圖象上所有點向左（右）平移|中|個單位長度，得到函數y =sin（x +邛）的圖象；再將函數y = sin（x+邛）1的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的 2倍（縱坐標不變），得到函數y = sin（6x十中）的圖象；再將 &A倍（橫坐標不變），得到函數函數y = sin （cox +中）的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的 y = Asin（8x +呼）的圖象.1 ，數y = sin x的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的一倍（縱坐標不變），得到函數，。_一叼人斗八電y =sincox的圖象；再將函數y= sin

29、x的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數y=sin（x +中）的圖象；再將函數 y =sin（x+中）的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數y = Asin（8x +5）的圖象.14、函數y =Asin（ox +邛X A >0聲>0 ）的性質：2 二1振幅：& ；周期：T = ,頻率：f =一 =;相位：8x+中；初相：卬.22 2二函數y = Asin儂x +平）+ B ,當x = x1時，取得最小值 為ymin ；當x = x2時，取得最大值為ymax ,則1 _1A _ （Ymax y mij, B _ （ ymax ymin

30、 ）, x2 x1 （x1 < x2 ） .2 2215、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質:定義 域RRjx Lx=kn+_2，k 亡2 jrniJ x x # kn + ,k 文>I2J值域口11-1,1RR最值當 x =2kn+工(k EZ ) 2時 , y max = 1 ；當 x=2kn_巴(YZ ) 2時? ymin = -1 .當 x =2kn(kWZ)時y max = 1 ；當 x =2kn +兀(kw?)時? ymin = -1 .既無最大值也無最 小值既無最大值也無最小 值周期 性2n2n冗31奇偶 性奇函數偶函數奇函數奇函數單調 性在.|2kn -,2k

31、n 十!22 J(kwZ )上是增函數；在一 ,3, 3n-.2kn +, 2kn + j22 J(k cz y是減函數.在 2kn 一n,2kn |kZ 盧 是增函數；在 bkn,2kn 十兀(k wZ )上 是減函數.在L,kn 、22 )(k WZ)上是增函 數.對稱 性對 稱中心(kn,0 )(keZ )對稱軸3Tx =kn +g(k w Z)對 稱中心|kn 記,0<271對稱軸x=kn(kWZ )對 稱 中 心修0皿)無對稱軸對 稱 中 心無對稱軸16、向量：既有大小，又有方向的量. 有向線段的三要素：起點、方向、長度. 單位向量：長度等于1個單位的向量.第二章平面向量數量：

32、只有大小，沒有方向的量.零向量：長度為0的向量.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量：長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相連.平行四邊形法則的特點：共起點.三角形不等式:運算性質：交換律：a b = b a ；結合律：(a +b )+c=a +(b +c )； a + 0=0+a = a.，一、一、一Mt坐標運算：設 a = （x，yi ）, b =（乂2，丫2 ）,則 a+b =（為十X2,yi 十丫2 ）.18、向量減法運算：三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.一圍 5 4 . J-J ，坐標運算：

33、設 a = （x1,y1 ）, b =（x2, y2 ）,貝U a -b =（x1 -x2, y1 -y2）. 一T設A、B兩點的坐標分別為（k, y1），（x2,y2，則細=（為x2 y=y2 ）.19、向量數乘運算：實數人與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作當九A。時，兒a的方向與a的方向相同；當入<。時，九a的方向與a的方向相反；當九=。時，%a=0.運算律：九（窟）=（上）a ；（九十以）a=4+嗎；九（a+b）=九a+九b.坐標運算：設 a = （x,y ）,則九a = >u（x, y ）= （Kx,九y ）.20、向量共線定理：向量 a （a #0 Mfb共

34、線，當且僅當有唯一一個實數九，使b =，ua .設 a=（x,y1 ）, b=（x2,y2 ），其中 b #0 ,則當且僅當 xy2 x2% = 0 時，向量 a、b（b#0）共線.甘巾 _. ，21、平面向量基本定理：如果 3、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a,有一3 T TT T且只有一對實數 %、%,使a = Ae+%e2.（不共線的向量 G、62作為這一平面內所有向量的一組基底）22、分點坐標公式：設點 P是線段PE上的一點，P1、P2的坐標分別是（x1, y1 ）, （x2, y2 ）,當P1P = *uPP2時,點P的坐標是 叮1y1 +”（當兒=1

35、時 就為中點公式。）,1 1 23、平面向量的數量積：a -b=a'bcos0（a#0,b 0,0C <6 <180;）.零向量與任一向量的數量積為0.性質：設a和b都是非零向量，則a _l b = a b=o .當a與b同向時，3,3=間1；當甘與1反向時, a b=a"b ； a a=a2 =由或 a=,a，a . a b 廿.運算律：a b=b a；（九a,，b=九（？b）=a九b）；（a+b >c=a c+b ,c.，、小一一公5"人“用目3 ,、 .坐標運算：設兩個非手向重 a=（x,y1）, b =（x2, y2 ），則a b = xx

36、2 + y1y2.若 a =（x,y）,則 2 =x2 +y2,或 力=Jx2 + y2 .設 a =（x1, y1）, b =（x2, y2 ），則 a _Lb = xx1 2,y1 2 = 0 4一 4 . , 一，一一 TaT .a bxxo yy,設a、b都是非零向重，a =（x1,y1）,b =（x2,y2）,日是a與b的夾角，則cos1=不=弓.同 b Jxi2+yi2Jx2 + y2.平面的法向量的求法（待定系數法） ：建立適當的坐標系.a = (a,a2,a3), b =仙也心).a =0 .b =0面«的法向量.設平面a的法向量為n=（x, y,z）.求出平面內兩個

37、不共線向量的坐標：根據法向量定義建立方程組nn解方程組，取其中一組解，即得平.（如圖）1、用向量方法判定空間中的平行關系線線平行5 士 小，、工 * r . IL, 一 設直線li,l2的方向向量分別是 a、b,則要證明li/ 12,只需證明a/ b ,即a = kb（k= R）.即：兩直線平行或重合 Q 兩直線的方向向量共線。 線面平行（法一）設直線1的方向向量是a ,平面口的法向量是u ,則要證明1 / 口，只需證明a_Lu ,即a u = 0.即：直線與平面平行 直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向

38、向量是共線向量即可.面面平行IIIIIrr* *44若平面a的法向量為u ,平面P的法向量為v ,要證a / P ,只需證u / v ,即證u =兒丫.即：兩平面平行或重合 Q 兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關系一線線垂直設直線li,l2的方向向量分別是 a、b,則要證明1i_L12,只需證明a_Lb,即ab=0.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。線面垂直（法一）設直線i的方向向量是a,平面口的法向量是u,則要證明i _lc（,只需證明a /a 、'一一= T一八/一、二"*T am = 0»（法二）設直線l的萬向向量是a ,平面口內的兩個相交向量分別為 m、n,右!.，則l_Lo（.a n = 0即：直線與平面垂直 Q直線的方向向量與平面的法向量共線Q直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量者B垂直。面