1、第四十周 不定方程專題簡析：當方程的個數比方程中未知數的個數少時，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x3y9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無數個；如果附加一些限制條件，那么它的解的個數就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6 y1 y1.5 y2.1 y3 如果限定x、y的解是小于5的整數，那么解就只有x3，Y2這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。 解不定方程時一般要將原方程適當變形，把其中的一個未知數用另一個未知數來表示，然后再一定范圍內試驗求解。解題時要注意觀察未知數的特點，盡量縮小未知數的

2、取值范圍，減少試驗的次數。 對于有3個未知數的不定方程組，可用削去法把它轉化為二元一次不定方程再求解。 解答應用題時，要根據題中的限制條件（有時是明顯的，有時是隱蔽的）取適當的值。例1求3x+4y23的自然數解。 解：先將原方程變形，y。可列表試驗求解：X1234567Y5×××2××所以方程3x+4y23的自然數解為 X=1 x=5 Y=5 y=2練習一1、 求3x+2y25的自然數解。2、 求4x+5y37的自然數解。3、 求5x3y16的最小自然數解。例2： 求下列方程組的正整數解。5x+7y+3z253xy6z2這是一個三元一次不定方程

3、組。解答的實話，要先設法消去其中的一個未知數，將方程組簡化成例1那樣的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由×2+，得13x+13y52 X+y4 把式變形，得y4x。因為x、y、z都是正整數，所以x只能取1、2、3. 當x1時，y3 當x2時，y2 當x3時，y1 把上面的結果再分別代入或，得x1，y3時，z無正整數解。 x2，y2時，z也無正整數解。 x3時，y1時，z1.所以，原方程組的正整數解為 x1 y1 z1練習二求下面方程組的自然數解。1、 4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z524、 5x+7y+4z263xy

4、6z2例3：一個商人將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數為99，盒子數大于9，問兩種盒子各有多少個？ 分析與解：兩種盒子的個數都應該是自然數，所以要根據題意列出不定方程，再求出它的自然數解。 設大盒子有x個，小盒子有y個，則 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）÷5經檢驗，符合條件的解有： x2 x7 y15 y3 所以，大盒子有2個，小盒子有15個，或大盒子有7個，小盒子有3個。練習三1、 某校6（1）班學生48人到公園劃船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各幾只？（大、小船都有）2、 甲級

5、鉛筆7角錢一枝，乙級鉛筆3角錢一枝，小華用六元錢恰好可以買兩種不同的鉛筆共幾枝？3、 小華和小強各用6角4分買了若干枝鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一枝和7分一枝的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多，小華比小強多買來多少枝？例題4：買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問三種水果各買了多少千克？ 解：設蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30xy）千克。根據題意得： 4x+3y+2×（30xy）82 x10由式子可知：y<20，則y必須是2的倍數，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：蘋果

6、987654321橘子24681012141618梨191817161514131211練習四1、 有紅、黃、藍三種顏色的皮球共26只，其中藍皮球的只數是黃皮球的9倍，藍皮球有多少只？2、 用10元錢買25枝筆。已知毛筆每枝2角，彩色筆每枝4角，鋼筆每枝9角。問每種筆各買幾枝？（每種都要買）3、 曉敏在文具店買了三種貼紙；普通貼紙每張8分，熒光紙每張1角，高級紙每張2角。她一共用了一元兩角兩分錢。那么，曉敏的三種貼紙的總數最少是多少張？例5：某次數學競賽準備例2枝鉛筆作為獎品發給獲得一、二、三等獎的學生。原計劃一等獎每人發6枝，二等獎每人發3枝，三等獎每人發2枝。后又改為一等獎每人發9枝，二等

7、獎每人發4枝，三等獎每人發1枝。問：一、二、三等獎的學生各有幾人？ 解：設一等獎有x人，二等獎有y人，三等獎有z人。則 6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由×2，得12x+5y22 y x1x只能取1。Y2，代入得z5，原方程的解為 y2 z5所以，一等獎的學生有1人，二等獎的學生有2人，三等獎的學生有5人。練習五1、 某人打靶，8發打了53環，全部命中在10環、7環和5環。他命中10環、7環和5環各幾發？2、 籃子里有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋30個，價值24元。已知煮蛋每個0.60元，茶葉蛋每個1元，皮蛋每個1.20元。問籃子里最多有幾個皮蛋？3、 一頭豬賣3個銀幣，一頭山羊賣1個銀幣，一頭綿羊買個銀幣。有人用100個銀幣賣了這三種牲畜100頭。問豬、山羊、綿羊各幾頭？答案：練11、 x1 x3 x5 x7 y11 y8 y5 y22、 x3 x8 y11 y14、 x5 y3練21、 x1y3z32、 x3 x