1、15專(zhuān)題30函數(shù)與面積破解策略解決函數(shù)與面積問(wèn)題的常用方法有1 .割補(bǔ)法當(dāng)所求圖形的面積沒(méi)有辦法直接求出時(shí)，我們采取分割或補(bǔ)全圖形再分割的方法來(lái)表示所求圖形的面積, 如圖：S四邊形ABCD= S 四邊形ADC S BCESaABC= JS AB葉屋 BCDS 四邊形 ABCD=協(xié) AB葉 $ ACDSa ABC= S 梯形 AEFC S AEB一 $ CBFS 四邊形 ABCD= Sx ABd+ S 梯形 BDN S BC什 S DCN一般步驟為：(1)設(shè)出要求的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)通過(guò)割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過(guò)條件可以表示的圖形面積相加減；(3)列出關(guān)于所設(shè)參數(shù)的方程求解；(4)檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)

2、都符合題意.2 .等積變換法利用平行線(xiàn)間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個(gè)圖形中，如圖所示:直線(xiàn)m/直線(xiàn)nSa abc= Sa abd= Sa abe例如，在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)常作已知三角形一邊的平行線(xiàn)去進(jìn)行等積變換,ySk abc= Sa abd= Sa abe一般步驟：(1) 設(shè)出直線(xiàn)表達(dá)式，兩條平行的直線(xiàn)k值相等；(2) 通過(guò)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)表達(dá)式；(3) 求出題中要求的點(diǎn)；(4) 檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意.3、鉛錘法三角形的鉛垂高指無(wú)論三角形怎么放，上方頂點(diǎn)到下方頂點(diǎn)的縱向距離(不是兩點(diǎn)之間的距離，而是指兩點(diǎn)之間上下距離，左右橫向不用考慮).在平面直角坐

3、標(biāo)系中經(jīng)常向x軸y軸作垂線(xiàn)，然后利用鉛錘法,如圖o工I一般步驟：(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)向x軸y軸作垂線(xiàn)對(duì)圖形進(jìn)行分割，利用鉛錘法表示圖形面積；(3)根據(jù)題意列方程求解；(4)檢驗(yàn)是否符合題意.4.等比轉(zhuǎn)換法若已知條件中的圖形是相似的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線(xiàn)段比；若已知條件中的圖形是同底或等底的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對(duì)應(yīng)高的比；若已知條件中的圖形是同高或等高的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對(duì)應(yīng)底的比一般步驟：(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將圖形的面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線(xiàn)段比；(3)列方程，求出參數(shù)；(4)檢驗(yàn)是否符合題意.1 k例1如圖，直線(xiàn)y= X與雙曲線(xiàn)y= (kA0)交A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的

4、橫坐標(biāo)為4,2 x(1) 求k的值k(2) 若雙曲線(xiàn)y =k(k 0)xk(3)過(guò)原點(diǎn)。的另一條直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)y=-(k 0)于P, Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限)，若由點(diǎn) A, B,X24,求點(diǎn)P的坐標(biāo).P, Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為解(1)二點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4,1 .把x = 4代入y = x中2得 y = 2,A (4, 2),1 k.點(diǎn)A是直線(xiàn)y=-x與雙曲線(xiàn)y=-(k0)的交點(diǎn),點(diǎn)C在雙曲線(xiàn)上，2 x當(dāng) y = 8 時(shí)，x=1,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1, 8) .過(guò)點(diǎn)A.C分別做x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足為 M N,得失I形DMON. S矩形 ONDM32, SAONC 4, SACDA= 9, SA

5、OAIM= 4. . $ AO匿S矩形 ONDMA ONCSJACDASJA QAIVt 32-4-9-4=15;解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)C. A分別做x軸的垂線(xiàn)，垂足為 E. F, 點(diǎn)C在雙曲線(xiàn)y = 8x上，當(dāng) y = 8 時(shí)，x=1,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1, 8). 點(diǎn)C. A都在雙曲線(xiàn)y = 8x上， .SA COE= SA AOF= 4,.SA COE- S 梯形 CEFA= SA COA- SA AOF.SA COA= S 梯形 CEA. .S梯形 CEFA= 12X (2+8) X 3= 15, .SA COA= 15;(3)二反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形,OA OQ OA=

6、OB 四邊形APBQ平行四邊形，.SA POA S 平行四邊形 APBa 14=14X24= 6,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m (m 0且 亦4),得 P (m 8mj),過(guò)點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線(xiàn)，垂足為 E.F, 點(diǎn)P、A在雙曲線(xiàn)上，. S PO號(hào) SA AOM 4,若0Vm4,如圖，/SA AOFH S 梯形 AFEP= SA AOPF SA POE.S梯形 PEFA= SA POA= 6.1 8一(2+ ) ? (m4) =6,2 m解得m=8, n2=-2 (舍去)，P (8, 1).點(diǎn)P的坐標(biāo)是P (2, 4)或P (8, 1).例2如圖，拋物線(xiàn)y =ax2 +bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2

7、,且與x軸交于A B兩點(diǎn)，且與x軸交于兩點(diǎn).與y軸交于點(diǎn)C.其中AI (1, 0) , C (0, 3).(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) P異于點(diǎn)A).當(dāng) PBC積與 ABC面積相等時(shí).求點(diǎn) P的坐標(biāo); 拋物線(xiàn)的解析式為 j/ = -?+4j-3 .(2)令-工，+ 4靠一3 = 0,解得/匚L七二3二. B 3 3, 0)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)BC的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) P,易求直線(xiàn)BC的解析式為y =，設(shè)直線(xiàn)ap的解析式為y=x+冏， 直線(xiàn)AP過(guò)點(diǎn)A (1, 0),代入求得,=-1 |.y= x-1y= -/+4m- 3解方程組 直線(xiàn)AP的解析式為一

8、 1 1得. 點(diǎn)月1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖1設(shè)直線(xiàn)期交y軸于點(diǎn)且(0，一1),把直線(xiàn)BC向下平移2個(gè)單位，交拋物線(xiàn)于點(diǎn) 名、月，得直線(xiàn)月名的解析式為yd解方程組7=工-5y= -za + 4x- 33+而 2 , -7+折3-厲2-7-Tn23-V17 -7-Vn. n/3 + 舊 -7+V17.，)，片 G，22322綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為:耳1),國(guó)三”二死 鳥(niǎo)(三2”三巫)222322例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn) y =ax2 +bx -3 (aw 0)與 x軸交于 A( 2, 0) , B (4. 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)

9、，在線(xiàn)段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線(xiàn)段BC上以每秒1個(gè)電位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí).另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)4PBQ解 (1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與一8a.x軸交于2-a (x+2) (x 4) = ax 2axPBQ勺面積最大，晟大面積是多少？BC下方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) K.使存在時(shí)，問(wèn)：運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，(3)當(dāng) PBQ勺面積最大時(shí)，在 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.& CBK : SL pbq= 5 : 2 ?若存在，求點(diǎn) K所以8a= 3,解得a84(2)如圖1.過(guò)點(diǎn)Q作QHLx軸于點(diǎn)H.3. b=-2a=- 3 .所以?huà)佄锞€(xiàn)的表達(dá)式為在

10、 RtABCCO, OB= 4, OC= 3,所以 BC= 5. sin B=-. 53在 RtABQFH, BQ= t .所以 QH= BQ- sin B= 3t5 所以-11vSA PBQ 一 BP- QH=-,3392(63t) x 3t= _三代_11 5109+ 10因?yàn)?3)方法一：等比轉(zhuǎn)化法0t2,所以當(dāng)t=1時(shí)， PBQ勺面積最大，最大面積是 .910當(dāng)PBa勺面積最大時(shí)，t=1,此時(shí)P是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, 0） , BQ= 1 .如圖2,因?yàn)?PBCW PB德等高三角形，所以 Sapbc： Sapba BC： BQ= 5當(dāng) Sacbk： Sapbq= 5 ： 2

11、時(shí)，Sapbc： Sacbk= 2 ： 1 .因?yàn)?PBC得最大值等，此時(shí)點(diǎn)2D代母.2,4317 3-17I ,(2)易得直線(xiàn) BC的表達(dá)式為y=x+3.點(diǎn)P, M的坐標(biāo)分別為(1, 4) , ( 1, 2) .直線(xiàn)PM與x軸交 于點(diǎn)E (1, 0) .所以P陣EM過(guò)點(diǎn)產(chǎn)且與直線(xiàn) BC平行的直線(xiàn)為y-x+ 5.過(guò)點(diǎn)E且與BC平行的直線(xiàn)為y=-x+1.兩直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q所以點(diǎn)Q為Q (2，3)，Q1 23 2.如圖，拋物線(xiàn)y= 1x2 -3x-2與T軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) C，22P是x軸下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合).連結(jié)PB. PC.設(shè) PBC勺面積為S，(1)求S的取值范圍；(2)若 PBC勺面積S為正整數(shù)，則這樣的 PBCtt有個(gè).y【答案】(1) 0vS 5; ( 2) 11個(gè)， . 1c 3【提示】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.m,-m2 -m-2，如圖，過(guò)點(diǎn)P作一軸的平行線(xiàn)，交 BC于點(diǎn)F，則可得 ,22點(diǎn)F的坐標(biāo)為mJ m -2 I. ,2當(dāng)點(diǎn)P在BC下方的拋物線(xiàn)上時(shí).可得 FP= 1m2 +2m,從而