1、二次函數知識點總結微山縣馬坡一中 金沛勇一、二次函數概念：1二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數2. 二次函數的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項二、二次函數的基本形式1. 二次函數基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質：上加下減。的

2、符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值三、二次函數圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物

3、線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 四、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱

4、的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數的性質 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值七、二次函數解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數，）；2. 頂點式：（，為常數，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示

5、二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系 1. 二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數 在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，即拋物線的對稱軸就

6、是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”總結： 3. 常數項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題

7、簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數圖象的對稱 二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關于頂點對稱（即：

8、拋物線繞頂點旋轉180°） 關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是 根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數與一元二次方程：1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數：

9、 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮涤梢话闶睫D化為頂點式； 根據圖象的位置判斷二次函數中，的符號，或由二次函數中，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與

10、軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.二次函數圖像參考： 十一、函數的應用二次函數應用二次函數考查重點與常見題型1 考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：已知以為自變量的二次函數的圖像經過原點， 則的值是 2 綜合考查正比例

11、、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數的圖像在第一、二、三象限內，那么函數的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3 考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：已知拋物線（a0）與x軸的兩個交點的橫坐標是1、3，與y軸交點的縱坐標是（1

12、）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 5考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題?！纠}經典】由拋物線的位置確定系數的符號例1 （1）二次函數的圖像如圖1，則點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，則下列結論：a、b同號；當x=1和x=3時，函數值相等；4a+b=0；當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 (1) (2)【點評】弄清拋物線的位置與系數a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵例2.已知二次函數y=ax2+bx+

13、c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方下列結論：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正確結論的個數為( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D4個答案：D會用待定系數法求二次函數解析式例3.已知：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線

14、L向正方形移動，直到AB與CD重合設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（1）寫出y與x的關系式；（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、對稱軸.例5、已知拋物線y=x2+x-（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長【點評】本題（1）是對二次函數的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數與一元二次方程的關系例6、 “已知函數的圖象經過點A（c，2）， 求證：這個二次函數圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。（

15、1）根據已知和結論中現有的信息，你能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數圖象；若不能，請說明理由。（2）請你根據已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當的條件，把原題補充完整。點評： 對于第（1）小題，要根據已知和結論中現有信息求出題中的二次函數解析式，就要把原來的結論“函數圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經過點A（c，2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數，所以能夠求出題中的二次函數解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以

16、考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。解答 （1）根據的圖象經過點A（c，2），圖象的對稱軸是x=3，得解得所以所求二次函數解析式為圖象如圖所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標是（3+”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標是令x=3代入解析式，得所以拋物線的頂點坐標為所以也可以填拋物線的頂點坐標為等等。函數主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數的具體特征；借助多種現實背景理解函數；將函數視為“變化過程中變量之間關系”的數學模型；滲透函數的思想；關注函數與相關知識的聯系。用二次函數解決最值問題例1已知

17、邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積【評析】本題是一道代數幾何綜合題，把相似三角形與二次函數的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間例2 某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日銷售量y是銷售價x的一次函數 （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【解

18、析】（1）設此一次函數表達式為y=kx+b則 解得k=-1，b=40，即一次函數表達式為y=-x+40 （2）設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 產品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元 【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區別，主要有兩點：（1）設未知數在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程二次函數對應練習試題一、選擇題1. 二次函數的頂點坐標是( )A.

19、(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ）A. B. C. D. 3.函數和在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的( ) 4.已知二次函數的圖象如圖所示,則下列結論: a,b同號;當和時,函數值相等;當時, 的值只能取0.其中正確的個數是( ) A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個5.已知二次函數的頂點坐標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關于的一元二次方程的兩個根分別是（）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函數的圖象如圖所示，則點在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的個數為（ ）A.0個 B.1個 C.2個. 3 個8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A. B. C. 或 D. 或二、填空題9二次函數的對稱軸是，則_