1、精選優質文檔-傾情為你奉上Anderson 局域化的簡介及相關物理圖像第一小組 1958年安德森（P.W. Anderson）在其著名文章“某些無序晶格中擴散的消失”中討論了無序晶體中電子的運動，提出了強無序體系中電子局域化的新的概念，使人們認識到無序體系有本質上新的行為，并不能納入原有的理論框架，人們開始用新的眼光審視無序的影響。研究工作除物質的電子結構外，還擴展到其他領域，無序的物理逐漸成為凝聚態物理中人們關注的一個主題。一、擴展態與局域態擴展態：具有嚴格周期性格點排列的晶體，電子運動是公有化的，其Bloch波函數擴展在整個晶體中，這種態被稱為擴展態。局域態：如果存在隨機的無序雜質，晶格的

2、周期性被破壞，此時電子波函數不再擴展在整個晶體中，而是局域在雜質周圍，在空間中按指數形式衰減，這種態稱為局域態。1、 無序導致的局域在理想的周期系統中，電子的本征態是擴展的，是有確定波矢的布洛赫波，在晶體各元胞的等價點上有相同的概率幅。少量雜質的存在使電子受到輻射，產生能量相同的本征態之間的躍遷，經平均自由程的長度相位有無規的改變（圖1（a）。但此時，波函數還是擴展的，范圍僅受樣品邊界的限制。這里，擴展態的概念已有所推廣，除布洛赫態外，還包括在空間可有相當明顯的起伏變化的一類。無序的增強，僅使平均自由程變短，因而電導率下降，這是我們原有的物理圖像。在這方面，新的認識主要有二，其一是電子經彈性散

3、射，相位有確定的改變，當然，改變量依不同的散射而異。在這種意義下，電子保持著相位的記憶。這將在下文中討論。其二，如無序足夠強時，波函數可以是局域的，波函數的包絡隨距離的增加指數衰減（圖1（b），則 （1）其中，r0是局域態的中心位置，對于宏觀均勻的無序體系，r0在空間應有均勻的分布；稱為局域化長度（localization length）。由于不同的局域態應彼此正交，波函數本身如圖1(b)所示，仍是起伏振蕩的。這是1958年安德森最早指出的。圖1、（a）平均自由程為的擴展態波函數示意； （b）局域化長度為的局域態波函數示意二、Anderson 局域假定有一周期勢如圖二（a）所示，每個原子由一方

4、勢阱表示并只有一個價電子，在孤子原子極限下占據在圖中原子勢阱處水平短線表示的束縛能級上。在晶體中，這一原子能級因波函數的交疊關聯展寬成寬度為B的能帶。無序可以兩種形式引人，一種是每一格點相對于平衡位置有一無規偏移，另一種是原子位置保持在格點上，勢阱的深度、因為束縛能級從一個格點到另一個格點無規變化（圖2（b）。安德森的討論采用后一種無序情形。圖2、安德森局域的單電子緊束縛圖像在體系的長程有序消失后，波矢k不再是描述電子態的好量子數，因此對無序體系電子態的研究，廣泛采用緊束縛近似，從院子軌道波函數，或Wannier函數出發來討論。這里，取波函數為歸一化院子波函數的線性組合， （2）其中是第i個原

5、子所處的位置，一般為簡單，僅考慮每個原子只有一個原子能級的情形，且假定不同格點上的原子波函數彼此近似正交。體系的單電子哈密頓量 （3）V(r)取為體系中所有原子勢的綜合，由于 （4）決定的矩陣方程為 （5）一般取 （6）對于晶態體系，我們熟習的結果是原子能級展寬為能帶，帶寬,z是格點的最近鄰數，或稱為配位數。Anderson文章所用哈密頓量為 （7）這是根據（4）式，用二次量子化形式寫出的緊束縛哈密頓量，其中，分別代表電子在位置i上的產生和湮滅算符。無序是通過原子位置保持在規則排列的格點上，但勢阱深度（因為束縛在該勢阱中的電子能級）從一個格點到另一格點無規變化來引入的，在Anderson模型中

6、，取為在某一能量間隔W內均勻分布的獨立無規變化量，分布函數 (8)無序程度反映在W大小的不同上，當，取常數值時，回到理想的周期場情形，的取法與（6）式相同，當i，j為最近鄰時取為常數T,此外為零。Anderson文章要回答的基本問題是：無序體系中電子本征態是局域在某一點附近，還是擴展到整個體系，以及這一結果與無序程度的關系。Anderson采用的對局域化的判斷標準是：假如t=0時刻，電子的波函數恰好是在格點n處的局域波函數，即（2）式中，而所有的，由于這并非哈密頓量（7）式的本征函數，它將隨時間變化。求解含時薛定諤方程可得到經過時間t后再格點n上找到這個電子的幾率。如果電子態是非局域的，電子會

7、離開格點n，在體系中傳播，有。如果電子態是局域的，電子波函數的振幅將隨與格點n的距離增加指數衰減，局域在其初始位置附近，維持有限值。Anderson利用格林函數方法討論了這一本征函數隨時間的變化問題，引入了一個刻畫無序程度的無量綱參量,得到的結論是，對于三維無序體系，當W/B大于某一臨界值時，無序體系中所有的本征態都是局域態，的數值大于為2，即 （9）由于這一問題的理論處理較為復雜，在這里不做贅述。這里給出一種有助于理解Anderson結果，特別是有助于了解哈密頓量（7）中和作用的說明。先看簡單的兩原子問題，假定兩個勢阱中電子的能量分別為和，波函數分別為，總波函數可寫為 （10）如果兩個勢阱相

8、同，由方程（5）可解出體系有兩個狀態，波函數和相應的能量差分別為 （11）所得結果中重要的啟示是盡管兩個勢阱空間位置可能會相距甚遠，以至于交疊積分很小，但處在態的電子在每個阱處有相同的概率。對于的情形，解有相近的性質，即對于的相反情形，圖像則完全不同，體系仍然有兩個可能的狀態，第1個態，能量接近，波函數接近于，（10）式中系數比。第2個態，.在兩勢阱系統的每個態中，電子基本上僅屬于其中的一個阱，不發生電子的公有化。在大尺度的三維體系中，考慮一個小的能量范圍，從上面的結果可合理的認為，如果兩個最近鄰格點的電子能量和落在這一范圍內，則電子為兩格點所共有，它們是“連接”起來的。如果把體系中符合上述條

9、件的格點都用線連接起來，則會出現一些團簇（cluster），在一個團簇內，電子有大致相同的概率出現在所屬各個格點上。抹去團簇外的格點，可顯示出波函數在空間擴展的程度。當電子能量在和之間的格點在總格點中的比例x小時，只能形成小的團簇，電子態是局域的。D增大時，幾個小的團簇可能會連接起來，成為大的團簇，x增大到某一臨界值時，出現無限大的團簇，電子波函數是擴展的，發生從局域到非局域的變化，文獻上陳這種源于無序的轉變為Anderson轉變（Anderson transition）。四、安德森局域的直觀說明計算機模擬、聲波模擬可為安德森局域的出現能提供個非常直觀的說明，例如何善進（Shanjin He）

10、和Maynard，他們在一根繃緊的細長鋼絲上，每隔15cm固定一個小鉛塊，總共50個，以此來模擬周期勢，在鋼絲的一端用橫波激勵并進行掃頻，在另一端接收整個系統的響應，可以得到類似于能帶結構的結果，在體系中得以傳輸的本征頻率構成導通的帶（pass band），帶間有能隙存在，圖4（a）和（b）是對兩個許可態沿鋼絲測量各點響應的結果，給出振幅隨位置的變化，明顯的為擴展態，定性的與布洛赫態一致。無序可由挪動鉛塊位置產生，圖4（c）（g）給出鉛塊位置無規挪動，最大偏離在0.02a之內的結果，a為周期排列的晶格常數，圖中可明顯的看出無序導致的局域，最局域的是（c），這是出現在能隙中的態。態（c）的局域化長度約為2.2a。