1、高中數學解析幾何第一部分:直線1、 直線的傾斜角與斜率1. 傾斜角(1)定義：直線l向上的方向與x軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。(2)范圍：2.斜率：直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率. （1）.傾斜角為的直線沒有斜率。（2）.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率（直線垂直于軸時，其斜率不存在)，這就決定了我們在研究直線的有關問題時，應考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會產生漏解。 （3）設經過和兩點的直線的斜率為， 則當時，；當時，；斜率不存在；二、直線的方程1.點斜式：已知直線上一點P（x0,y0）及直線的斜率k（傾斜角）求直線的方程用點斜式：y-y0=k(x

2、-x0)注意：當直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為；2.斜截式：若已知直線在軸上的截距（直線與y軸焦點的縱坐標）為，斜率為，則直線方程：；特別地，斜率存在且經過坐標原點的直線方程為：注意：正確理解“截距”這一概念，它具有方向性，有正負之分，與“距離”有區別。3.兩點式：若已知直線經過和兩點，且（則直線的方程：；注意：不能表示與軸和軸垂直的直線；當兩點式方程寫成如下形式時，方程可以適應在于任何一條直線。4截距式：若已知直線在軸，軸上的截距分別是，（）則直線方程：；注意：1）.截距式方程表不能表示經過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線。 2）.橫截距與縱截距相等的直線方程可設為x

3、+y=a;橫截距與縱截距互為相反數的直線方程可設為x-y=a5一般式：任何一條直線方程均可寫成一般式：；（不同時為零）；反之，任何一個二元一次方程都表示一條直線。注意：直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數是否為0才能確定。指出此時直線的方向向量：， （單位向量）；直線的法向量：；（與直線垂直的向量）6(選修4-4)參數式（參數）其中方向向量為，單位向量； ；點對應的參數為，則；（為參數）其中方向向量為， 的幾何意義為；斜率為；傾斜角為。3、 兩條直線的位置關系位置關系平行，且(A1B2-A2B1=0)重合，且相交垂直設兩直線的方程分別為：或

4、；當或時它們相交，交點坐標為方程組或解；注意：對于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如：對于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如若兩直線的斜率都不存在，則兩直線 平行 ；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為 0 ，則兩直線垂直。對于來說，無論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來更方便斜率相等時，兩直線平行(或重合)；但兩直線平行(或重合)時，斜率不一定相等，因為斜率有可能不存在。四、兩直線的交角（1）到的角：把直線依逆時針方向旋轉到與重合時所轉的角；它是有向角，其范圍是； 注意：到的角與到的角是不一樣的；旋轉的方向是逆時針方向；繞“定點”是指兩直線的交點。（2

5、）直線與的夾角：是指由與相交所成的四個角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范圍是；（3）設兩直線方程分別為： 或若為到的角，或；若為和的夾角，則或；當或時，；注意：上述與有關的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當有一條直線斜率不存在時，用數形結合法處理。直線到的角與和的夾角：或；5、 點到直線的距離公式：1.點到直線的距離為：；2.兩平行線，的距離為：；六、直線系：（1）設直線，經過的交點的直線方程為（除去）；如：，即也就是過與的交點除去 的直線方程。直線恒過一個定點 。注意：推廣到過曲線與的交點的方程為：；（2）與平行的直線為；（3）與垂直的直線為；七、對稱問題：（1

6、）中心對稱：點關于點的對稱：該點是兩個對稱點的中點，用中點坐標公式求解，點關于的對稱點直線關于點的對稱：、在已知直線上取兩點，利用中點公式求出它們關于已知點對稱的兩點的坐標，再由兩點式求出直線方程；、求出一個對稱點，在利用由點斜式得出直線方程；、利用點到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線關于點對稱的直線的方程。（2）軸對稱：點關于直線對稱：、點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負倒數。、求出過該點與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點，在利用中點坐標公式求解。如：求點關于直線對稱的坐標。直線關于直線對稱：（設關于對稱）、若相交，則到的角等于

7、到的角；若，則，且與的距離相等。、求出上兩個點關于的對稱點，在由兩點式求出直線的方程。、設為所求直線直線上的任意一點，則關于的對稱點的坐標適合的方程。如：求直線關于對稱的直線的方程。八、簡單的線性規劃：（1）設點和直線， 若點在直線上，則；若點在直線的上方，則；若點在直線的下方，則；（2）二元一次不等式表示平面區域：對于任意的二元一次不等式，當時，則表示直線上方的區域；表示直線下方的區域；當時，則表示直線下方的區域；表示直線上方的區域；注意：通常情況下將原點代入直線中，根據或來表示二元一次不等式表示平面區域。（3）線性規劃：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問

8、題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產實際中有許多問題都可以歸結為線性規劃問題。注意：當時，將直線向上平移，則的值越來越大； 直線向下平移，則的值越來越小；當時，將直線向上平移，則的值越來越小； 直線向下平移，則的值越來越大；xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如圖所示的坐標平面的可行域內（陰影部分且包括周界），目標函數取得最小值的最優解有無數個，則為 ；第二部分：圓與方程2.1圓的標準方程：圓心，半徑特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：.2.2點與圓的位置關系： 1. 設點到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點在圓上 d=r；(2)點在圓

9、外 dr；(3)點在圓內 dr 2.給定點及圓.在圓內 在圓上 在圓外2.3 圓的一般方程： .當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.當時，方程表示一個點.當時，方程無圖形（稱虛圓）.注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑系方程：已知AB是圓的直徑2.4 直線與圓的位置關系： 直線與圓的位置關系有三種，d是圓心到直線的距離，(1)；(2)；（3）。2.5 兩圓的位置關系設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 外離 外切 相交 內切 內含2.6 圓的切線方程：1. 直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r；（2）圓心與切點的連線

10、與直線垂直（斜率互為負倒數）2. 圓的斜率為的切線方程是過圓上一點的切線方程為：.一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯立求出切線方程.2.7圓的弦長問題：1.半弦、半徑r、弦心距d構成直角三角形，滿足勾股定理：2.弦長公式（設而不求）：第三部分:橢圓一橢圓及其標準方程1橢圓的定義：平面內與兩定點F1，F2距離的和等于常數的點的軌跡叫做橢圓，即點集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；這里兩個定點F1，F2叫橢圓的焦點，兩焦點間的

11、距離叫橢圓的焦距2c。（時為線段，無軌跡）。2標準方程： 焦點在x軸上：（ab0）； 焦點F（±c，0）焦點在y軸上：（ab0）； 焦點F（0, ±c） 注意：在兩種標準方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點總在長軸上；一般形式表示：或者 二橢圓的簡單幾何性質： 1.范圍 （1）橢圓（ab0） 橫坐標-axa ,縱坐標-bxb （2）橢圓（ab0） 橫坐標-bxb,縱坐標-axa 2.對稱性 橢圓關于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點 （1）橢圓的頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），

12、B2（0，b） （2）線段A1A2，B1B2 分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 4離心率 （1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比，即稱為橢圓的離心率，記作e（）， e越接近于0 （e越小），橢圓就越接近于圓;e越接近于1 （e越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關，與其所處的位置無關。（2）橢圓的第二定義：平面內與一個定點（焦點）和一定直線（準線）的距離的比為常數e，（0e1）的點的軌跡為橢圓。（）焦點在x軸上：（ab0）準線方程：焦點在y軸上：（ab0）準線方程：小結一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四個量），

13、 特征三角形（2）基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）（3）基本線：對稱軸（共兩條線）5橢圓的的內外部（1）點在橢圓的內部.（2）點在橢圓的外部.6.幾何性質 （1） 焦半徑（橢圓上的點與焦點之間的線段）：（2）通徑（過焦點且垂直于長軸的弦）（3）焦點三角形（橢圓上的任意一點與兩焦點夠成的三角形）：其中7直線與橢圓的位置關系：(1) 判斷方法:聯立直線方程與橢圓方程消y(或x)得到關于x的一元二次方程，根據判別式的符號判斷位置關系：聯立消y得：聯立消x得：(2) 弦中點問題:斜率為k的直線l與橢圓交于兩點是AB的中點，則：(3) 弦長公式：第四部分：雙曲線雙曲線標準方程（焦點在軸）標準方程（焦

14、點在軸）定義第一定義：平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。PP第二定義：平面內與一個定點和一條定直線的距離的比是常數，當時，動點的軌跡是雙曲線。定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數（）叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍，對稱軸軸 ，軸；實軸長為,虛軸長為對稱中心原點焦點坐標 焦點在實軸上，；焦距：頂點坐標（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率1)重要結論（1） 焦半徑（雙曲線上的點與焦點之間的線段）：（2）通徑（過焦點且垂直于實軸的弦）（3）焦點三角形（雙曲線上的任意一點與兩焦點夠成的三角形）

15、：準線方程準線垂直于實軸且在兩頂點的內側；兩準線間的距離：漸近線方程 共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置（1）判斷方法:聯立直線方程與雙曲線方程消y(或x)得到關于x的一元二次方程，根據判別式的符號判斷位置關系：聯立消y得：聯立消x得：(4) 弦中點問題:斜率為k的直線l與雙曲線交于兩點是AB的中點，則：弦長公式：補充知識點：等軸雙曲線的主要性質有：（1）半實軸長=半虛軸長；（2）其標準方程為其中C0；（3）離心率；（4）漸近線：兩條漸近線 y=±x 互相垂直；（5）等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項；（6）等軸雙曲線上任意一點P處的切線夾在

16、兩條漸近線之間的線段，必被P所平分；7）等軸雙曲線上任意一點處的切線與兩條漸近線圍成三角形面積恒為常數第五部分：拋物線知識點總結圖象xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。=點M到直線的距離范圍對稱性關于軸對稱關于軸對稱焦點(,0)(,0)(0,)(0,)焦點在對稱軸上頂點離心率=1準線方程準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離焦點到準線的距離焦半徑焦點弦 長焦點弦的幾條性質(以焦點在x軸正半軸為例)oxFyMN以為直徑的圓必與準線相切,以MN為直徑的圓與AB相切與點F，即若的傾斜角為，則 參數方程1. 直線與拋物線的位置關系直線，拋物線，消y得：（1）當k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（2）當k0時， 0，直線與拋物線相交，兩個不同交點； =0， 直線與拋物線相切，一個切點； 0，直線與拋物線相離，無公共點。（3） 若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）2. 關