1、高中數學教育論文高中數學探究實驗室整體解決方案摘要數學也需要實驗嗎?數學應該如何開展實驗?開展數學實驗需要哪些必備的工具或設備?對此,大多數人沒有一個明確的概念。本文從開展數學實驗的必要性出發,詳細闡述了搭建數學實驗的可行性方案、組建數學實驗室的主要裝備及布局,以及如何組織和開展數學實驗。 關鍵詞數學實驗;數學實驗室;超級畫板;圖形計算器 1 讓技術為數學教育注入強勁的活力 1.1 在國際大環境下,數學越來越受到重視 2006年4月,布什政府簽署了總統令:成立國家數學委員會。美國國家數學委員會啟動了一個耗資2.5億美元的數學計劃,目標是讓小學生擁有堅實的數學基礎,提高后進中學生的數學能力,該計

2、劃還強調數學是教育成功的關鍵。2009年6月,奧巴馬政府又斥資2.36億美元,用于美國數學和科學教師的培訓,以便能夠提高數學教師的能力和素質,從而帶動整個美國地區數學教育水平的提高。 1.2 數學教育面臨著前所未有的挑戰 今日之社會對數學教育無疑提出了比以往任何時代都更高的要求,數學的應用領域極大地拓寬了,應用數學的人群也不僅限于從事理工科工作的人員,更多的人在自己的工作中需要用到數學。然而,由于數學自身的高度抽象性,使得大多數學生無法真正理解數學的本質,只能疲憊于記憶數學的概念、定理和公式,以便應付無法逃避的考試。因此,數學枯燥、數學難學,成為越來越多的青少年對數學最直接的感受。 因此,數學

3、教育以及數學教育的改革成為當今世界各國最為關注的課題。 1.3 技術為數學教育的發展帶來了機遇 技術能否使抽象的數學變得更直觀、更容易理解?技術能否讓數學變得更有趣、更有引力?技術能否提高學生學習數學的興趣和積極性?技術能否讓更多的青少年提高數學成績?動態幾何軟件(Dynamic Geometry System)的出現,讓這種愿望變成了現實。 過去的10多年間,動態幾何軟件在數學教育中的作用和價值在全世界范圍內得到了充分的肯定與廣泛的認可。在我國,從2003年起,教育部在全國20多個省份的近1 000所學校組織了動態幾何軟件Z+Z智能教育平臺超級畫板(以下簡稱“超級畫板”),運用于數學課程改革

4、的實驗研究項目。大量案例和實驗數據顯示,超級畫板在實施數學新課程的理念、幫助學生理解數學概念、改善學習方式、提高學習數學的興趣、增強學習數學的積極性、提高數學成績,尤其是提高數學基礎較為薄弱的學生的成績等方面發揮了積極、顯著的作用。 2 數學探究實驗室建設的可行性方案 2.1 數學實驗 談到實驗,人們比較熟悉的是物理實驗、化學實驗、生物實驗,醫學實驗、核實驗等。而無論在自然科學的研究還是教學活動中,實驗都起著重要的作用。 事實上,數學實驗對我們來說并不陌生,它也是我們以往學習和研究數學的常見手段。例如,當研究兩個三角板是否全等時,我們需要拼組的方式觀察它們是否能夠重合;當判斷7×7,

5、67×67,667×667、6 667×6 667的結果有什么規律時,我們需要首先進行計算。類似這種拼組、計算的操作過程都屬于數學實驗。 2.2 技術的發展讓數學實驗的日常化得以實現 對于一般人來說,利用筆、紙、直尺和圓規等工具,也可以開展數學實驗。但由于中學階段教學任務繁重,時間有限,不能對所有數學知識重新進行一一探索、研究和發現,而是讓學生直接接受前人傳承下來的知識。 毋庸置疑的是,如果學生有機會自己動手、操作、觀察、發現、探索與驗證,那么學習數學的過程中就會變得更加有趣、更有吸引力,就會加深學生對數學概念的理解,就會提高學生對數學本質的認識,就會幫助學生更加

6、熟練地掌握的數學思想方法。 隨著以計算機和計算器為代表的現代教育技術的迅速發展,在日常教學活動中開展數學探究實驗得以實現。計算機和計算器的特點是工作效率高、運行速度快,能夠大大節約數學實驗的時間,減少重復機械性的勞動,提高數學教學和數學學習的效率。 2.3 數學實驗室需為數學教育提供全方位的支持 在數學教學活動中,教師和學生需要進行畫圖、測量、計算、推理以及書寫公式等各種各樣的工作。根據國家規定的高中數學課程內容來說,這些任務又可以細分為以下幾個方面:繪制平面或空間幾何圖形或構造幾何關系;根據函數表達式或者方程繪制對應的曲線;根據通項公式或遞推公式繪制數列的圖像;進行動態的平移、旋轉、放縮等變

7、換過程;測量和計算,包括對測量結果的各種運算;基于平面幾何或空間幾何的推理與運算;設計并開展隨機實驗,并記錄過程中的數據;收集和處理數據,繪制統計表格和統計圖表;編寫程序并運行程序,利用編程完成各種任務;控制點的運動過程,對所要研究的對象進行跟蹤。 數學實驗室的搭建應該為這些工作提供全方位的支持,使得這些基本的任務能夠輕松而簡單地實現。 2.4 動態幾何軟件和圖形計算器是首要選擇 超級畫板是面向我國基礎教育階段數學學科的智能知識平臺,是為我國數學教育量身定做的數學教育軟件,它能夠處理幾何、代數、三角、概率、統計、算法、積分等數學知識中的絕大多數模塊的內容。 可以說,超級畫板是動態幾何軟件+計算

8、機代數系統+隨機過程模擬平臺+程序編寫和運行環境+動畫控制和演示平臺+計算機自動推理系統。 超級畫板基本能夠滿足高中數學教學中的各種需求。而許多圖形計算器,也基本能夠實現上述任務。但超級畫板和圖形計算器具有很大的互補性。例如,超級畫板的優點是操作簡便,圖形清晰和美觀,易于觀察和展示;圖形計算器的優點是方便攜帶,具有傳感功能可以采集外部數據。 對于中學階段的數學實驗室來說,裝備了動態幾何軟件超級畫板和圖形計算器之后,就能完成絕大多數類型的任務。 2.5 傳統的工具和現代化的儀器設備也不可或缺 計算機、計算器和動態幾何軟件不僅讓抽象的數學變得直觀、形象,還能夠幫助學生更加深刻地理解數學概念、認識數

9、學本質、掌握數學思想方法。顯然,如果學習者在現實生活中有機會參與操作、親身體驗這些數學概念、數學原理和數學方法,一定會拉近他們與數學之間的距離,一定會讓他們體會到數學的魅力和趣味,一定會幫助他們正確認識數學與實際生產生活的密切關系。此外,傳統的教學工具和現代化的科技教育裝備也為數學學習者提供了學習目標實現的載體。 3 組建數學探究實驗室主要設備 3.1 探究式數學軟件 目前,國內外功能最完善、同時操作也最簡便的探究式數學軟件要數我國自主研發的Z+Z智能教育平臺超級畫板,它是由我國著名數學家、計算機科學家、中國科學院院士張景中教授主持開發的,是為我國數學教育量身定做的探究式教學軟件。 “Z+Z”

10、即“智能+知識”,表示它既是智能工具箱也是知識資源庫。超級畫板的“超級”二字取自“超級市場”的含義,指教師教數學、學生學數學所需要的工具、資源等一應俱全。具體來說,超級畫板包括以下主要功能。 1)動態幾何作圖。通過鼠標或者命令,能夠直接作出幾十種常見的幾何圖形。圖形可以被平移、旋轉或縮放,但在變化過程中,其幾何性質始終保持不變。例如,中點還是中點、垂直還是垂直等。 2)動態圖形變換。在指定要進行的變換后,選擇被變換的對象執行變換命令,即可得到變換后的圖形。變換條件可以是動態的,可以是參數,從而輕松展示圖形動態變換的過程。 3)動態測量計算。能夠直接測量點的坐標、直線的方程、圓的面積等,測量的結

11、果還可以進一步的參與運算;幾何對象發生變化時,測量結果會同時改變。每一個測量表達式都有一個編號,利用這個編號可以實現嵌套測量,從而輕松實現數據的迭代功能。 4)函數方程作圖。輸入函數或方程的表達式即可作出對應的曲線。表達式可以是顯性函數、參數方程、極坐標方程、超越方程等。表達式中能夠帶參數,變量的區間也可以是代數式,參數改變則曲線的性質相應發生改變。 5)智能文本公式。在文本框中輸入數學表達式后,即可同步顯示為傳統格式的數學公式。文本內的變量或公式還能夠參與運算,大大提高輸入數學公式的效率。 6)數值符號運算。能夠方便進行一般浮點數的數值運算,可以顯示小數點之后的15位有效數字。同時能夠進行大

12、整數的運算,精確地顯示出結果中的每一位數字。還能夠對分數、無理數、變量等進行精確的符號運算。另外,系統內部還提供了進行各種數學運算的函數,同時也支持自定義函數。 7)程序運行環境。支持賦值、判斷、循環等語句結構,能夠自定義函數,與一般的高級程序語言中的語法習慣一致,能夠滿足基礎教育階段利用算法解決一般數學問題的需求。 8)隨機過程模擬。根據系統提供的隨機函數,以及屏幕自動刷新的機制,可以直觀模擬翻硬幣、拋豆子、擲骰子、布豐投針等隨機過程,并自動記錄統計數據,計算統計結果。 9)統計表格生成。統計表格能夠自動記錄某一項或幾項表達式的測量結果,亦可通過手工輸入數據。統計表格方便地變為折線圖、條形圖

13、、扇形圖等形式。 10)自動推理證明。系統能夠自動記錄用戶作圖過程中對象之間的幾何關系,然后根據內部的規則(定理)進行推理和計算。根據推理得到的信息用戶可以得到或簡或繁的解答過程。 3.2 圖形計算器 1)代數功能。常見運算,如數值求解,符號運算,二進制、十六進制運算,邏輯運算,三角函數,雙曲函數,最小公倍數,最大公約數,因式分解,多項式展開。 微積分運算,如求導數、積分、極限、函數最大值、最小值、切線、解微分方程、對隱函數求微分。 矩陣運算,包括特征值、特征量的計算、LU Decomposition、QR 因數分解、包含符號元素的矩陣。 2)作圖功能。函數作圖、參數作圖、極坐標作圖、數據統計

14、作圖、圖形變換、圓錐曲線作圖、不等式作圖、函數值列表等。 3)幾何功能。創建和研究幾何形狀、模擬點在圖形上的運動并研究其性質、研究幾何的變換,有利于平面幾何的學習。可以實現函數作圖形式、參數方程作圖形式與數據統計作圖形式并存在同一個坐標系下,有利于平面解析幾何的學習。 4)統計分析功能。 對一元或二元變量進行統計、對函數進行回歸與擬合操作、進行多種假設檢驗(T-test, Z-test, ANOVA等)、計算并繪制多種分布的圖形(散點圖、x-y線圖、直方圖、箱形圖、回歸線、正態概率圖、假設檢驗圖)、排列組合、隨機數、推論統計等。 5)金融計算功能,包括貨幣的時間價值(TVM)、不均勻

15、現金流、分期付款、利率轉換等。 6)編程功能,主要包括簡單易學的編程語言,用戶可根據自己的需求來編寫不同的應用程序。 3.3 傳統教具與現代科教設備 1)傳統教學工具。主要包括三角尺、圓規、磁性白板、幾何體模型、圓錐曲線模型、凸凹多面體模型、平擺線形成模型、漸開線形成模型、簡明數學史掛圖、球面幾何教學掛圖、對稱與群教學掛圖。 2)現代科教設備。目前,符合數學現代教學的科教設備有很多,下面列出一些品目,并對它們的作用進行說明。 漢諾塔:有三根桿子A、B、C,B桿上有若干碟子,每次移動一塊碟子,小的只能疊在大的上面,要想把所有碟子從B桿上全部移到A桿上,求移動的方法。通過對漢諾問題的分析,從而學習

16、和理解編程中遞歸算法的作用。 正方形車輪:平時在水平路面上所見到的車輪為什么都是圓的?如果在水平路面上行駛的汽車的車輪不是圓的會有什么樣的后果?如果車輪是正方形的,那么應該如何設計路面才能使車子平穩地向前行駛?通過對正方形車輪問題的分析,幫助學生深刻理解滾動的本質。 哈密頓隨機實驗:當一個小球經過一個三岔路口,它有兩條路可以選擇,它會選擇哪條路?當1 000、10 000個小球經過這個三岔路口時,會有多少個小球選擇其中一條路,而又有多少個小球會選擇另外一條路繼續前行呢? 輪子形成的擺線:先前滾動的車輪,經過某個位置是壓到了香口膠,香口膠黏在了車輪上,而車輪繼續前行。那么車輪在繼續向前滾動的過程

17、中,香口膠在空中經過了一條什么形狀的路徑?直線?圓形?拋物線?橢圓?還是其他什么曲線?親自動手操作、觀察實驗一下吧。 滾動圓得到的直線:一個物體在滾動過程中,其邊沿上一點所生成的曲線就叫做擺線。由于滾動物體的形狀和滾動路面的形狀不同,所得到的擺線也各不相同。這是一個直徑為大圓半徑的一半的小圓,在大圓內的滾動過程,觀察一下得到的擺線是什么形狀的曲線? 最速降線:一般認為,從一點運動到另一點最近的距離是直線,但在有些特殊的場合,這種概念卻值得仔細思考。如,當你同時激發兩個質量一樣的小球,分別沿著傾斜的直線軌和傾斜的擺線軌滾動而下的時候,你會看到那概念與實際情況出現了什么樣的不同。 正弦曲線:演示周

18、期函數正弦函數的圖像形成的過程。 莫比烏斯帶:平時我們手上所帶的手環或者手鐲有幾個面呢?通常情況下,它的外面磨損得很厲害了,里面還完整如新。顯然,它們都有兩個面。然而,你見過一個面的手環嗎?你摸摸這個帶子的發光二極管,發光的二極管會逐步亮起來,依次觸摸發光二極管一圈后,你會發現它竟然只有一個面! 百發百中:或許你曾經打過桌球,但是你有百發百中的經歷嗎?在一個橢圓形的桌球面上,上面有兩個焦點,根據橢圓的性質,小球從一個焦點彈出,經反彈后必經過另一焦點,從而實現百發百中的效果。 雙曲狹縫:通常人們使用點、線、面描述我們生活的立體三維空間,借助數學的方法,人們還在創造著世界,雙曲狹縫就是通過數學的方

19、法,證明了一根傾斜的直棍繞z軸旋轉時,其產生的單葉雙曲面被垂直于x、y的平面相切時產生的雙曲狹縫情形。 雙曲造型:我們知道,點動成線、線動成面,直線的運動能夠得到什么形狀的面?最簡單的莫過于平面,然而一根運動的直線,只要滿足以下條件:它繞一根與它是異面直線保持一定距離的直線軸轉動,它的運動軌跡就是一個雙曲面。這種由一條直線連續運動所生成的曲面線叫直紋面。 4 數學探究實驗室整體配置方案 4.1 高中數學探究實驗室配備標準(見表1) 4.2 高中數學探究實驗室布局 每張桌子坐兩位學生,每兩名學生共用一臺計算機或計算器,學生面朝講臺,顯示器位置調低,并略向后傾斜。這樣,是在數學實驗室也能進行日常的

20、數學教學活動,有利于學生和教師之間的交流,有利于教師的演示性教學的開展。 5 數學探究實驗的組織與實施 裝備了數學實驗室,不等于能夠成功開展了數學實驗。哪些數學內容和教學活動需要在數學實驗室開展,具體到每一個活動環節該如何開展,這些都是在建立數學實驗室之后亟待解決的問題。 與物理實驗和化學實驗所不同,數學實驗沒有嚴格規定的實驗步驟,對于同一個數學知識點,開展數學實驗的方式可能有幾種。而數學實驗的設計需要有豐富的教學經驗,需要分析教材、分析學生,另外非常重要的是需要數學教師對技術有充分的認識和深層的理解。然而,在短時間內要求數學教師對技術熟悉程度達到爐火純青也是不現實的,這需要數學教師將大量的時

21、間用在鉆研技術方面。 我們堅持,數學實驗室的建立能夠在提高教學效率和教學質量的同時,也能減少數學教師的工作時間,從而減輕數學教師的勞動負擔。基于這個目的,我們組織了一批教學經驗豐富、教學成果突出,并長期致力于將開展技術應用于數學教學工作、具有很深造詣的數學特級教師、高級教師團隊,研發了一套高中數學實驗叢書。利用這套叢書,在數學教師的指導下,學生可以在實驗室的環境里開展以下幾個方面的學習活動。 5.1 突破思維,釋惑解難 相對初中數學來說,高中階段的數學內容變得非常抽象、難懂,這是很多學生在進入高中后的共同感受,因此,有些同學進入高中階段后數學成績急劇下降。在這種情況下,同學們可以走進數學實驗室

22、。通過動手操作、觀察,讓抽象的數學概念在計算機或計算器的屏幕上直觀、形象地展示出來,將難懂的問題變得容易理解了。同時,由于技術在展示動態圖形方面的優勢,能夠讓復雜的問題變得簡單,讓枯燥的知識變得生動,從而幫助學生建立具體的、形象的認識。最后,再進一步通過形象思維上升到抽象思維。 5.2 學以致用,科技創作 與傳統教學過程中需要整天面對的概念、定理、公式、例題和作業相比較來說,漂亮的圖形、生動的變換和動畫更能吸引學生的注意力,這些處在中學階段的學生正具有強烈的動手的欲望和創作能力,數學實驗室正是為學生提供了一個動手創作的活動空間。而與一般的游戲和手工所不同,在數學實驗室中,作的是數學圖形、用的是

23、數學知識、玩的是數學問題、比的是數學水平、提高的是數學素養。 在學生們嘗試著去完成一項工作的過程中,總會在不知不覺中運用所學習過的知識,同樣也就在不知不覺中鞏固了之前學習過的內容,加深了對數學概念的認識,提高了對數學本質的理解,促進了數學思維的培養。 5.3 勇于攀登,開展研究 提出一個問題比解決一個問題更加困難,也更加可貴。中學生正是處在愛提問、愛質疑的年齡。事實上,數學教科書上并不能將所有問題都解釋的非常清楚,也由于受到中學所學知識的限制,書上無法將一些問題解釋透徹。當教師的解答也難以讓學生信服的時候,學生不妨到數學實驗室開展實驗、進行研究,有了技術的幫助,讓圖形動起來,很多問題便迎刃而解了。 要解決這些問