1、自由落體運動與豎直上拋運動解題方法及其解題技巧一 自由落體運動1. 知識清單：一、自由落體運動。 1、什么是自由落體運動。 任何一個物體在重力作用下下落時都會受到空氣阻力的作用，從而使運動情況變的復雜。若想辦法排除空氣阻力的影響（如：改變物體形狀和大小，也可以把下落的物體置于真空的環境之中），讓物體下落時之受重力的作用，那么物體的下落運動就是自由落體運動。 物體只在重力作用下，從靜止開始下落的運動叫做自由落體運動。 2、自由落體運動的特點。從自由落體運動的定義出發，顯然自由落體運動是初速度為零的直線運動；因為下落物體只受重力的作用，而對于每一個物體它所受的重力在地面附近是恒定不變的，因此它在下

2、落過程中的加速度也是保持恒定的。而且，對不同的物體在同一個地點下落時的加速度也是相同的。關于這一點各種實驗都可以證明，如課本上介紹的“牛頓管實驗”以及同學們會做的打點計時器的實驗等。綜上所述，自由落體運動是初速度為零的豎直向下的勻加速直線運動。二、自由落體加速度。1、在同一地點，一切物體在自由落體運動中加速度都相同。這個加速度叫自由落體加速度。因為這個加速度是在重力作用下產生的，所以自由落體加速度也叫做重力加速度。通常不用“a”表示，而用符號“g”來表示自由落體加速度。2、重力加速度的大小和方向。同學們可以參看課本或其他讀物就會發現在不同的地點自由落體加速度一般是不一樣的。如：廣州的自由落體加

3、速度是9.788m/s2，杭州是9.793m/s2，上海是9.794m/s2，華盛頓是9.801m/s2，北京是9.80122m/s2，巴黎是9.809m/s2，莫斯科是9.816m/s2。即使在同一位置在不同的高度加速度的值也是不一樣的。如在北京海拔4km時自由落體加速度是9.789m/s2，海拔8km時是9.777m/s2，海拔12km時是9.765m/s2，海拔16km時是9.752m/s2，海拔20km時是9.740m/s2。盡管在地球上不同的地點和不同的高度自由落體加速度的值一般都不相同，但從以上數據不難看出在精度要求不高的情況下可以近似地認為在地面附近（不管什么地點和有限的高度內）

4、的自由落體加速度的值為：g = 9.765m/s2。在粗略的計算中有時也可以認為重力加速度g = 10m/s2。重力加速度的方向總是豎直向下的。三、自由落體運動的規律。既然自由落體運動是初速度為零的豎直向下的勻加速直線運動。那么，勻變速直線運動的規律在自由落體運動中都是適用的。勻變速直線運動的規律可以用以下四個公式來概括： （1） （2） （3） （4）對于自由落體運動來說：初速度v0 = 0，加速度a = g。因為落體運動都在豎直方向運動，所以物體的位移S改做高度h表示。那么，自由落體運動的規律就可以用以下四個公式概括： （5） （6） （7） （8）二解題方法自由落體運動是勻變速直線運動的

5、特例，所涉及的題目大多是考查勻變速運動公式的靈活應用及方程組的求解，本題側重于一段勻變速運動的平均速度等于中間時刻的瞬時速度這一規律的應用，變式題涉及的是自由落體運動運動規律的靈活運用三經典例題從某一高塔自由落下一石子，落地前最后一秒下落的高度為塔高的7/16，求塔高。 分析：石子的下落可以近似看作自由落體運動，因此可以自由落體運動的規律來求解本問題 解法：畫出石子的運動草圖。設石下落的總時間為t，塔高為H，則下落距離為塔高的9/16時經過時間（t-1），根據自由落體運動的位移公式： H = gt2解、兩式得：t=4s H=80m二 豎直上拋運動一 知識清單：（1）全過程研究：v0豎直向上，a

6、g豎直向下，以拋出點為坐標原點，以豎直向上的v0方向為坐標的正方向。 說明： 均為負值。 vt、h的正負號表示方向跟規定正方向相同還是相反，三個公式概括了豎直上拋運動的往返運動全過程。 注意：由于下落過程是上升過程的逆過程，所以物體在通過同一高度位置時，上升速度與下落速度大小相等，物體在通過同一段高度過程中，上升時間與下落時間相等。這是豎直上拋運動的對稱性。 （2）分階段研究：上升階段為vt=0的勻減速直線運動，下落階段為自由落體運動。 上升時間t上=，最大高度H= 對稱性：t上=t下，vt=v0，在同一高度v上=-v下 （3）分運動研究：由向上的勻速直線運動（v0）和向下的自由落體運動這兩個

7、分運動合成，設向上（v0方向）為正方向，則 注意vt、s的“、”的含義。二 方法指導：豎直上拋運動處理方法 (1)分段法：把豎直上拋運動的全過程分為上升階段和下降階段，上升階段做末速度vt0、加速度ag的勻減速直線運動，下降階段做自由落體運動物體下落階段的運動和上升階段的運動互為逆運動 (2)全程法：把豎直上拋運動的上升階段和下降階段看成是一個勻減速直線運動，其加速度方向始終與初速度v0的方向相反三經典例題例題：一支步槍的發射速度為v0，有人每隔1s豎直向上打一槍，若不計空氣阻力，求第一顆子彈射出后與第n(n2)顆射出的子彈彼此相遇的時間。（設子彈不相碰，且都在空中運動）。解法1：從第一顆子彈

8、射出的時刻開始計時，設相遇時第一顆子彈運動了ts。因為每隔1s發射一顆子彈，所以相遇時第n顆子彈運動的時間為：tn=t(n1) （1）由相遇時位移相等得：h1=hn （2） 又因為：h1= v0t （3） hn= v0 tn （4）所以，將（1）、（3）、(4)式代入(2)式得：t=,（n2）解法2：根據豎直上拋運動的特點可知：相遇時第n顆子彈與第一顆子彈的速度大小相等、方向相反，即：vn=v1 （1）又因為：v1= v0gt （2） vn= v0g tn （3） tn=t(n1) （4）所以，將（2）、（3）、(4)式代入(1)式得：t=,（n2）解法3：根據豎直上拋運動的特點可知：相遇時第

9、n顆子彈與第一顆子彈運動的時間之和等于，即：ttn= （1）又因為：tn=t(n1) （2）所以，將(2)式代入(1)式得：t=,（n2）解法4：因為相遇時第一顆子彈比第n顆子彈多運動了(n1)s，所以根據豎直上拋運動的對稱性可知：第一顆子彈從最高點下降到相遇點所經歷的時間為s，則相遇時第一顆子彈運動的時間為：t=t上+ （1）又因為：t上= （2）所以，將(2)式代入(1)式得：t=,（n2）三兩個豎直上拋運動相遇問題的分析方法1方法指導自由落體與豎直上拋物體的相遇問題當兩個物體從不同位置先后做自由落體運動或兩個物體分別做自由落體與豎直上拋運動時，兩物體在空中相遇的條件都是兩物體在同一時刻位

10、于同一位置 上述兩種情況下兩個物體的相遇問題，可以地面為參考系根據自由落體規律結合位移關系和時間關系求解，也可以某一物體為參考系根據兩物體相對勻速運動結合相對位移和時間關系求解2. 經典例題：例題：將小球A以初速度VA=40 m/s豎直向上拋出，經過一段時間t后，又以初速度VB=30m/s將小球B從同一點豎直向上拋出，為了使兩個小球能在空中相遇，試分析t應滿足的條件。解析：由于是在同一點拋出且VAVB，故相遇的位置一定是在A球下降階段，B球有可能是在下降或上升階段，其拋出的時間間隔就由這兩過程決定。 方法一：利用空中的運動時間分析 要使兩小球在空中相遇，t應滿足的條件一定是

11、介于某一范圍內，因此，只要求出這個范圍的最大值和最小值就可以了。 當小球B拋出后處于上升階段時與A球相遇，經過的時間間隔較大，故t的最大值為小球A剛要落回拋出點的瞬間將小球B拋出。而小球A在空中運動的時間為： ， 即t的最大值為tmax=8s。 當小球B拋出后處于下降階段時與A球相遇，經過的時間間隔較小，故t的最小值為A、B兩小球同時落地，先后拋出的時間間隔。而小球B在空中運動的時間為： ， 則t的最小值為tmin=tA-tB=2s。 故要使A、B兩小球在空中相遇，t應滿足的條件為2st8s。 方法二：利用位移公式

12、分析 A、B兩小球在空中相遇，不管其是在上升還是下降階段相遇，相遇時的位移必相等。設小球B拋出后經時間t與小球A相遇，則小球A拋出后的運動時間為（t+t），由位移公式可得  整理后可得，相遇時小球B所經過時間為：                          （1） 考慮到A、B小球在空中相遇，則0t6s

13、。 由（1）式可得：0                    （2） 6                   （3） 解（2）式得：1t8 解（3）式得：t2，或t6（不合題意） 

14、綜合上述可得，要使A、B兩小球在空中相遇，t應滿足的條件為2st8s。 方法三：巧選參考系分析 小球B經t再拋出后，以小球A為參考系，小球B作勻速直線運動，其相對速度為 =30（40gt）=gt10 而此時小球A的位移為，則小球B與小球A相遇的時間為  同樣，考慮到A、B小球在空中相遇，則0t6s，亦可以得到上述的（2）（3）兩式，亦可求出要使A、B兩小球在空中相遇，t應滿足的條件為2st8s。 方法四：利用圖象分析 1利用位移圖象分析 由位移公式可得A、B兩小球的位移隨時間的關系為 SA=40

15、t5t2 SB=30t5t2  可見，它們的圖象均為拋物線，在位移-時間圖象中分別作出它們的圖象，如圖1所示的圖線A和B。經過不同時間t后再拋出小球B，只要將圖線B逐漸向右移動，要使A、B兩小球在空中相遇，必須使A、B兩圖線存在交點，交點的橫坐標為相遇時的時刻，縱坐標為相遇時的位移。由圖1可知，當移動的時間間隔為2s時，與圖線A開始有交點，如圖1中的B1位置；當移動的時間間隔為8s時，與圖線A開始沒有交點，如圖中1的B3位置。由圖可知，當2st5s時，其相遇情況是A、B兩球都處于下降階段，當5st8s時，其相遇情況是A球處于下降階段B球處于上升階段。因此可得A、B

16、兩小球在空中相遇，t應滿足的條件為：2st8s。 2利用速度圖象分析 由速度公式可得，A、B兩小球的速度隨時間的變化關系為： VtA=4010t， VtB=3010t  在速度時間圖象中分別作出它們的圖象，如圖2所示的圖線A和B。要使A、B兩小球在空中相遇，必須使小球B拋出后，在小球A落地之前，它的位移要大于零。而位移為速度圖線與坐標軸所圍成的面積，由如圖2可知，將B的速度圖線逐漸向右移動，移動的時間間隔在2s以內，小球A的位移總是大于小球B的位移，且小球B總先于小球A落地，A、B兩小球不可能相遇，當時間間隔等于2s時，如圖中B1位置

17、，兩球同時落地。繼續將B的速度圖線向右移動，在小球A落地之前的時間內，如圖中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移總是大于零，即說明了A、B兩小球在空中相遇了。由圖可知，當2st5s時，其相遇情況是A、B兩球都處于下降階段，當5st8s時，其相遇情況是A球處于下降階段B球處于上升階段。故要使A、B兩小球在空中相遇，t應滿足的條件為：2st8s。 點評：由以上四種分析方法可以看出，采用圖象法簡單、直觀、易懂，對于A和B兩小球是在上升階段還是下降階段相遇非常清楚；方法一雖然也簡單，但不易弄懂，要分析出A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段，若能結合圖象再加以分析，就非常清楚了；方

18、法二和方法三不需要分析出A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段，邏輯性很強，但要解不等式，相對來說要復雜一些。【達標測試】 1. 一個作自由落體運動的物體，從開始運動起通過連續三段路程的時間分別是t、2t、3t，這三段路程之比是（ ）A. 1：2：3B. 1：22：32C. 1：23：33D. 1：3：5 2. 某同學身高1.8m，在運動會上他參加跳高比賽，起跳后身體橫著越過了1.8m高度的橫桿。據此可估算出他起跳時豎直向上的速度大約為（ ） A. 2m/s B. 4m/s C. 6m/s D. 8m/s 3. 自由下落的物體第ns內通過的位移比第（n1）s內通過的位移多（ ） A. 9

19、.8mB. 4.9（2n1）mC. 3（n1）mD. 4. 石塊A自塔頂落下lm時，石塊B自離塔頂nm處自由落下，二石塊同時落地，則塔高為（ ） A. B. C. D. 5. 做自由落體運動的物體在最后1s的位移是全程的7/16，則物體下落的總高度為_m，下落時間為_s。 （g10m/s2） 6. 物體由A點自由下落，經過B點到達C點。已知物體經過B點的速度是C點速度的1/3，BC間的距離是24m，則AC間的距離是_。 7. 如圖所示，一根長為l的直桿從一圓筒的上方高H處豎直自由下落，該圓筒高為L，則桿穿過筒所用的時間為_。 8. “9·11”事件后，美國對阿富汗內的基地組織進行了軍

20、事打擊。在一次軍事打擊中，美軍有一架執行任務的直升機正停留在某一高空投運軍用物資，測出空投物資自由下落過程中通過連續相等時間的時間間隔內，某一相鄰高度分別為23.6m、26.05m，試確定飛機所在處的重力加速度？（物體下落時不計空氣阻力） 9. 氣球以1m/s2的加速度由靜止開始從地面豎直上升，在10s末有一個物體從氣球上自由落下，這個物體從離開氣球到落地所需要的時間是多少？落地時的速度有多大？【綜合測試】 1. 從某一高度先后由靜止釋放兩個相同的小球甲和乙，若兩球被釋放的時間間隔為1s，在不計空氣阻力的情況下，它們在空中的運動過程中（ ） A. 甲、乙兩球的距離越來越大，甲、乙兩球的速度之差

21、越來越大 B. 甲、乙兩球的距離始終保持不變，甲、乙兩球的速度之差保持不變 C. 甲、乙兩球的距離越來越大，甲、乙兩球的速度之差保持不變 D. 甲、乙兩球的距離越來越小，甲、乙兩球的速度之差越來越小 2. （2005 海淀一模）將一個皮球以初速度v0從地面豎直向上拋出，經過時間t0到達距地面高度為H的最高點，又經過時間t0返回到拋出點，不計空氣阻力。可以用圖中的圖像定性反映皮球運動過程中速度v的大小隨時間t的變化情況以及皮球離地面的高度s隨時間t的變化情況，其中正確的是（ ） 3. 從地面上豎直向上拋出一個物體A，同時在離地面某一高度有另一個物體B開始自由落下，兩物體在空中同時到達同一高度時速

22、率都為v，不計空氣阻力，則下列說法中正確的是（ ） A. 物體A上拋時的初速度和物體B落地時的速度大小相等，都是2v B. 物體A和B在空中運動的時間相等 C. 物體A上升的最大高度和物體B開始下落的高度相等 D. 兩物體在空中同時到達的同一個高度處一定是物體B開始下落時的高度的一半 4. 在輕繩的兩端各栓一個小球，一人用手拿著上端的小球站在3層樓陽臺上，放手后讓小球自由下落，兩小球相繼落地的時間差為T，如果站在4層樓的陽臺上，同樣放手讓小球自由下落，則兩小球相繼落地時間差將（ ） A. 不變B. 變大C. 變小D. 無法判斷 5. 雜技演員每隔相等的時間向上拋出一個小球，若每個小球上升的高度

23、都是1.25 m，他一共有4個小球，要想使節目連續不斷地表演下去，在他的手中總要有一個小球停留，則每個小球在手中停留的時間應為_s。（g取） 6. 一礦井深125m，在井口每隔一段時間落下一個小球，當第11個小球剛從井口開始下落時，第一個小球恰好到達井底，則相鄰兩個小球開始下落時間間隔為_s，這時第三個小球和第五個小球相距_m。（g取） 7. 小球在空中A點豎直上拋，落到距A點的正下方h處的速度恰是小球在距A點的正上方h處的速度的二倍，則小球所能達到的最高點距A點的高度是_。 8. 從靜止在一定高度的氣球上自由落下兩個物體，第一個物體下落1s后，第二個物體開始下落，兩物體用長L=95m的細線連

24、在一起。則第二個物體下落_s線被拉直。（g=10m/s2） 9. 一只皮球從高h=5.0m處自由下落，著地后豎直向上反跳，上跳速率等于著地速率的3/4，以后每一次反跳的速率都等于前次著地速率的3/4，那么這只皮球經過多長時間靜止于地面？（g=10m/s2） 10. （2005 東城模擬）有一種“傻瓜”相機的曝光時間（快門打開到關閉的時間）是固定不變的。為了估測該相機的曝光時間，有位同學提出了下述實驗方案：他從墻面上A點的正上方與A相距H1.5m處，使一個小石子自由落下，在小石子下落通過A點后，立即按動快門，對小石子照相，得到如圖所示的照片，由于石子的運動，它在照片上留下一條模糊的徑跡CD。已知

25、每塊磚的平均厚度是6cm。 請從上述信息和照片上選取估算相機曝光時間必要的物理量，用符號表示，如H等，推出計算曝光時間的關系式，并估算出這個“傻瓜”相機的曝光時間？ 11. 雜技演員把3個球依次豎直向上拋出，形成連續的循環。在循環中，他每拋出一球后，再過一段與剛拋出的球剛才在手中停留的時間相等的時間，又接到下一個球。這樣，在總的循環過程中，便形成有時空中有3個球，有時空中有2個球，而演員手中則有一半時間內有1個球，有一半時間內沒有球。設每個球上升的高度均為1.25m，取g=10m/s2，求每個球每次在手中停留的時間？【達標測試答案】 1. C 提示：。 2. B 提示：估計人的重心高度為0.9

26、m，所以人實際需要將重心抬高0.9m即可越過橫桿。 3. A 提示： 4. B 提示：。 5. 80，4 提示：。 6. 27 m 提示：。 7. （） 提示：竿穿過筒所用時間應從竿的下端到筒上端開始計時，故減掉竿下落H的時間。 8. 提示：。 9. 4.3 s，33.2m/s 解答：10s末物體的速度為v=at1=10m/s 離地高度為h=m 脫落后，物體做豎直上拋運動，設落地的時間為t2，落地時的速度為v 得到m/s t24.3s【綜合測試答案】 1. C 提示：。 2. A 提示：，其圖像應是開口向下的拋物線。 3. AC 提示：A上升最大高度應與B自由落體時高度相同，物體A是B在空中運動的時間2倍，兩物體在空中同時到達的同一個高度處一定是物體B開始下落時的高度的。 4. C 提示：兩小球都是自由落體運動，可在一v-t圖象中作出速度隨時間的關系曲線，如圖所示，設人在3樓陽臺上釋放小球后，兩球落地時間差為t1，圖中陰影部分面積為h，若人在4樓陽臺上釋放小球后，兩球落地時間差t2，要保證陰影部分面積也是h；從圖中可以看出一定有t2t1。 5. 0.33 提示：空中一直有三個小球，小球豎直上拋到落回手的時間應均分三