1、利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程格拉姆-施密特正交化 在線性代數中，如果內積空間上的一組向量能夠組成一個子空間，那么這一組向量就稱為這個子空間的一個基。GramSchmidt正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基，并可進一步求出對應的標準正交基。這種正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經發現了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為巖澤分解（Iwasawa decomposition）。在數值計算中，GramSchmidt正交

2、化是數值不穩定的，計算中累積的舍入誤差會使最終結果的正交性變得很差。因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉進行正交化。記法 ：維數為n 的內積空間 ：中的元素，可以是向量、函數，等等 ：與的內積 ：、張成的子空間 ：在上的投影基本思想Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。設。是上的維子空間，其標準正交基為，且不在上。由投影原理知，與其在上的投影之差是正交于子空間的，亦即正交于的正交基。因此只要將單位化，即那么就是在上擴展的子空間的標準正交基。根據上述分析，對于向量組張成的空間 (，只要從其中一個向量

3、（不妨設為）所張成的一維子空間開始（注意到就是的正交基），重復上述擴展構造正交基的過程，就能夠得到 的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要確定已有基底向量的順序，不妨設為。Gram-Schmidt正交化的過程如下：這樣就得到上的一組正交基，以及相應的標準正交基。例考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合，歐氏空間上內積的定義為<a, b> = bTa：下面作GramSchmidt正交化，以得到一組正交向量：下面驗證向量與的正交性：將這些向量單位化：于是就是  的一組標準正交基底。不同的形式隨著內積空間上內積的定

4、義以及構成內積空間的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表現出不同的形式。例如，在實向量空間上，內積定義為：在復向量空間上，內積定義為：函數之間的內積則定義為：與之對應，相應的GramSchmidt正交化就具有不同的形式。利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程C語言程序如下：#include #include #define N 3 /N表示基的個數#define M 4 /M表示維數float zj(float a,float b /這是求內積函數int i;float k=0;for(i=0;i k+=ai*bi;return k;main(float pNM,bNM,kN;in

5、t i,j,m;for(i=0;i printf("請輸入第%d個向量：n",i+1;for(j=0;j scanf("%f",pi+j;for(i=0;i b0i=p0i;/下面是正交化過程for(i=1;i for(m=0;m km=zj(bi,bm/zj(bm,bm; /km表示正交化過程中向量前的系數for(j=0;j for(m=0;m bij-=km*bmj;printf("正交化結果為：n"for(i=0;i printf("第%d個向量是：n",i+1;for(j=0;j printf("

6、%g ",bij;putchar('n'/下面是單位化過程for(i=0;i for(j=0;j pij=bij/sqrt(zj(bi,bi;printf("n單位化結果為：n"for(i=0;i printf("第%d個向量是：n",i+1;for(j=0;j printf("%g ",pij;putchar('n'實驗結果如下：實踐課總結：在這次實踐課的課題討論中，我所在的這個組個個都發揮自己得能動性。都積極主動。拿到課題后，我們馬上討論分工，針對自己所分到得板塊去查閱資料，然后再次討論總結，最后每個人都提出問題共同解決。當然，在整個過程中遇到問題也是必然的。例如，由于對C語言不熟練而導致在程序設計時遇到種種困難，多而雜得程序設計在排版上不能讓讀者一目了然，感覺有點凌亂，并且在第一次試講過程中老師和細心得同學都提出了幾個疑議。下來后我們再次討論。針對那些問題并進行機上調試。結果得出，我們得設計可能繁雜冗長了些，但沒有錯，因為輸入書上得例子后可以