1、考點測試13函數(shù)模型及其應(yīng)用高考概覽考綱研讀1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用一、基礎(chǔ)小題1. 甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是()A甲比乙先出發(fā)B乙比甲跑的路程多C甲、乙兩人的速度相同D甲比乙先到達終點答案D解析由題圖知，甲和乙所走的路程相同且同時出發(fā)，但甲用時間少，即甲的速度比乙快2.如圖是張大爺晨練時離家的距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象若

2、用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是()答案D解析根據(jù)圖象可得，張大爺先是離家越來越遠(yuǎn)，后離家距離保持不變，最后慢慢回家，符合的只有D.3國家相繼出臺多項政策控制房地產(chǎn)行業(yè)，現(xiàn)在規(guī)定房地產(chǎn)行業(yè)收入稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p0.25)%，則該公司的年收入是()A560萬元 B420萬元 C350萬元 D320萬元答案D解析設(shè)該公司的年收入為a萬元，則280p%(a280)·(p2)%a(p0.25)%，解得a320.故選D.4某種動物的種群數(shù)量y(單位：只)與時間x(單位：年)的關(guān)系

3、式為yalog2(x1)，若這種動物第一年有100只，則到第7年它們發(fā)展到()A300只 B400只 C500只 D600只答案A解析由題意，得100alog2(11)，解得a100，所以y100log2(x1)，當(dāng)x7時，y100log2(71)300，故到第7年它們發(fā)展到300只5設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30 min，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y與其所用的時間x的函數(shù)的圖象為()答案D解析由題意知小王在020 min，3060 min這兩段時間運動的路程都在不斷增加

4、，在2030 min時，運動的路程不變故選D.6f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是()Af(x)>g(x)>h(x) Bg(x)>f(x)>h(x)Cg(x)>h(x)>f(x) Df(x)>h(x)>g(x)答案B解析畫出三個函數(shù)的圖象，如下圖所示，當(dāng)x(4，)時，指數(shù)函數(shù)的圖象位于二次函數(shù)的圖象的上方，二次函數(shù)的圖象位于對數(shù)函數(shù)圖象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)7某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，表格是某公司前5天監(jiān)測到的數(shù)據(jù)：第x天123

5、45被感染的計算機數(shù)量y/臺12244995190則下列函數(shù)模型中能較好地反映在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是()Ay12x By6x26x12 Cy6·2x Dy12log2x12答案C解析由表格可知，每一天的計算機被感染臺數(shù)大約是前一天的2倍，故增長速度符合指數(shù)型函數(shù)，故選C.8已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示假設(shè)某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是()A40萬元 B60萬元 C120萬元 D140萬元答案C解析甲6元時該商人全

6、部買入甲商品，可以買120÷620(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利20×240(萬元)，乙4元時該商人買入乙商品，可以買(12040)÷440(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利40×280(萬元)，共獲利4080120(萬元)故選C.9某公司為了實現(xiàn)1000萬元銷售利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按照銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x的增加而增加，但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過銷售利潤的25%，則下列函數(shù)最符合要求的是()Ayx Bylg x1 Cyx Dy答案B解析由題意知，x1

7、0，1000，符合公司要求的模型需同時滿足：函數(shù)為增函數(shù)；函數(shù)的最大值不超過5；yx·25%.對于yx，易知滿足，但當(dāng)x>20時，y>5，不滿足要求；對于yx，易知滿足，因為4>5，故當(dāng)x>4時，不滿足要求；對于y，易知滿足，但當(dāng)x>25時，y>5，不滿足要求；對于ylg x1，易知滿足，當(dāng)x10，1000時，2y4，滿足，再證明lg x1x·25%，即4lg x4x0，設(shè)F(x)4lg x4x，則F(x)1<0，x10，1000，所以F(x)為減函數(shù)，F(xiàn)(x)maxF(10)4lg 104102<0，滿足，故選B.10某工廠

8、6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年的年產(chǎn)量的增長速度保持不變，將該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則正確的是()答案A解析因為前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，可知圖象的斜率隨x的變大而變大，在圖象上呈現(xiàn)下凹的情形；又因為后3年年產(chǎn)量的增長速度保持不變，可知圖象的斜率不變，呈直線型變化故選A.11調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定，駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量將上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時50%的速度減少，則至少經(jīng)過_小時

9、他才可以駕駛機動車(精確到小時)答案4解析設(shè)n小時后他才可以駕駛機動車，由題意得3(10.5)n0.2，即2n15，故至少經(jīng)過4小時他才可以駕駛機動車12已知某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房當(dāng)每套房月租金定為3000元時，這70套公寓房能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會多一套房子不能出租設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應(yīng)定為_元答案3300解析設(shè)利潤為y元，租金定為300050x(0x70，xN)元則y(300050x)(70x)100(70x)(29

10、0050x)(70x)50(58x)(70x)502，當(dāng)且僅當(dāng)58x70x，即x6時，等號成立，故每月租金定為30003003300(元)時，公司獲得最大利潤二、高考小題13某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年 C2020年 D2021年答案B解析設(shè)第n(nN*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元根據(jù)題意得130(112%)n1

11、>200，則lg 130(112%)n1>lg 200，lg 130(n1)·lg 1.12>lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12>lg 22，0.11(n1)×0.05>0.30，解得n>.又nN*，n5，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年故選B.14汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小

12、時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案D解析對于A選項，從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40 km/h時的燃油效率大于5 km/L，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯誤對于B選項，由圖可知甲車消耗汽油最少對于C選項，甲車以80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯誤對于D選項，當(dāng)最高限速為80 km/h且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所以D正確15某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系ye

13、kxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是()A16小時 B20小時 C24小時 D28小時答案C解析由題意得即所以該食品在33 的保鮮時間是ye33kb(e11k)3·eb3×19224(小時)16某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A. B. C. D.1答案D解析設(shè)兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a，則第二年年底的生產(chǎn)總值為a(1p)(1q)設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，則a(1x)2a(

14、1p)(1q)，由于連續(xù)兩年持續(xù)增加，所以x>0，因此x1，故選D.17我國古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為x，y，z，則當(dāng)z81時，x_，y_.答案811解析把z81代入方程組，化簡得解得x8，y11.18某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F.(1)如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_輛/小時

15、；(2)如果限定車型，l5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/小時答案(1)1900(2)100解析(1)當(dāng)l6.05時，F(xiàn)，F(xiàn)1900，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v11時取“”最大車流量F為1900輛/小時(2)當(dāng)l5時，F(xiàn)，F(xiàn)2000，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v10時取“”最大車流量比(1)中的最大車流量增加20001900100輛/小時三、模擬小題19當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”

16、個數(shù)至少是()A8 B9 C10 D11答案C解析設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1，則經(jīng)過n(nN*)個“半衰期”后的含量為n，由n得n10.所以，若探測不到碳14含量，則至少經(jīng)過了10個“半衰期”故選C.20某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時間t(單位：小時)滿足p(t)p02，其中p0為t0時的污染物數(shù)量又測得當(dāng)t0，30時，污染物數(shù)量的變化率是10ln 2，則p(60)()A150毫克/升 B300毫克/升 C150ln 2毫克/升 D300ln 2毫克/升答案C解析因為當(dāng)t0，30時，污染物數(shù)量的變化率是10ln 2，所

17、以10ln 2，所以p0600ln 2，因為p(t)p02，所以p(60)600ln 2×22150ln 2(毫克/升)21某觀察者站在點O觀察練車場上勻速行駛的小車P的運動情況，小車P從點A出發(fā)的運動軌跡如圖所示設(shè)觀察者從點A開始隨小車P變化的視角為AOP，練車時間為t，則函數(shù)f(t)的圖象大致為()答案D解析根據(jù)小車P從點A出發(fā)的運動軌跡可得，視角AOP的值先是勻速增大，然后又減小，接著基本保持不變，然后又減小，最后又快速增大，故選D.22一名顧客計劃到商場購物，他有三張優(yōu)惠卷，每張優(yōu)惠卷只能購買一件商品，根據(jù)購買商品的標(biāo)價，三張優(yōu)惠券優(yōu)惠方式不同，具體如下：優(yōu)惠券1：若標(biāo)價超過

18、50元，則付款時減免標(biāo)價的10%.優(yōu)惠券2：若標(biāo)價超過100元，則付款時減免20元優(yōu)惠券3：若標(biāo)價超過100元，則超過100元的部分減免18%.若該顧客購買某商品使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多，則他購買的商品的標(biāo)價可能為()A179元 B199元 C219元 D239元答案C解析因為使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2減免的多，所以他購買的商品的標(biāo)價超過200元如果他購買的商品的標(biāo)價為219元，那么使用優(yōu)惠券1可以減免21.9元，使用優(yōu)惠券2可以減免20元，使用優(yōu)惠券3可以減免21.42元；如果標(biāo)價為239元，那么使用優(yōu)惠券1可以減免23.9元，使用優(yōu)惠券2可以減免20元，使用優(yōu)惠券3可以減免2

19、5.02元，不滿足題意故選C.23如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P是B1C的中點，動點M在其表面上運動，且與平面A1DC1的距離保持不變，運行軌跡為S，M從P點出發(fā)，繞其軌跡運行一周的過程中，運動的路程x與lMA1MC1MD之間滿足函數(shù)關(guān)系lf(x)，則此函數(shù)圖象大致是() 答案D解析連接AB1，AC.由題意可知點M的運行軌跡是B1AC，不妨設(shè)M從P點出發(fā)，沿PCAB1P運行，設(shè)AC的中點為Q，AB1的中點為R.可知M從P運行到C的過程中，MA1MD從小變大，且MC1從小變大，即l從小變大，同理可知M從C到Q，l從大變小；M從Q到A，l從小變大；M從A到R，l從大變小；M從R到B

20、1，l從小變大；M從B1到P，l從大變小故選D.24某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系式t且該食品在4 時的保鮮時間是16小時已知甲在某日10時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示給出以下四個結(jié)論：該食品在6 的保鮮時間是8小時；當(dāng)x6，6時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少；到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi)；到了此日14時，甲所購買的食品已過了保鮮時間其中，所有正確結(jié)論的序號是_答案解析某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系式t且該食品在4 時的保鮮時間是16小時，24k616，即4

21、k64，解得k，t當(dāng)x6時，t8，故正確；當(dāng)x6，0時，保鮮時間恒為64小時，當(dāng)x(0，6時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少，故錯誤；此日10時，溫度為8 ，此時保鮮時間為4小時，而隨著時間的推移，到11時，溫度為11 ，此時的保鮮時間t2×1161.414(小時)，到13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內(nèi)，故錯誤；由可知，到了此日14時，甲所購買的食品已過了保鮮時間，故正確故正確結(jié)論的序號為.一、高考大題本考點在近三年高考中未涉及此題型二、模擬大題1隨著新能源的發(fā)展，電動汽車在全社會逐漸普及，據(jù)某報記者了解，某市電動汽車國際示范區(qū)運營服務(wù)公司逐步建立了全市乃至全國的分時租賃

22、服務(wù)體系，為電動汽車分時租賃在全國的推廣提供了可復(fù)制的市場化運營模式現(xiàn)假設(shè)該公司有750輛電動汽車供租賃使用，管理這些電動汽車的費用是每日1725元調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每輛電動汽車的日租金不超過90元，則電動汽車可以全部租出；若超過90元，則每超過1元，租不出的電動汽車就增加3輛設(shè)每輛電動汽車的日租金為x(單位：元)(60x300，xN*)，用y(單位：元)表示出租電動汽車的日凈收入(日凈收入等于日出租電動汽車的總收入減去日管理費用)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)試問當(dāng)每輛電動汽車的日租金為多少元時，才能使日凈收入最多？解(1)當(dāng)60x90，xN*時，y750x1725；當(dāng)90<x300

23、，xN*時，y7503(x90)x17253x21020x1725.故f(x)(2)對于y750x1725，60x90，xN*，y在60，90(xN*)上單調(diào)遞增，當(dāng)x90時，ymax65775.對于y3x21020x17253(x170)284975，90<x300，xN*，當(dāng)x170時，ymax84975.84975>65775，故當(dāng)每輛電動汽車的日租金為170元時，日凈收入最多2食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元

24、，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P804，Qa120，設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解(1)由題意知甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，f(50)804×150120277.5(萬元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依題意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，則t2，6，yt24t250(t8)2282，當(dāng)t8，即x128時，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元3已知某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成