1、求展開式系數的六種常見類型求展開式中的系數是高考常考題型之一，本文以高考題為例，對二項式定理 試題中求展開式系數的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一、(a b)n(n N )型例1. (x 應y)10的展開式中x6y4項的系數是()(A) 840(B) 840(C) 210(D) -210解析：在通項公式Tr 1 CM J2y)rx10中令r=4,即得(x T2y)10的展開式中x6y4項的系數為C14)( 72)4=840，故選Ao例2. (x 上)8展開式中x5的系數為 x183rq解析：通項公式Tr1 C8x8r( y)r ( 1)rC8x 2 ，由題意得8 3r 5, ,x2則r 2,

2、故所求x5的系數為(1)2C； 28。評注：常用二項展開式的通項公式求二項展開式中某特定項的系數，由待定系數法確定r的值。二、(a b)n (c d)m(n,m N )型例3. (x3 -)4 (x l)8的展開式中整理后的常數項等于 . xx解析；(x3 2)4 的通項公式為 Tr1 C；(2)(x3)4r C；( 2)rx124，令 xx12 4r 0,則r 3,這時得(x3 ?)4的展開式中的常數項為C323 = 32, x(x 1)8的通項公式為Tk1 C；d)kx8k C；x82k,令8 2k 0,則k 4,這時得 xx(x 1)8的展開式中的常數項為C；=70,故(x3 2)4 (

3、x 1)8的展開式中常數項 xxx等于 32 70 38。例4.在(1 x)5 (1 x)6的展開式中，含x3的項的系數是()(A) 5(B) 5(C)10(D) 10解析：(1 x)5中X3的系數C310 ,(1 x)6中x3的系數為Ce ( 1)3 20,故(1 x)5 (1 x)6的展開式中X3的系數為10,故選D 。評注：求型如(a b)n (c d)m(n,m N )的展開式中某一項的系數，可分 別展開兩個二項式，由多項式加減法求得所求項的系數。三、(a b)n(c d)m(n,m N )型例5. (x2 1)( x 2)7的展開式中x3項的系數是。解析：(x 2)7的展開式中x、x

4、3的系數分別為 C7( 2)6和C3( 2)4,故(x2 1)(x 2)7 的展開式中 x3 項的系數為 C7( 2)6+C3( 2)4=1008。例6. x 1 x 1 8的展開式中x5的系數是()(A )14( B ) 14(C )28(D)28略解：(x 1)8的展開式中x4、x5的系數分別為C；和C，,故x 1 x 18展 開式中x5的系數為C84 C8 14,故選B。評注：求型如(a b)n(c d)m(n,m N )的展開式中某一項的系數，可分別 展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數。四、(a b c)n(n N )型例7. (x 1 J5)5的展開式中整理后的常數項為 .

5、2 x5, k 1 解法 一：B1炎)5=(31)<2 ，通項公式丁C：22(-1)5k,2x2x2x,x 1.5kr r 5 k r (5 k r)r 5 2r k k r 5 人(-) 的通項公式為Tr 1 C5 kx x 2 < ) C5 kx 2，令2 x5 2r k 0,WJk 2r 5,可得 k 1,r 2或 k 3,r 1或 k 5,r 0。,_ - c 15.9當k 1,r 2時，得展開式中項為C5Cj222 2 15必；2當k 3,r 1時,，得展開式中項為C5C22V2 2 1 20行；當k 5,r 0時，得展開式中項為C；4T2 4垃綜上，仁 1 V2)5的展

6、開式中整理后的常數項為 殍 20.2 4.2 63-2 2 x22cc 5解法二：(個 21°、5 /X 2 . 2x 2、5 (x .2) (x . 2)2) =() =5=x2x(2x)5(2x)5項式(x 、，；2)10中，Tr 1 CiOx10r(T2)r,要得到常數項需10 r 5,即r 5。所C5以，常數項為C10(.2)563 , 22解法三：(-1 V2)5是5個三項式仁-V2)相乘。常數項的產生有三2 x2 x種情況：在5個相乘的三項式(x 1 歷中，從其中一個取x,從另外4個三2 x2項式中選一個取1,從剩余的3個三項式中取常數項相乘，可得 xc5 1 c4 c；

7、 (J2)3 20V2 ；從其中兩個取-,從另外3個三項式中選兩個取-,5 2 432x從剩余的1個三項式中取常數項相乘，可得 c； (1)2 c；2 & yV2；從5個相乘的三項式(-揚中取常數項相乘，可得C； (72)5=4亞。2 x綜上，(x1T2)5的展開式中整理后的常數項為2 x20.2 "二 4.2 4。22評注：解法一、解法二的共同特點是：利用轉化思想，把三項式轉化為二項式來解決。解法三是利用二項式定理的推導方法來解決問題，本質上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項。五、(a b)m (a b)m 1 L (a b)n (m, n N

8、,1 m n)型例8.在(1 x) (1 x)2(1 x)6的展開式中，x2項的系數是(用數字作答)解析：由題意得x2項的系數為C； C； C42 C： C2 35。例9.在(1x)5+(1x)6+(1x)7+(1x)8的展開式中，含x3的項的系數是3 / 5()(A) 74(B) 121(C) 74(D) 121解析：(1- x)5 + (1 x)6 +(1 x)7 +(18=(1 x)51 (1 x)4(1 x)5 (1 x)91 (1 x)x(1 x)5 中 x4 的系數為 C54 5,(1 x)9 中 x4 的系數為一C；126 -126+5=121，故選Do評注：例8的解法是先求出各

9、展開式中x2項的系數，然后再相加；例 9則從整體出發，把原式看作首相為（1x）5,公比為（1x）的等比數列的前4項和,用等比數列求和公式減少項數，簡化了運算。8和例9的解答方法是求(a b)m (a b)m 1 L (a b)n(m, n N ,1n）的展開式中某特定項系數的兩種常規方法。六、求展開式中若干項系數的和或差例 10.若(1 2x)20042a0a1x a2x2004 , a 2004 x (xR),則(a0a1) (a0a2)(a0a3)(a0a 2004)o （用數字作答）解析：在（1200422x)a0 a1x a2x2004 , a2004x中,a1 a2a3a2004(1

10、) 20041故(a0a1) (a0a2)(a0a3)(a0a 2004)=2003a0+a0 a1a2a3a20042004 。例 11 . (2x3)4a0a1x2 a?xa3x3 a4x4 ,則(a022a2a4)(a1a3)令x 1 ,可得a0a1a2a3 a4(23)44 / 5的值為（）(A) 1(B)-1(C) 0(D) 2解析：在（2x , 3）4a1x2a2x-3_4a3xa4x 中,令x 1 ,可得a0a2a3 a4(2 V3)4,所以，(a。a2 a4)2 (a1 a3)2 = (a° a? a4aa3)(a0a? a4 aia3)= (a。 ai a2 a3 a4)(a。 a a2 a3a4)= (2 73)4(2 袁)4=1，故評注：