1、排列組合中的分組分配問題（分享）分組分配問題是排列組合教學中的一個重點和難點。某些排列組合問題看似非分配問題，實際上可運用分配問題的方法來解決。一、 提出分組與分配問題，澄清模糊概念n個不同元素按照某些條件分配給k個不同得對象，稱為分配問題，分定向分配和不定向分配兩種問題；將n個不同元素按照某些條件分成k組，稱為分組問題.分組問題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分組問題和分配問題是有區別的，前者組與組之間只要元素個數相同是不區分的；而后者即使2組元素個數相同，但因對象不同，仍然是可區分的.對于后者必須先分組后排列。二、基本的分組問題例1 六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各

2、有多少種不同的分配方法？(1)每組兩本.(2)一組一本，一組二本，一組三本.(3)一組四本，另外兩組各一本.分析：(1)分組與順序無關，是組合問題。分組數是=90(種) ，這90種分組實際上重復了6次。我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個號碼，考察以下兩種分法：(1，2)(3，4)(5，6)與(3，4)(1，2)(5，6)，由于書是均勻分組的，三組的本數一樣，又與順序無關，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實際上加入了組的順序，因此還應取消分組的順序，即除以組數的全排列數，所以分法是=15(種)。(2)先分組，方法是，那么還要不要除以？我們發現，由于每組的書的本數是不一

3、樣的，因此不會出現相同的分法，即共有=60(種) 分法。(3)分組方法是=30(種) ，那么其中有沒有重復的分法呢？我們發現，其中兩組的書的本數都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的本數不一樣，不可能重復。所以實際分法是=15(種)。通過以上三個小題的分析，我們可以得出分組問題的一般方法。結論1： 一般地，n個不同的元素分成p組，各組內元素數目分別為m，m，m，其中k組內元素數目相等，那么分組方法數是。三、基本的分配的問題(一)定向分配問題例2 六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1) 甲兩本、乙兩本、丙兩本.(2) 甲一本、乙兩本、

4、丙三本.(3) 甲四本、乙一本、丙一本. 分析：由于分配給三人，每人分幾本是一定的,屬分配問題中的定向分配問題，由分布計數原理不難解出：分別有=90(種)，=60(種)， =30(種)。(二)不定向分配問題例3六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1) 每人兩本.(2) 一人一本、一人兩本、一人三本.(3) 一人四本、一人一本、一人一本.分析：此組題屬于分配中的不定向分配問題，是該類題中比較困難的問題。由于分配給三人，同一本書給不同的人是不同的分法，所以是排列問題。實際上可看作“分為三組，再將這三組分給甲、乙、丙三人”，因此只要將分組方法數再乘以，即=90

5、(種)， =360(種) =90(種)。結論2. 一般地，如果把不同的元素分配給幾個不同對象，并且每個不同對象可接受的元素個數沒有限制，那么實際上是先分組后排列的問題，即分組方案數乘以不同對象數的全排列數。通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則：先分組后排列。例4 六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？分析：六本書和甲、乙、丙三人都有“歸宿”，即書要分完，人不能空手。因此，考慮先分組，后排列。先分組，六本書怎么分為三組呢？有三類分法(1)每組兩本(2)分別為一本、二本、三本(3)兩組各一本，另一組四本。所以根據加法原理，分組法是+=90(種)。再考慮排列，即再乘以

6、。所以一共有540種不同的分法。四、分配問題的變形問題例5 四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法有多少種？分析：恰有一個空盒，則另外三個盒子中小球數分別為1，1，2。實際上可轉化為先將四個不同的小球分為三組，兩組各1個，另一組2個，分組方法有(種)，然后將這三組(即三個不同元素)分配給四個小盒(不同對象)中的3個的排列問題，即共有=144(種)。例6有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法有多少種？分析：先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有(種)分法。再考慮排列，甲任

7、務需2人承擔，因此2人的那個組只能承擔甲任務，而一個人的兩組既可承擔乙任務又可承擔丙任務，所以共有=2520(種)不同的選法。例7設集合A=1，2，3，4，B=6，7，8，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數有多少個？分析：由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個元素都有“歸宿”，而集合B的每個元素接受集合A中對應的元素的數目不限，所以此問題實際上還是分組后分配的問題。先考慮分組，集合A中4個元素分為三組，各組的元素數目分別為1、1、2，則共有(種)分組方法。再考慮分配，即排列，再乘以，所以共有=36(個)不同的函數。總之，掌握上述兩個結論，就能順利解決任何分配問題。而且，學會了分配問