1、鎮江市鎮江市 2015201520162016 學年度第一學期期末檢測試題學年度第一學期期末檢測試題高三數學2016.1第一部分第一部分一、 填空題：本大題共 1414 小題，每小題 5 5 分，共 7070 分不需寫出解答過程1. 若全集為 UR R，Ax|x2x0，則UC A _【答案】0，1【命題立意】本題旨在考查集合的補集運算，考查概念的理解和運算能力，難度較小【解析】由題可得2010Ax xxx xx或，0,1UC A 2. i 為虛數單位，計算1i2i_【答案】31i55【命題立意】本題旨在考查復數的除法運算與概念，考查概念的理解能力，難度較小【解析】1-i2+i1-i3-i3 i

2、=-2-i2-i2+i55 53. 箱子中有形狀、大小都相同的 3 只紅球和 2 只白球，一次摸出 2 只球，則摸到的 2 球顏色不同的概率為_【答案】35【命題立意】本題旨在考查古典概型及其應用，考查概念的理解能力，數據的運算能力，難度中等.【解析】對紅球和白球進行編號：紅 1；紅 2；紅 3；白 1；白 2，則摸到的 2 球的可能性有10 種：紅 1，紅 2；紅 1，紅 3；紅 1，白 1；紅 1，白 2；紅 2，紅 3；紅 2，白 1；紅 2，白2；紅 3，白 1；紅 3，白 2；白 1，白 2；摸到的 2 球顏色不同的有 6 種：紅 1，白 1；紅 1，白 2；紅 2，白 1；紅 2，

3、白 2；紅 3，白 1；紅 3，白 2；故摸到的 2 球顏色不同的概率為354. 已知實數x，y滿足xy2，xy8，x1，則z2xy的最小值是_【答案】1【命題立意】本題旨在考查線性規劃最值問題，考查數形結合思維，難度中等【解析】作出不等式組xy2，xy8，x1，其是由點1,7A,1, 1B,5,3C圍成的三角形區域（包含邊界） ，對于目標函數 z2xy，轉化為直線2yxz ，過點1, 1B時，z最小，即2 1 11z 5.5. 閱讀如圖所示的程序框，若輸入的 n n 是 3030，則輸出的變量 S S 的值是_(第 5 5 題圖)【答案】240【命題立意】本題旨在考查算法的當型流程圖及其應用

4、考查運算和推理能力，難度較小【解析】 根據算法的流程圖， 當30n ，2n ，30S ，28n ； 當28n ，2n ，58S ，26n ； ， 當2n ，15 30230282622402S，0n 輸出240S 6.6. 已知向量a a(2，1)，b b(1，0)，則|2ab|_【答案】 13【命題立意】本題旨在考查平面向量的坐標運算與數量積，考查運算能力，難度較小【解析】23,2ab ，2223213ab7. 已知函數f(x)是定義在 R R 上的奇函數，當x0 時，f(x)1log2x，則不等式f(x)0 的解集是_【答案】(2，0)(2，)【命題立意】本題旨在考查函數的基本性質，不等式

5、的運用，考查數形結合思維，難度中等【解析】當x0 時， 2log1f xfxx ,f(x)0 時，f(x)1log2x，f(x)0,即21 log0 x，解得2x ，綜上所述，不等式f(x)0，0)圖象上的一個最高點和其相鄰最低點的距離的最小值為_【答案】2【命題立意】本題旨在考查三角函數的幾何性質，基本不等式，考查概念的理解和運算能力，難度較小【解析】取函數yasin(ax)(a0，0)的最大值為a，周期為2Ta，所以同一周期內相鄰的最高點與最低點的距離為：22224242aaaa（當且僅當2a時，等號成立） ，故答案為 212.Sn是等差數列an的前n項和，若SnS2nn14n2，則a3a

6、5_【答案】35【命題立意】本題旨在考查等差數列的通項公式及前 n 項和，考查學生的運算能力，難度中等【解析】由SnS2nn14n2可得，111212122212nnnnn aaaann aaaan，當1n 時，112223aaa，212112 ,aa daaa，311511233455aadaaada13. 函數f(x)x2x，x0，12|12x|，x0，若關于x的方程f(x)kxk至少有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍為_【答案】13，1)(1，)【命題立意】本題旨在考查分段函數，函數與方程考查概念的理解和運算能力，難度中等.【解析】作函數圖象可得，當ykxk過點1 1,2 2時，直

7、線的斜率最小即13k ，當直線ykxk與20yxx x相切時有一個交點，1ky，故函數f(x)x2x，x0，12|12x|，x0，與直線ykxk有兩個不同的交點時，k的取值范圍為13，1)(1，)，即關于x的方程f(x)kxk至少有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍為13，1)(1，)14. 由 sin 36cos 54，可求得 cos 2 016的值為_【答案】514【命題立意】本題旨在考查三角函數值，誘導公式考查概念的理解和運算能力，難度中等.【 解 析 】 由 sin36 cos54 得00000sin362sin18 cos18cos 3618即2004sin 182sin1810

8、 ，解得20221651sin182 44 ，000002051cos2016cos 5 360144cos 144cos362sin 1814 ，二、 解題題：本大題共 6 6 小題，共計 9090 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分 14 分)如圖：四棱錐 PABCD 中，PDPC，底面 ABCD 是直角梯形，ABBC，ABCD，CD2AB，點 M是 CD 的中點(1) 求證：AM平面 PBC；(2) 求證：CDPA.(第 1515 題圖)【答案】 （1）略； （2）略【命題立意】本題旨在考查空間線面平行的判定、線線垂直的判定；考查空間想象能力和識圖能力，規范化

9、書寫表達能力，難度較小.【解析】證明：(1) 在直角梯形 ABCD 中，ABCD，CD2AB，點 M 是 CD 的中點，由 ABCM，且 ABCM，所以四邊形 ABCM 是平行四邊形，且是矩形(3 分)所以 AMBC， （4 分）又因為 BC平面 PBC， （5 分）AM 是平面 PBC 外一條直線， （6 分）故 AM平面 PBC，(2) 連接 PM，因為 PDPC，點 M 是 CD 的中點，所以 CDPM，(8 分)又因為四邊形 ABCM 是矩形，CDAM，(9 分)CDAM，CDPM，PM平面 PAM，AM平面 PAM， （10 分）PMMAM， （11 分）CD平面 PAM.(12 分

10、)又因為 AP平面 PAM，(13 分)所以 CDPA.(14 分)16.16. (本小題滿分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 所對應的邊分別是 a，b，c，向量m m(ac，bc)，n n(bc，a)，且m mn n.(1) 求B；(2) 若b 13，cosA6 3 3926，求a.【答案】 （1）B3； （2）1【命題立意】本題旨在考查向量的平行的運算，余弦定理，同角三角函數的基本關系，三角變換，正弦定理；考查學生的字母符號處理能力、運算能力能力、書寫表達.能力，難度較小【解析】 (1) 因為m mn n，所以a2c2b2ac，(2 分)因為 cosBa2c2b22acac2ac1

11、2，(4 分)B(0，)(5 分)故B3.(6 分)(2) 因為A66，56，(7 分)cosA6 3 3926，所以 sinA6 5 1326，(9 分)所以 sinAsinA6 6 3926，(11 分)在ABC中，由正弦定理可得：asinAbsinB，(13 分)解得a1.(14 分)17. (本小題滿分 14 分)如圖，某工業園區是半徑為 10km 的圓形區域，離園區中心O點 5km 處有一中轉站P，現準備在園區內修建一條筆直公路AB經過中轉站，公路AB把園區分成兩個區域(1) 設中心O對公路AB的視角為，求的最小值，并求較小區域面積的最小值；(2) 為方便交通，準備過中轉站P在園區內

12、再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長度和的最小值(第 1717 題圖)【答案】 （1）的最小值為23，較小區域面積的最小值是 502332km2.； （2）20201010 3 3kmkm【命題立意】本題旨在考查導數在函數中的應用，考查學生的推理分析能力，難度中等.【解析】(1) 如圖 1，作 OHAB，設垂足為 H，記 OHd，2AOH，因為cosAOHd10，(1 分)要使有最小值，只需要 d 有最大值，結合圖像可得，dOP5km，(3 分)當且僅當 ABOP 時，dmin5km.此時min2AOH2323.(4 分)設 AB 把園區分成兩個區域，其中較小區域面積記為 S，根據

13、題意可得：Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6 分)f()50(1cos)0 恒成立，f()為增函數，(7 分)所以 Sminf23502332km2.(8 分)答：視角的最小值為23，較小區域面積的最小值是 502332km2.(9 分)(第 1717 題圖 1 1)(2 2) 如圖 2 2，分別過 O O 分別作 OHOHABAB，OHOH1 1CDCD 垂足分別是 H H，H H1 1，記 OHOHd d，OHOH1 1d d2 2，由(1 1)可知 d d1 10 0，5 5所以 d d2 21 1d d2 22 2OPOP2 22525，且 d d2 22 22525d d2

14、21 1(1010 分)因為 ABAB2 2 100100d d2 21 1，CDCD2 2 100100d d2 22 2，所以 ABABCDCD2 2( 100100d d2 21 1 100100d d2 22 2)2 2( 100100d d2 21 1 7575d d2 21 1)，(1111 分)記 L L(d d1 1)ABABCDCD2 2( 100100d d2 21 1 7575d d2 21 1)，可得 L L2 2(d d1 1)4 41751752 2 （100100d d2 21 1） （7575d d2 21 1），(1212 分)由 d d2 21 10 0，2

15、525，可知 d d2 21 10 0，或 d d2 21 12525 時，L L2 2(d d1 1)的最小值是 100100(7 74 4 3 3)，從而 ABABCDCD 的最小值是 20201010 3 3 km.km.(1313 分)答：兩條公路長度和的最小值是 20201010 3 3 km.km.(1414 分)(第 1717 題圖 2 2)18.18. (本小題滿分 1616 分)已知在平面直角坐標系 xOyxOy 中，橢圓x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1(ab0ab0)的離心率為3 32 2，左頂點為 A A(3 3，0 0)，圓心在原點的圓 O O 與

16、橢圓的內接三角形AEFAEF 的三條邊都相切(1 1) 求橢圓方程；(2 2) 求圓 O O 方程；(3 3) B B 為橢圓的上頂點，過 B B 作圓 O O 的兩條切線，分別交橢圓于 M M，N N 兩點，試判斷并證明直線 MNMN 與圓 O O 的位置關系(第 1818 題圖)【答案】 （1）x29y2941； （2）x2y21； （3）直線 MN 與圓 O 的位置關系是相切【命題立意】本題旨在考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質；圓的方程，直線與圓的位置關系；考查運算能力，難度中等.【解析】 (1) 由題意可知ca32，a3，得：c3 32，(2 分)因為 a2b2c2，所以 b294，

17、(3 分)故橢圓的標準方程是：x29y2941.(4 分)(2) 設直線 AE 的方程：yk(x3)，點 E(x1，y1)，由x29y2941，yk（x3） ，可得(4k21)x224k2x36k290.(5 分)因為3x124k24k21，得 x1312k24k21，代入直線 yk(x3)，得 y16k4k21，所以 E312k24k21，6k4k21 ，(7 分)同理可得 F312k24k21，6k4k21 ，(9 分)根據條件可知圓心 O 到直線 AE 的距離等于圓心 O 到直線 EF 的距離可得|3k|k21|312k24k21|r，解之得 k218，(10 分)從而 r21，所以圓

18、O 的方程為：x2y21.(11 分)(3) 設直線 BM 的方程為 ykx32，因為直線 BM 與圓 O 相切，所以 dr，解得 k52，(14 分)當 k52，lBM：y52x32，由x29y2941y52x32，解得 x2 5x0.(11 分)所以 M( 5，1)，(12 分)同理可得 N( 5，1)(13 分)可得直線 MN 方程是：y1，(15 分)直線 MN 與圓 O 的位置關系是相切(16 分)【方法技巧【方法技巧】 (1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題.19.19. (本小題滿

19、分 1616 分)已知數列a an n)的各項都為自然數，前 n n 項和為 S Sn n，且存在整數，使得對任意正整數 n n 都有S Sn n(1 1)a an n恒成立(1 1) 求值，使得數列a an n)為等差數列，并求數列a an n)的通項公式；(2 2) 若數列a an n為等比數列，此時存在正整數 k k，當 1 1kjk0 x0，2a2a3 3，m m1 1，f f(x x)b b2a2a1 1e e1 1a a恒成立，求正數 b b 的范圍【答案】 （1）當 a0 時，函數 f(x)的增區間是(，0)，減區間是(0，)；當 a0 時，函數f(x)的增區間是(，0)1a，減

20、區間是0，1a ； （2）當 2m4 時，04時，00，則 x0；令 f(x)0；若 a0，得1ax0；由 f(x)x 或 00，由 f(x)0，得 0 x0，得 x1a或 x0；綜上可得：當 a0 時，函數 f(x)的增區間是(，0)，減區間是(0，)；(3 分)當 a0 時，函數 f(x)的增區間是(，0)1a，減區間是0，1a (7 分)(2) 因為 2a3，m1，由(1)x(0，)上函數 f(x)的最小值是 f1a .因為 f(x)b2a1e1a恒成立，所以 f1a b2a1e1a恒成立，(8 分)所以e1a(2a1)b2a1e1a恒成立，即 2a1b2a1恒成立(9 分)由 2a3，

21、m1，令 2a1t2，m，則 tbt，所以lnblnttg(t)，(10 分)由 g(t)1lntt2，可知函數 g(t)在(0，e)上遞增；(e，)上遞減，且 g(2)g(4)(11分)當 2m4 時，g(t)ming(2)ln22，從而lnbln22，解得 04 時，g(t)ming(m)lnmm，從而lnblnmm，解得 0bm1m，(15 分)故：當 2m4 時，04 時，0y，求證：x4x22xyy2y3.【答案】略【命題立意】本題旨在考查基本不等式及其應用考查運算求解能力，難度較小【解析】證明：xy4x22xyy2(xy)4（xy）2(3 分)xy2xy24（xy）2，(5 分)因

22、為xy，xy0，所以xy2xy24（xy）233xy2xy24（xy）23，當且僅當xy2xy24（xy）2取等號，此時xy2.(10 分)【必做題】第 2222 題、第 2323 題，每題 1010 分，共計 2020 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22. (本小題滿分 10 分)如圖，在棱長為 3 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1) 求兩條異面直線 AC1與 BE 所成角的余弦值；(2) 求直線 BB1與平面 BED1F 所成角的正弦值(第 2222 題圖)【答案】 （1）39393939； （2）3 1414【命題立意】本題旨在考查空間直角坐標系的建立，空間向量的應用，空間異面直線所成角、線面所成角的求解與應用等考查空間想象能力和識圖能力，難度中等.【解析】(1) 以 D 為原點，建立空間直角坐標系 Dxyz，如圖所示，(第 2222 題圖)則 A A(3 3，0 0，0 0)，C C1 1(0 0，3 3，3 3)，ACAC1 1(3 3，3 3，3 3)，B B(3 3，3 3，0 0)，E E(3 3，0 0，2 2)，BEBE(0 0，3 3，2 2)(2 2