1、DSP課件中的數學推導及解釋（v1.0）陳明1-1 離散時間信號-序列第5頁：對正弦信號采樣，T=1ms時，求序列第19頁：任何序列可以表示為單位沖激序列的移位加權和（即與的卷積和）。解釋：這個過程可以理解把任意序列分解成很多只包含一個非0序列值的序列之和，而每一個單獨的序列可表示為，所以總的序列為多個之和。第26頁：數字角頻率的單位為弧度/樣本。解釋：復指數序列可以看成是由連續復指數信號采樣得來，因此：，可以看到數字角頻率與模擬角頻率的關系是：，的單位為弧度/s，T的單位為s，或理解為s/樣本，因此的單位為弧度/樣本。第28頁：復指數序列不一定是周期的。解釋：要想為周期序列，必須滿足：，則，

2、因此，必須，與連續情況不同，這里要求N為整數，這使得當取某些值時，可能取不到整數的N，只有當為有理數（包括整數）時，才會存在整數N，序列才是周期的。1-2 線性移不變系統第4頁：要理解只是一個符號，不是一個具體的公式。所以不能將中的變量n簡單替換為n-1，認為等式依然成立。實際上，的含義是輸入序列先移位，然后再經過系統處理后的輸出，的含義是輸入序列先經過系統輸出，然后再移位，兩者是不一樣的過程產生的輸出，不要想當然認為一定相等。1 / 22第7頁：判斷下面系統是否是線性的l ：l ：l ：第10頁：判斷下面系統是否是移不變的l ：注意上面的變量替換在后面的分析中經常遇到l ：令，則第13頁：用

3、BIBO穩定性定義分析累加器系統是否是穩定的累加器系統：，令輸入序列為，顯然是有界的，而，當，是無界的。所以累加器系統不是穩定的。目前已經證明了累加器系統是線性移不變因果不穩定系統。第15頁：求累加器系統的單位沖激響應根據單位沖激響應的定義，第16頁：證明LTI系統的輸入與輸出關系第二個等號利用了任意序列可用單位沖激序列來表示，第三個等號利用了系統的線性，第四個等號利用了單位沖激響應的定義以及系統的移不變性。第18頁：如何求序列卷積和一定要去練習（一般用第二種方式，書上有例題）第19,20頁的證明不要求掌握，但要求記住。第22頁：判斷LTI系統的因果穩定性由于，是因果的。，是絕對可和的，即系統

4、是穩定的。第28頁：證明l最后一個等號利用只能在取值l 累加器系統和后向差分系統的級聯等價于一個直通系統已經證明累加器系統的單位沖激響應為而后向差分系統的單位沖激響應為因此，級聯后系統的單位沖激響應為：，這是全通系統第二個等號利用了。1-3 常系數線性差分方程第11頁：證明：LTI系統滿足初始松弛條件，則一定是因果系統LTI系統的輸入輸出為當時，上式可寫為，初始松弛條件要求此時的，即則必然要求，此時，所以有，即系統為因果系統（其實，滿足初始松弛條件的差分方程所代表的系統一定是LTI因果系統。這個結論可以用歸納法來證明）第12頁：求，在初始松弛條件下系統的單位沖激響應由于系統是因果的，所以，從n

5、=0開始，可得大家可以嘗試用后面講的z變換法求。2-1 2-2 z變換的定義與收斂域第23頁：ZT ROC的性質一和二的證明不要求，性質三是顯然的，下面證明性質四根據ZT定義，l 顯然要使，必然要求都為0，即這是因果序列l 要使，必然要求都為0，即這是反因果序列第24-27頁：每種序列ZT ROC形式證明不要求，但要求記住。第29頁：利用ZT定義求下面序列的ZT，并獲取ZT ROCl ：，極點為。由于該序列為左邊序列，所以ROC為l ：，是因果有限長序列，l ：有兩個極點：右邊部分的極點，左邊部分的極點這是雙邊序列，因此ROC為（由于，所以可保證）第30頁：求下面序列的ZT，并獲取ZT ROC

6、l，有兩個極點：，由于是右邊序列，所以ROC為l，有兩個極點：右邊部分的極點為，左邊部分的極點為，這是雙邊序列，所以ROC為2-3 z反變換第10頁：推導求的公式因為：兩邊乘以，則：令，則：第11頁：求的Z反變換令：，則可求得待定系數：所以根據ROC的形式，序列為右邊序列，所以可得第13頁：求的Z反變換由于M=N，所以會有一項常數項，先用長除法確定該常數項所以：所以：根據ROC的形式，可知序列為右邊序列，因此：2-4 z變換的基本性質和定理第3頁：線性組合序列的ZT ROC可能比交集大有時候兩個序列的組合，會使得它們的ZT函數組合后產生一個新的零點，正好與函數的某個極點抵消，由于少了極點，使得

7、ROC擴大。第4頁：求的ZT，注意：由于新產生了一個零點，與極點抵消了，所以ROC不是兩個序列ROC的交集，而是（實際該序列已經變成了一個有限長序列）第5頁：證明ZT的時移性第6頁：求的Z反變換由于，則第7頁：證明乘以指數序列特性第8頁：證明Z域求導第9頁：求的Z反變換可得：，則所以： ，這里利用了時移性而根據求導性質，則，所以第10頁：證明共軛性第11頁：證明翻褶性第13頁：證明ZT的時域卷積定理：第二個等號利用了ZT的線性，第三個等號利用了ZT的時移性質。第18頁：分析系統的因果穩定性，當輸入為時的輸出可得：，根據系統函數的ROC：，且，可知ROC包含單位圓之外的所有區域，所以系統是因果穩

8、定系統利用部分分式展開法可得：根據ROC，反變換序列為右邊序列，則第21頁：已知因果LTI系統差分方程，求系統函數和單位沖激響應；分析系統為穩定的條件解：對差分方程兩邊求ZT，得，可得系統函數為，由于是因果系統，所以ROC為，求反變換得單位沖激響應系統為穩定系統的條件是系統函數的ROC必須包含單位圓，則要求2-6 序列的DTFT第4頁：證明序列DTFT的周期性第9頁：求的DTFT注意：為什么相位譜圖形在一些頻率點處會出現不連續？因為在那些頻率點，而在這個頻率點左右附近，發生正負號的改變，導致相位有一個的跳變。第11頁：推導DTFT的反變換第17頁：求理想低通濾波器的IDTFT，即單位沖激響應第

9、19頁：求復指數序列的DTFT表示第三個等號利用了積分范圍，只需取一個沖激。（周期序列的傅里葉表示更常用的是后面講的DFS）第20頁：，根據上面結論，可知2-7 DTFT的主要性質*大部分的證明與ZT的性質類似，這里就只列出部分第9頁：證明DTFT的時域卷積定理第二個等號利用了DTFT的線性，第三個等號利用了DTFT的時移性。第16頁：由頻域卷積定理推導帕塞瓦定理由于，所以，令，則：第17頁：利用帕塞瓦定理證明能量守恒定理帕塞瓦定理：令，則：第19頁：求自相關函數的DTFT自相關函數由帕塞瓦定理可知：所以2-8 DTFT的一些對稱性質第5頁：證明DTFT的對稱性第6頁：證明實序列的DTFT為共

10、軛對稱的因為，因此1-4 連續時間信號的采樣第10頁：推導連續周期信號的兩種FT形式（這是信號與系統的內容，復習一下）設連續時間周期信號的周期為，它的基波角頻率為，可以把該信號分解為諧波復指數信號的線性組合：，稱為傅里葉級數的系數，下面推導它的表達式為： （1）下面關鍵是利用諧波復指數信號的正交性，如下：第三個等號利用了因此，代入（1）式：連續時間周期信號的第二種傅里葉表示是：傅里葉變換，如下：證明如下：第4個等號利用了第11頁：求周期沖激串的傅里葉變換好了，有了連續周期信號的兩種FT表示：，對于周期沖激串，可得傅里葉級數的系數為：第二個等號是因為積分范圍為，所以只取一個沖激，第三個等號利用了

11、：因此，周期沖激串的FT為：由于周期沖激串的周期就是采樣周期，所以基波頻率，所以有第12頁：求沖激串信號的FT第16-17頁：分析沖激串FT與序列的DTFT關系直接用FT的定義，可得沖激串的FT為：而序列的DTFT為：由于，比較后，可知第21頁：獲取幾個模擬角頻率所對應的數字角頻率第35頁：推導由序列重建連續時間信號的公式先推導理想重建濾波器的單位沖激響應因此重建后的連續時間信號為：3-3 周期序列的離散傅里葉級數第13頁：證明周期序列DFS的系數為 （1）下面證明諧波復指數序列的正交性：，（注意由于（1）式只考慮，所以這里不需考慮的情況）（分母不會是0）所以：代入（1）式可得：第21頁：求的

12、10點周期序列的DFS3-4 DFS的性質第3頁：證明DFS的時移性第四個等號利用了序列的周期性。第4頁：證明DFS的對偶性或者：，把符號k,n交換后，則，第5頁：證明周期序列DFS翻摺性和共軛性第三個等號利用了序列的周期性對稱性證明與DTFT的對稱性證明相同第7頁：證明周期卷積定理第二個等號利用了DFS的線性，第三個等號利用了DFS的時移性。3-5 DFT第26頁：求的IDFS （1）(注意這里由于m可取范圍為，不能只考慮n=m)(分母不為0)所以：代入（1）式，可得：第30頁：由序列的N點DFT，即N個離散頻譜重建出連續頻譜第五個等號省略了幾步，前面都有類似的步驟，比如本文檔3-3第21頁。第30頁：DFT的變量k與其所對應的連續角頻率之間的關系3-6 DFT的性質第6頁：證明DFT的圓周移位性由DFT的定義可知：隱含著，所以有：第二個等號利用了DFS的時移性。第8頁：證明DFT的對偶性第二個等號利用了DFS的對偶性。第13頁：注意用作為的圓周翻摺的簡寫時，應該記住：，另外，這只是有些書中這樣簡寫，正式的寫法還是第16頁：證明序列共軛和圓周翻摺的DFT第二個等號利用了共軛序列的DFS。第二個等號利用了翻摺序列的DFS。第20頁：證明DFT的圓周共軛對稱性第30頁：證明時域圓周卷積