1、9.19.1 級數的概念與性質級數的概念與性質級數的基本概念級數的基本概念級數的收斂和發散級數的收斂和發散級數的基本性質級數的基本性質收斂的必要條件收斂的必要條件無窮級數的定義無窮級數的定義設有數列設有數列 uun n: u: u1 1 , u, u2 2 , , u, , un n , , nnnuuuu211注：和以前學習的數列區別在于項數。注：和以前學習的數列區別在于項數。稱稱 為級數的一般項或通項為級數的一般項或通項. .則稱表達式則稱表達式nu為一個無窮級數為一個無窮級數, , 簡稱為級數簡稱為級數. . ., 1數則稱該級數為常數項級均為常數的每一項若級數nnnuu . )( ),

2、( :1數項級數為函則稱級數函數一個變量的若級數的每一項均為同nnnnxuxuu下列各式均為常數項級數下列各式均為常數項級數; 214121211nnn; 211nnn. cos2cos1coscos1nnn例例這是一個函數項級數通項是nxnxxxxsin.sin.3sin2sinsin例例 級數的收斂與發散級數的收斂與發散: :如果如果ns沒有極限沒有極限, ,則稱無窮級數則稱無窮級數 1nnu發散發散. .即即 常常數數項項級級數數收收斂斂( (發發散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )是否收斂例：判斷級數.21.41211n否有和分析：判斷收斂即指是211)21(1 1

3、nnS解：)21(1 2nn上式中nnSlim）（1212limnn2上級數收斂是否收斂例：判斷級數.321nnS解：部分和2) 1( nn)(等差數列求和公式2limlim2nnSnnn上級數發散是否收斂例：判斷級數.) 1(1.431321211nn規律可循解：上述數列的通項有)111 (limlimnSnnn上級數收斂)111(.)4131()3121()2111(nnSn部分和111) 1(1nnnnan111n1)(關系無窮小與無窮大的互逆是否收斂例：判斷級數.1ln.34ln23ln12lnnn化簡用公式解：上述數列的通項可BABAlnlnlnnnnnanln) 1ln(1ln)l

4、n) 1(ln(.)3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(lnnnSn部分和) 1ln(1ln) 1ln(nn) 1ln(limlimnSnnn上級數發散討論等比級數討論等比級數的斂散性的斂散性.11nnaq等比級數的部分和為：等比級數的部分和為：nkknaqS11當公比當公比 | r | 1 時,. 1)1 (limlimqqaSnnnn當公比 r =1時,. limlimnaSnnnSn=a, n為奇數0, n為偶數當公比當公比 | r | 1 時時, 等比級數收斂；等比級數收斂；當公比 r = 1時,當公比當公比 | r | 1 時時, 等比級數發散等比級數發散.綜上所述: . l

5、im ,不存在故nnS該結論需要記憶，用于判定各種等比數列是否該結論需要記憶，用于判定各種等比數列是否收斂收斂。 1 qaS基本基本性質性質是否收斂例：判斷級數113) 1(2nnn兩個部分解：上述級數可以分為1113) 1(32nnnnn和;31321的等比數列是公比為nn;313) 1(11的等比數列是公比為nnn上級數收斂)31- (-13131-131和為45然收斂, 且其和不變.對收斂的級數加括號后所得到的新級數仍性質：性質：在一個級數的前面加上或者去掉有限項后, 所得到的新的級數與原級數的斂散性相同.性質：性質：收斂收斂的必要條件的必要條件. 0lim nnu證明證明sunn 1設設,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss .