1、圓錐曲線與向量的綜合性問題一、常見基本題型： 在向量與圓錐曲線相結合的題目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去尋找坐標之間的數量關系，往往要和根與系數的關系結合運用。(1) 問題的條件以向量的形式呈現，間接的考查向量幾何性質、運算性質，例1、設，點在軸的負半軸上，點在軸上，且 當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程； 解：（解法一），故為的中點 設，由點在軸的負半軸上，則 又， 又， 所以，點的軌跡的方程為 （解法二），故為的中點 設，由點在軸的負半軸上，則 - 又由，故，可得 由，則有，化簡得： 所以，點的軌跡的方程為 例2、已知橢圓的方程為，它的一個焦點與拋物線的焦點 重合，離心率，過橢圓的

2、右焦點作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓 于、兩點 （1）求橢圓的標準方程； （2）設點，且，求直線的方程； 解：（）設橢圓的右焦點為，因為的焦點坐標為，所以 因為，則， 故橢圓方程為： （）由（I）得，設的方程為（）代入，得， 設則， 所以直線的方程為 （2）所求問題以向量的形式呈現 例3、已知橢圓E的長軸的一個端點是拋物線的焦點，離心率是 （1）求橢圓E的方程； （2）過點C（1，0），斜率為k的動直線與橢圓E相交于A、B兩點，請問x軸上 是否存在點M，使為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請 說明理由。 解：（1）根據條件可知橢圓的焦點在x軸， 且 故所求方程為即， （2）假設存在點M

3、符合題意，設AB：代入 得： 則 要使上式與無關，則有 解得，存在點滿足題意。 例4、線段過y軸上一點，所在直線的斜率為，兩端點、 到y軸的距離之差為. ()求出以y軸為對稱軸，過、三點的拋物線方程； ()過該拋物線的焦點作動弦，過、兩點分別作拋物線的切線，設 其交點為，求點的軌跡方程，并求出的值. 解：()設所在直線方程為，拋物線方程為， 且， ，不妨設， 即 把代入得 ， 故所求拋物線方程為 ()設， 則過拋物線上、兩點的切線方程分別是 ，兩條切線的交點的坐標為設的直線方程為，代入得 故的坐標為點的軌跡為 而 故 (3)問題的條件及待求的問題均已向量的形式呈現 例5、在直角坐標系xOy中，

4、長為的線段的兩端點C、D分別在x軸、y軸上 滑動，記點P的軌跡為曲線E （I）求曲線E的方程； （II）經過點（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點，當點 M在曲線E上時，求的值 解：（）設C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)由，得(xm，y)(x，ny)，得 由|1，得m2n2(1)2，(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21 （）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點M坐標為(x1x2，y1y2)設直線l的方程為ykx1，代入曲線E方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，x1x2 y1y2k(x1x2)2，由點M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得

5、k22 這時x1x2y1y2x1x2(kx11)(kx21)(1k2)x1x2k(x2x2)1，(xy)(xy)(2x)(2x)42(xx)(x1x2)242(x1x2)22x1x2(x1x2)2，cos， 二、針對性練習 1. 已知圓M：及定點，點 P是圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上， 且滿足（1）求點G的軌跡C的方程；（2）過點K（2，0）作直線與曲線C交于A、B兩點， O是坐標原點，設 ,是否存在這樣的直線使四邊形OASB的對角 線相等？若存在，求出直線的方程； 若不存在，說明理由. 解：（1）由為PN的中點，且是PN的中垂線， 點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，又 （2） .

6、四邊形OASB為平行四邊行， 假設存在直線1，使四邊形OASB為矩形 若1的斜率不存在，則1的方程為 由0. 這與相矛盾， 1的斜率存在. 設直線1的方程 ，化簡得： 由 存在直線1：或滿足條件. 二、針對性練習1.已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于, （）兩點，且（1）求該拋物線的方程；（2）為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值 解：（1）直線AB的方程是,與聯立， 消去，得，所以， 由拋物線定義得：，所以p=4， 拋物線方程為： （2）由p=4，化簡得， 從而,從而A(1,),B(4,)設=， 又因為，即8（4），即，解得2、在平面直角坐標系內已知兩點、，若將動點的橫坐標保持不變， 縱坐標擴大到原來的倍后得到點，且滿足.（）求動點所在曲線的方程；（）過點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且， 又點關于原點的對稱點為點，試問、四點是否共圓？若共 圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由. 解（）設點的坐標為，則點的坐標為，依據題意，有 動點所在曲線的方程是 （）因直線過點，且斜率