1、¨ 用二分法求方程的近似解>¨ 教學設計一、教材分析：本節是人教A版普通高中標準試驗教科書·數學1（必修）第三章“函數的應用”中第一節“函數與方程”的第二塊內容，是在學習了集合與函數概念、基本初等函數后，研究函數與方程關系的內容。本節課的教學內容是：結合函數大致圖象，能夠借助計算器用二分法求出相應方程的近似解，理解二分法的思想及了解這種方法是求方程近似解的常用方法。本節內容是課標教材中新增的內容。在初中，學生學習了簡單的一元一次方程和一元二次方程等簡單方程的求根問題，但是實際問題中，有具體求根公式的方程是很少的。對于這類方程，我們只能根據根的存在性定理判斷根

2、的存在，在利用二分法可以求出方程給定精確度的近似解。經過本節內容的學習，將使學生更加深入理解函數與方程的數學思想。二、設計意圖與學情分析: 學生在學習本節內容的時候可能會對二分法的本質理解不夠透徹，特別是在“循環迭代與替換區間端點”這一環節的理解上相對比較困難，對精確的理解耶比較困難。同時在運算過程中，數值較繁瑣，這些都使學生對本節的學習與理解產生較大的阻礙，在課前應給學生提前預習，以做好思想準備。學生在學習本節內容之前已經學習了“方程的根與函數的零點”，理解函數的零點與方程的根的關系，并具有一定的數形結合思想，這些成為本節知識學習的生長點，在用二分法求近似解的步驟中又滲透著算法思想，為今后的

3、算法內容學習埋下伏筆。但是學生對動態與靜態的認識薄弱，對于函數與方程的聯系缺乏一定的認識，這些都給學生在縮小零點所在區間的過程造成一定的難度。因此在教學中應該多給學生動手的機會，給學生創設熟悉的問題情境，引導學生觀察，計算，思考和總結，使他們理解問題背后的本質從而得出結論.三、教學目標：（1）理解二分法的基本思想，能夠借助計算器用二分法求給定方程滿足一定精確度的近似解；（2）引導學生通過觀察和計算體會二分法，感受函數與方程的思想，使學生在學習過程中體會近似思想、逼近思想、算法思想；（3）幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，形成正確的數學觀，通過生活實例培養學生的數學應用意識，激發學生的學習

4、興趣。四、教學重點：理解二分法的基本思想，把找方程近似解轉化為縮小函數零點所在區間，對函數與方程的關系及化歸思想有更深入的認識。教學難點：對精確度的理解，用二分法求近似解中，在不斷縮小區間時，對區間端點的循環迭代替換的理解.五、教學支持條件分析將問題導學法、討論法、游戲體驗法等多種教學方法有機結合，并結合多媒體手段，組織學生自主探究學習，合作交流完成本節的內容。學生的課前準備：1復習前一節課的內容，熟悉連續函數在某個區間上存在零點的判斷方法；2準備好科學計算器，熟悉科學計算器的使用；3完成老師發給的導學案（附件中）。教師的教學準備：將上課內容制作成課件。六、教學過程：（一）復習引入上一節課我們

5、學習了方程的根與函數的零點的關系，也學習了方程的根的存在性定理。我們一起來回憶一下：1. 方程的根與函數的零點有什么關系？答：方程的根是相應函數的零點，函數的零點是相應方程的根。求一個方程的解時，如果直接從方程角度入手難度較大時，我們可以嘗試從“求函數的零點”入手。2.還記得根的存在性定理嗎？答：如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，這個零點也是方程的根.【設計意圖】培養學生復習的習慣，對上節課的復習為本節的學習提供了知識保障。（二）新課講授在數學學習中，解方程將是我們經常遇到的問題。問題1：你會求下列方程的根嗎？【設計意圖】從學生熟悉的方程入手，引入求方

6、程根的話題，引起學生的認識沖突，激起進一步探究的欲望.對于前兩個方程，學生很快找出解決辦法，最后一個方程學生無法根據之前學過的知識進行求解，從方程角度入手不知如何下手，這時教師適時點撥引導：當從方程角度直接入手難以求出方程的根時，我們可以轉化為求該方程相應函數的零點的問題。方程，由課本88頁例1我們知道函數在區間（2,3）內有唯一零點，這一節課的重點就是如何找出這個零點的位置。例 求方程的近似解.（精確度為0.01）教師引導分析：根據前面我們的分析，我們可以將“求方程的近似解”問題轉變為“找函數在區間（2,3）內的近似零點”問題。問題2：那么怎么找出這個近似零點呢？【設計意圖】進一步理清思路，

7、明確問題，使問題由“求”變為“找”，這樣一來問題更具有游戲的味道，激發學生的學習熱情。在“找”這個零點之前，我們先來玩個小游戲：前兩天我剛剛買了個手機，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子，我只能告訴大家這個手機的價位是20003000元，如果我給大家6次猜價的機會，我只能告訴大家猜的價格比真實值多或少，大家能否猜出與手機真實價錢的誤差在50元以內的價錢？注意啊，你們的機會只有6次！第一次猜價：2500元，教師提示少了，手機價錢范圍縮小到25003000元，此時還不能確保誤差小于50元（為什么？）；第二次猜價：2750元，教師提示多了，手機價錢范圍縮小到25002750元，此時還不能確

8、保誤差小于50元（為什么？）；一次類推到第五次的時候，學生成功的猜出誤差在50以內的價錢。游戲結束。問題引導總結：問題3：大家如何猜誤差在50元內的價格？問題4：猜價過程當中，大家發現手機價錢的范圍有什么變化？問題5：我們為什么猜到第5次就停止？經過三個問題的引導，大家很快便總結出猜價格的方法：不斷取中點值與真實值比較，懂得判斷真實值所屬區間，區間長度不斷縮短，直到“猜值”與真實值的最大誤差小于50元為止。這種方法在數學中我們叫做“二分法”.【設計意圖】使學生更加輕松有趣的學習，通過猜價格游戲來引出二分法的概念，讓學生更容易接受二分法的思想和體會到學習二分法的顯示使用價值，借此培養學生的數學應

9、用意識.回到“例求方程的近似解.（精確度為0.01）”。問題6：利用剛才我們猜價格的方法，借助計算器，你能“找函數在區間（2,3）內的近似零點（精確度為0.0.1）”嗎？【設計意圖】從游戲把學生拉回本節主題，把游戲和本例的解決過程融合到一起對比分析比較，使學生真正的理解二分法的本質.模仿猜價格的方法，學生很快找出“尋找近似零點”的方法，注意鼓勵學生用通俗的語言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本質內涵。給出教材上的規范的定義。（結論歸納）1.二分法的定義對于在區間上連續不斷，且的函數，通過不斷地把函數的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似解（或對應方

10、程的近似根）的方法叫做二分法.注：結合例題來理解二分法的定義。2.利用二分法求方程近似解的步驟：1.確定初始區間，驗證f(a)f(b)<02.求區間的中點x13.計算：f(x1)判斷：(1)如果f(x1)=0，則x1就是f(x)的零點，計算終止；(2)如果f(a) f(x1)<0，則令b=x1 (此時零點x0(a,x1)中)；(3)如果f(a) f(x1)>0，則令a= x1 (此時零點x0(x1,b)；4.判斷是否達到精確度：即若最終區間長度小于 ，則得到零點近似值是(a,b)區間內的一點；否則重復24步驟。3.口訣定區間，找中點， 中值計算兩邊看。同號去，異號算， 零點落

11、在異號間。周而復始怎么辦？ 精確度上來判斷。【設計意圖】讓學生進一步總結用二分法求方程近似解的思維過程，歸納解題步驟，使學生由經驗水平上升到理論水平。通過歸納總結形成二分法的理論知識，訓練學生數學表達能力，培養學生的概括能力。（三）、課堂練習課堂練習1：下列函數中能用二分法求零點的是 （ ）問題7：根據練習，請思考用二分法求零點的條件是什么？【設計意圖】讓學生辨析什么情況下事宜用二分法求零點，辨析過程也是學生認識完善的過程。課堂練習2：用二分法求函數在內零點近似值的過程中得到，則零點落在區間 （ ） D.不能確定【設計意圖】進一步鞏固如何判斷零點所屬區間的方法。課堂練習3：計算函數的一個正零點近似值，列表如下：中點坐標中點函數值取區間若精確度為0.1，結果是 。【設計意圖】進一步理解二分法的定義及解題步驟，理解精確度的含義。（四）、課堂小結問題8：這節課你有哪些收獲？（二分法的定義；用二分法求方程近似解的步驟）教師補充：