1、數學建模習題習題一1.在1.3節“椅子能在不平的地面上放穩嗎”的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余不變。試構造模型并求解。2.模仿1.4節商過河問題中的狀態轉移模型，作下面這個眾所周知的智力游戲：人帶著貓、雞、米過河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當人不在場時貓要吃雞、雞要吃米。試設計一個安全過河方案，并使渡河次數盡量地少。3.利用1.5節表1和表3給出的1790-2000年的美國實際人口資料建立下列模型：（1）分段的指數增長模型。將時間分為若干段，分別確定增長率r。（2）阻滯增長模型。換一種方法確定固有增長率r和最大容量。4.說明1.5節中Logistic模

2、型(9)可以表為,其中是人口增長出現拐點的時刻,并說明與r, 的關系.5.假定人口的增長服從這樣的規律:時刻t的人口為,t到t+t時間內人口的增長與-成正比例(其中為最大容量).試建立模型并求解.作出解的圖形并與指數增長模型、阻滯增長模型的結果進行比較。6.某甲早8：00從山下旅店出發，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂并留宿。次日早8：00沿同一條路徑下山，下午5：00回旅店。某乙說，甲必在二天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。為什么？7.37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束。問共需進行多少場比賽，共需進行多少輪比賽。如果是n支球隊比

3、賽呢？8.甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發一趟車，但發車時刻不一定相同。甲乙之間有一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經過丙站的那趟車，結果發現100天中約有90天到達甲站，約有10天到達乙站。問開往甲乙兩站的電車經過丙站的時刻表是如何安排的。9.某人家住T市在他鄉工作，每天下班后乘火車于6：00抵達T市車站，他的妻子駕車準時到車站接他回家，一旦他提前下班搭早一班火車于5：30抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子像往常一樣駕車前來，在半路上遇到他，即接他回家，此時發現比往常提前了10分鐘。問他步行了多長時間？10.一男孩和一女孩分別在離家2公里和1公里且方向相反

4、的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4公里和2公里每小時的速度步行回家。一小狗以6公里/小時速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程？習題二1.學校共1000名學生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍,學生們要組織一個10人的委員會,試用下列辦法分配各宿舍的委員數:（1）按比例分配取整數的名額后,乘下的名額按慣例分給小數部分較大者.（2）2.1節中的Q值方法.（3）dHondt方法:將A,B,C各宿舍的人數用正整數n=1,2,3,相除,其商數如下表:12345-A235117.578.358.75.B333166.511183

5、.25.C43221614410886.4.將所得商數從大到小取前10(10為席位數),在數字下標以橫線,表中A,B,C行有橫線的數分別為2,3,5,這就是3個宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎? 如果委員會從10人增至15人,用以上3種方法再分配名額,將3種方法兩次分配的結果列表比較.（4）你能提出其它的方法嗎.用你的方法分配上面的名額.2.用微積分的方法導出2.2節的公式(2)3.在2.5節中考慮8人艇分重量級組(槳手體重不超過86kg和輕量級組(槳手體重不超過73kg,建立模型說明重量級組的成績比輕量級組大約好5%.4.用2.7節實物交換模型中介紹的無差別曲線的概念,討論以下雇員和

6、雇主之間的協議關系:(1)以雇員一天的工作時間t和工資w分別為橫坐標和縱坐標,畫出雇員無差別曲線族的示意圖.解釋曲線為什么是你畫的那種形狀.(2)如果雇主付計時工資,對不同的工資率(單位時間的工資)畫出雇員計時工資線族,根據雇員的無差別曲線族和雇主的計時工資線族,討論雙方將在怎樣的一條曲線上達成協議.(3)雇員和雇主已經達成了一個協議(工作時間t1和工資w1).如果雇主想使雇員的工作時間增加到t2,他有兩種辦法:一是提高計時工資率,在協議線中另一點(t2,w2)達成新的協議;二是實行超時工資制,即對工時t1仍付原計時工資,對工時t2-t1付給更高的超時工資.試用作圖方法分析哪種辦法對雇主更有利

7、,指出這個結果的條件.5.在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現象了嗎.比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元,120g裝的每支3.00元,二者單位重量的價格比是1.2:1,試用比例方法構造模型解釋這個現象.（1）分析商品價格C與商品重量w的關系.價格由生產成本、包裝成本和其它成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比，有的與表面積成正比，還有與w無關的因素。（2）給出單位重量價格與w的關系，畫出它的簡圖，說明w越大c越小，但是隨著w的增加c減小的程度變小，解釋實際意義是什么。6.一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生,打算按照放生的魚重量給予獎勵,俱樂部只準備了一把軟尺用于測量,請你

8、設計按照測量的長度估計魚的重量的方法.假定魚池中只有一種鱸魚,并且得到8條魚的如下數據(胸圍指魚身的最大周長):身長(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6先用機理分析建立模型,再用數據確定參數.7.用寬w的布條纏繞直徑d的圓形管道,要求布條不重疊,問布條與管道軸線的夾角a應多大.如知道管道長度,需要多長布條(可考慮兩端的影響).如果管道是其它形狀呢.8.用已知尺寸的矩形板材加工半徑一定的圓盤,給出幾種簡便、有效的排列方法，使

9、加工出盡可能多的圓盤。練習三1.在3.1節存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用,重新確定最優訂貨周期和訂貨批量.證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣,而在允許缺貨模型中最優訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減小.2.建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型.設生產速率為常數k,銷售速率為常數r,kr.在每個生產周期T內,開始的一段時間(0tT0)一邊生產一邊銷售,后來的一段時間(T0tr和k r的情況.3.在3.3節森林救火模型中,如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢b有關,試假設一個合理的函數關系,重新求解模型.4.在3.4節最優價格模型中,如果考慮到成本q隨產量x增加而降低,試做出合理的

10、假設,重新求解4.在考慮最優價格問題時設銷售期為T,由于商品的損耗,成本q隨時間增長,設q=q0+t, 為增長率,又設單位時間的銷售量為x=a-bp(p為價格).今將銷售期分為0tT/2和T/2t2)種商品的情況.練習四1.某銀行經理計劃用一筆資金進行有價證券的投資,可供購進的證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按的稅率納稅。此外還有以下限制：(1)政府及代辦機構的證券總共至少要購萬元；(2)所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數字越小，信用程度越高）；(3)所購證券的平均到期年限不超過年。證券名稱證券種類信用等級到期年限到期

11、稅前收益（）市政代辦機構政府政府市政(1)若該經理有萬元資金，應如何投資？(2)如果能夠以.的利率借到不超過100萬元資金,該經理應如何操作?(3)在1000萬元資金情況下,若證券A的稅前收益增加為4.5%,投資應否改變?若證券C的稅前收益減少為4.8%,投資應否改變? 29 5634 42 21 18 71 2.一家出版社準備在某市建立兩個銷售代理點,向7個區的大學生售書,每一個區的大學生(單位:千人)已經表示在圖上.每個銷售代理點只能向本區和一個相鄰區的大學生售書,這兩個銷售代理點應該建在何處,才能使所能供應的大學生的數量最大?建立該問題的整數線性規劃模型并求解.3.某儲蓄所每天有營業時間

12、是上午9:00到下午5:00根據經驗,每天不同時間段所需要的服務員數量如下:時間段9-1010-1111-1212-11-22-33-44-5服務員的數量43165688儲蓄所可以雇傭全時和半時兩類服務員.全時服務員每天報酬100元,從上午9:00到下午5:00工作,但中午12:00到下午2:00之間必須安排1小時的午餐時間.儲蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時服務員,每個半時服務員必須連續工作4小時,報酬40元.問該儲蓄所應如何雇傭半時服務員的數量沒有限制,每天可以減少多少費用?4.一家保姆服務公司專門向顧主提供保姆服務.根據估計,下一年的需求是:春季6000人日,夏季7500人日,秋季550

13、0人日,冬季9000人日.公司新招聘的保姆必須經過5天的培訓才能上崗,每個保姆每季度工作(新保姆包括培訓)65天.保姆從該公司而不是從顧主那里得到報酬,每人每月工資800元.春季開始時公司擁有120名保姆,在每個季度結束后,將有15%的保姆自動離職.(1)如果公司不允許解雇保姆,請你為公司制定下一年的招聘計劃;哪些季度需求的增加不影響招聘計劃?可以增加多少?(2)如果公司在每個季度結束后允許解雇保姆,請為公司制定下一年的招聘計劃.5.在甲乙雙方的一場戰爭中,一部分甲方部隊被乙方部隊包圍長達4個月.由于乙方封鎖了所有水陸交通通道,被包圍的甲方部隊只能依靠空中交通維持供給.運送4個月的供給分別需要

14、2次,3次,3次,4次飛行,每次飛行編隊由50架飛機組成(每架飛機需要3名飛行員),可以運送10萬噸物資.每架飛機每個月只能飛行一次,每名飛行員每個月也只能飛行一次.在執行完運輸任務后的返回途中有20%的飛機會被乙方部隊擊落,相應的飛行員也因此犧牲或失蹤.在第1個月開始時,甲方擁有110架飛機和330名熟練的飛行員.在第個月開始時,甲方可以招聘新飛行員和購買新飛機,新飛機必須經過一個月的檢查后才可以投入使用,新飛行員必須在熟練飛行員的指導下經過一個月的訓練才能投入飛行.每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導20名飛行員(包括他自己在內)進行了訓練.每名飛行在完成一個月的飛行任務后,必須有一個月的

15、帶薪假期,假期結束后才能再投入飛行.已知各項費用(單位略去)如下表所示,請你為甲方安排一個飛行計劃.第一個月第二個月第三個月第四個月新飛機價格200.0195.0190.0185.0閑置的熟練飛行員報酬7.06.96.86.7教練和新飛行員報酬(包括培訓費用)10.09.99.89.7執行飛行任務的熟練飛行員報酬9.08.99.89.7休假期間的熟練飛行員報酬5.04.94.84.7如果每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導不超過20名飛行員(包括他自己在內)進行訓練,模型和結果有哪些改變?6.某公司將4種不同含硫量的液體原料(分別記為甲,乙,丙,丁)混合生產兩種產品(分別記為A,B).按照生產

16、工藝的要求,原料甲,乙,丁必須首先倒入混合池中混合,混合后的液體再分別與原料丙混合生產A,B.已知原料甲,乙,丙,丁的含硫量分別是3,1,2,1(%),進貨價格分別為6,16,10,15(千元/噸)；產品A，B的含硫量分別不能超過2.5，.（）,售價分別為9,15(千元/噸).根據市場信息,原料甲,乙丙的供應沒有限制,原料丁的供應量最多為50噸;產品A,B的市場需求量分別為100噸,200噸.問應如何安排生產?7.某鋼管零售商從鋼管廠進貨,將鋼管按照顧客的要求切割后售出.從鋼管廠進貨時得到的原料鋼管長度是1850mm.現有一客戶需要15根290mm,28根315mm,21根350mm,30根4

17、55mm的鋼管.為了簡化生產過程,規定所使用的切割模式的種類不能超過4種,使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10增加費用,使用頻率次之的切割按照一根原料鋼管價值的2/10增加費用,依次類推,且每種切割模式下的切割次數不能太多(一根原料鋼管最多生產5根產品).此外,為了減少余料浪費,每種切割模式下的余料浪費不能超過100mm.為了使總費用最小,應如何下料? 練習五1.對于5.1節傳染病的SIR模型，證明：(1)若1/,則i(t)先增加，在s=1/處最大,然后減少并趨于零；s(t)單調減少至。(2)若1/,則i(t) 單調減少并趨于零，s(t)單調減少至。2.對于傳染病的SIR模

18、型證明(23)(25)式。3. 5.2節經濟增長模型中，為了適用于不同的對象可將產量函數折算成現金，仍用表示。考慮到物價上升因素我們記物價上升指數為（設=1），則產品的表面價格、實際價格和物價指數之間滿足=。(1)導出，的相對增長率之間的關系，并作出解釋。(2)設雇用工人數目為，每個工人工資，企業的利潤簡化為從產品的收入中扣除工人工資和固定成本。利用道格拉斯生產函數討論，企業應雇用多少工人能使利潤最大。4.在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方與甲方戰斗有效系數之比為a/b=4，初始兵力與相同。(1)問乙方取勝時的剩余兵力是多少，乙方取勝的時間如何確定。(2)若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變

19、的速率r增援，重新建立模型，討論如何判斷雙方的勝負。5.在5.4的房室模型（3）中，證明方程（3）對應的齊次方程通解如（4），（5）式所示，說明方程的兩個特征根一定是負實根。6.模仿5.4節建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續時間為r）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形。練習六1.在6.1節捕魚模型中,如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規律,而單位時間捕撈量為常數h.(1) 分別就hrN/4,hrN/4,h=rN/4這三種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩定狀況.(2) 如何獲得最大持續產量,其結果與6.1節

20、的產量模型有何不同.2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規律的是Gompertz模型:=r,其中r和N的意義與Ligistic模型相同.設漁場魚量的自然增長服從這個模型,且單位時間捕撈量為h=E.討論漁場魚量的平衡點及其穩定性,求最大持續產量及獲得最大產量的捕撈強度和漁場魚量水平.3.在6.3節種群競爭模型中設,求平衡點并分析其穩定性.4.對于6.3節種群競爭模型的第3種情況:1, 1,則種群增長,若R1則種群減少.習題八1證明8.1節層次分析模型中定義的n階不一致陣A有下列性質：（1）A的秩為1，唯一非零特征根為n；（2）A的任一列向量都是對應于n的特征向量2.對于n階成對比較

21、陣，設,其中是對應于最大特征向量，表示在一致性附近的擾動。若為方差的隨機變量，證明一致性指標3.證明8.1節中用對數最小二乘法得到的權向量（16）式）與實用算法中根法的計算結果相同。4.用層次分析法解決一兩個實際問題，例如：（1）學校評選優秀學生或優秀班級，試給出若干準則，構造層次結構模型，可分為相對評價和絕對評價兩種情況討論。（2）你要購置一臺個人電腦，考慮功能、價格等的因素，如何作出決策。（3）為大學畢業的青年建立一個選擇志愿的層次結構模型。（4）你的家鄉準備集資興辦一座小型飼養場，是養豬、養雞、養鴨、養兔234515右圖是5位網球選手循環比賽的結果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條

22、完全路徑，用適當的方法排出5位選手的名次。6.排名次的另一個方法是考察“失分向量”以代替得分向量（選手輸掉的數目為他的失分），按失分由小到大排列名次。（1）證明：這相當于把競賽圖中各有向邊反向后按得分向量排列名次，再把名次倒過來。（2）用失分向量方法對8.2節圖13（4）的競賽圖排列名次，結果與得分向量方法一致嗎？7.利用8.3節的定理4，5說明，為了把8.3節圖14不穩定的能源利用系統變為沖量和值穩定的，如果限制只能改變兩條有向邊的符號，那么只有3種可行方案：改變和（如8.3節所述）；改變和：改變和。8.考察由野兔R和狐貍F組成的生態系統，在野兔的食物資源充足的情況下，其帶符號的有向圖如右所

23、示。（1）解釋圖中+，- 號的意義（2）若初始時段野兔有一增量，且設，計算,（3）證明該系統對所有簡單沖量過程都是沖量和值穩定的，從生態意義上進行解釋。（4）說明若用權描述二者的相互作用，則在某種加權的情況下系統不再穩定，并從生態意義上進行解釋。_+RF9.食肉動物C、食草動H和草P組成生態系統，因為草地有限，草過密會使草的生長減慢，用帶符號的有向圖建立這個系統的沖量過程模型，并證明沖過程是不穩定的10.公共汽車系統用帶符號的有向圖表示如下，其中只有單位距離票價隨乘客行程的增加應該提高還是降低尚未確定（圖中有向邊12的標以？號），討論這個符號應為+還是-才能使沖過程穩定。+48165237?+

24、1 乘客的行程；2 單位距離票價；3 節油量；4 燃料消耗；5 污染；6 事故；7 晚點；8 居民人數11.在8.4節中證明由（7），（8）給出的Shapley值滿足12.某甲（農民）有一塊土地，若從事農業生產可收入1萬元，若將土地租給某乙（企業家）用于工業生產，可收入3萬元，當旅店老板請企業家參與經營時，收入達4萬元，為促成最高收入的實現，試用Shapley值方法分配各人的所得。13.理事會有五個常任理事和十個非常任理事，提案僅當全部常任理事和至少四個非常任理事贊成時方可通過，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的權重。14.奇數個席位的理事會由三派組成，議案表決實行過半數通過方案，證明在

25、任一派都不能操縱表決的條件下，三派占有的席位不論多少，他們在表決中的權重都是一樣的。15.證明8.5節中當候選人數目m=2且選民人數n2時，簡單多數規則滿足Arrow公理。16.舉例說明8.5節中確定選舉結果的記分規則不滿足Arrow公理317.用最小距離意義下的選舉規則研究8.5節（3）式給出的投票（1）如果以最小為原則確定選舉結果，說明可以是，或中任一個.（2）如果以最小為原則確定選舉結果，說明： 習題九1.在9.1節傳送帶效率模型中，設工人n固定不變，若想提高傳送帶效率D，一種簡單的辦法是增加一個周期內通過工作臺的鉤子數m，比如增加一倍，其它條件不變，另一種辦法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一個是空的，他就可以掛上產品，這種辦法用的鉤子數量與第一種辦法一樣，試推導這種情況下傳送帶效率的公式，從數量關系上說明這種辦法比第一種辦法好2利用9.2節的