1、惠州市 2019 屆理科數學參考三次調研考試及評分標準一、 選擇題：】 A =x | -2 < x < 1, B = x | x > 0，集合 A È B = x | x > -2 故選 B1【另解：由 B 是 AB 的子集，所以選項中包含必有（0,+），排除選項 ACD，故選 B2【】由題得 z=-1-𝑖 = 𝑖+1 = 1 + 𝑖,所以復數 z 對應的點為（-1,1），所以復𝑖1數 z 對應的點在第二象限。故為 B另解：也可以兩邊同時乘以𝑖，化簡后可得。3【】作出可行域，如右圖

2、中的陰影部分，目標函數z = x + 2y過點𝐶(1,3)時取得最大值為1 + 2 × 3 = 7，故選 Ca + b = 7ìïa = 3ì22，結合0 < a < b ，解方程組可得：í4【í】由題意可得：，îb = 4ïab = (23 )2î則雙曲線中： c =a2 + b2 = 5, e = c = 5 .故選 Aa35【】函數y𝑓(𝑥)與yex互為反函數，函數𝑓(𝑥) = 𝑙Ү

3、99;𝑥， y𝑔(𝑥)的圖象與y𝑓(𝑥)的圖象關于𝑥軸對稱，函數𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥， 𝑔(𝑎)1，即𝑙𝑛𝑎 = 1 𝑎 = 1故選 D.𝑒6【】𝑛 = 6 s = 1 × 6sin600 2.598, n = 12 s = 1 × 12sin300 = 3,22n = 24

4、 s = 1 × 24sin150 3.1056，故選 C.2】直線l 為kx - y + 2k = 0，又直線l 與圓 x2 + y2 = 2x 有兩個交點，7【| k + 2k |故< 1 ， -2 < k <42 ，故選 B4k 2 +1另解：結合，通過相切的臨界值找出。】由三視圖可知該幾何體是由一個四棱錐（2 3 ，底面是以 4 為底、3 為高的8【矩形）和半個圓柱（半徑為 2，3）組合而成，數學（理科）試題第1頁，共11頁題號123456789101112BBCADCBDCAAD則該幾何體的體積為V = 1 ´(4´3)´ 2

5、3 + ´ 22 ´ 3´ 1 = 8 3 + 6 .故選 D.239【】由題意，拋物線x2 = 4y的準線方程為y = 1，設M(𝑥1, y1), N(x2, y2)，所以|𝑀𝐹| + |𝑁𝐹| = 𝑦1 + 1 + 𝑦2 + 1 = 6𝑦1 + 𝑦2 = 4，所以MN的中點的縱坐標為2，所以線段MN的中點到該拋物線的準線的距離為2 + 1 = 3，故選C 10【】由題意可知：AP = 𝜆AB + 4&#

6、120583;AD ，其中 B,P,D 三點共線，由三點共線的充分必要條件可得： + 4 = 1，則：4 + 1 = (4 + 1) × (𝜆 + 4𝜇) = 8 + 16𝜇 + 𝜆 8 + 216𝜇 × 𝜆 = 16，𝜆𝜇𝜆𝜇𝜆𝜇𝜆𝜇當且僅當𝜆 = 1 , 𝜇 = 1時等號成立，即4 + 1的最小值為 16.故選A.28

7、𝜆𝜇11【】函數𝑓(𝑥) = 1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 3 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥 + 𝜋)，(𝜔 > 0)223當𝑥 0, 𝜋時，𝑓(𝑥) 1, 1， 1 cos(𝜔⻖

8、9; + ) 1，則 𝜔 + 5232332 𝜔 4，故𝜔的取值范圍為2 , 4。故選A333 3】當 0x4 時，f (x)= 1ln2x，令 f (x)=0 得 x=𝑒，12【𝑥22f(x)在（0，𝑒）上單調遞增，在（𝑒，4）上單調遞減，22f(x)是偶函數，f(x+4)=f(4x)=f(x4)，f(x)的周期為 8，f(x)是偶函數，且不等式 f 2(x)+af(x)0 在200，200上有且只有 200 個整數解，不等式在（0，200）內有 100 個整數解，f(x)在（0，

9、200）內有 25 個周期，f(x)在一個周期（0，8）內有 4 個整數解，若 a0，由 f2(x)+a f(x)0，可得 f(x)0 或 f(x)a，顯然 f(x)0 在一個周期（0，8）內有 7 個整數解，不符合題意；若 a0，由 f 2(x)+af(x)0，可得 f(x)0 或 f(x)a，顯然 f(x)0 在區間（0，8）上無解，f(x)a 在（0，8）上有 4 個整數解，f(x)在（0，8）上關于直線 x=4 對稱，f(x)在（0，4）上有 2 個整數解，f(1)=ln2，f(2)=𝑙𝑛4=ln2，f(3)=𝑙𝑛6，23

10、f(x)a 在（0，4）上的整數解為 x=1，x=2𝑙𝑛6aln2，ln2a𝑙𝑛6故為：D33數學（理科）試題第2頁，共11頁二填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.1213、 ，14、1，15、，16、304。7313【】因為𝑠𝑖𝑛𝛼 = 3 ，𝛼 (𝜋 ，𝜋) ，所以 cos𝛼 = 4 ，𝑡𝑎𝑛 = 3 ，5254131+⻖

11、5;𝑎𝑛𝛼1因此tan ( + ) = 4 =.1+341𝑡𝑎𝑛𝛼74BCA=600；又ACD 是等邊三角形，】ABBC，AB=3，BC=1，AC=2，14【AD=AC=2，ADAB，AC BD =（AB + BC ）（BA +AD ）=AB BA +BC AD =3×3+1×2 =115【】如右圖，連接OP,OE ，則OP = 1, OE = 2，22 2 = 2 PE = OP2 OE2 = R2 ( )，又22S= 2，ABCD VPABCD = 1 SAB

12、CD PE = 1 × 2 × 2 = 2332316【】𝑛𝑎𝑛+1 = (𝑛 + 1)𝑎𝑛 + 𝑛(𝑛 + 1)，𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 1，數列𝑎𝑛是公差與首項都為 1 的等差數列𝑛+1𝑛𝑛𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 1) × 1，可得𝑎

13、𝑛 = 𝑛2b𝑛 = 𝑎𝑛cos 2n，b𝑛 = n2cos 2n，𝑛33令n = 3k 2，k N，則𝑏= (3𝑘 2)2𝑐𝑜𝑠 2(3𝑘2) = 1 (3𝑘 2)2，k N，3𝑘232同理可得𝑏3𝑘1 = 1 (3𝑘 2)2，𝑘 𝑁；𝑏3𝑘 =

14、 (3𝑘)2，k N2𝑏3𝑘2 + 𝑏3𝑘1 + 𝑏3𝑘 = 1 (3𝑘 2)2 1 (3𝑘 1)2 + (3𝑘)2 = 9𝑘 5，k N，222則𝑆24 = 9 × (1 + 2 + + 8) 5 × 8 = 3042三解答題：共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據要求作答。17【】（1

15、）4𝑆 = 𝑎2 + c2 b2由三角形的面積公式及余弦定理得: 1 分（注意：沒有寫出此行文字本得分點不給分）4 1 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵 = 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵 2 分2tanB = 1 3 分0 < 𝐵 < 𝜋 4 分數學（理科）試題第3頁，共11頁B = 𝜋 5 分4（2）在𝛥ABD中,由正弦定理得 A

16、D =BD 6 分sinBsinBAD62BDsinB3所以sinBAD =2 = 7 分AD33cosBAC = 1 2sin2BAD = 1 8 分30 < 𝐵𝐴𝐶 < 𝜋所以sinBAC = 22 9 分3所以𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑐𝑜𝑠(3𝜋 𝐵𝐴𝐶) = 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 Ү

17、88;𝑜𝑠𝐵𝐴𝐶 + 𝑠𝑖𝑛 3𝜋 𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐶 10 分444=- 2 × 1 + 2 × 22 11 分2323= 4-2 12 分6= 4(a1 + a4 ) = 26 ，18【】（1）由題意知a × a = 40，S2342 a2 × a3 = 40，a2 + a3 = 13 ， 1 分又公差為正數，故a2 =

18、 5 ， a3 = 8 , 公差d = 3 ， 2 分 an = 3n -1 ， 3 分由T = 2n+1 - （2 n Î N*）得n當 n = 1,b1 = T1 = 2 ， 4 分當n ³ 2, n Î N* 時， b = T -T= 2n+1 - 2 -(2n - 2) = 2n 5 分nnn-1綜上得b = 2（n n Î N*） 6 分n（2）由（1）知a ×b = (3n -1)× 2nnn+ (3n -1)× 2n 7 分 Mn = 2× 2 + 5× 2 +2解法 1（錯位相減法）+ (

19、3n -1)× 2n+1 8 分2Mn = 2× 2 + 5× 2 +23 得 Mn = (3n -1)× 2- 4 - 3(2 + 2 +n+123+ 2n ) 10 分= (3n - 4)× 2n+1 + 8 12 分數學（理科）試題第4頁，共11頁解法 2（待定系數法的簡單解答過程）設 Mn = ( An + B)× 2 - B 8 分n( A + B)× 2 - B = 4ìï由 M = 4, M = 24 ，得A = 6, B = -8 9 分í()122A + B × 2

20、- B = 242ïî所以 Mn = (6n - 8)× 2 + 8 10 分n注意：用待定系數法沒有說明 Mn = ( An + B)× 2 - B 的原理，最后結果正確也要扣 2 分。n解法 3（分合法）+ (3n -1)× 2n 7 分Mn = 2× 2 + 5× 2 +2+ (3n -1)× 2n-1 ùû= 4 + 2 éë5× 21 + 8× 22= 4 + 2 éë(3 + 2) × 21 + (3 + 5) &

21、#215; 22+ (3= 4 + 2 éë2× 21 + 5× 22 8 分2= 4 + 2 éëMn -(3n -1)× 2 ùû + 6n Mn 10 分化簡得 Mn = (3n - 4)× 2+ 8 12 分n+1如果學生有其余解法，評卷可與備課組長討論決定評分細則，并上報給題組長備案。19【】（1）連接AC交BE于N，并連接CE，FN， 1 分P BC/AD，BC = 1 AD，E為AD中點， AE/BC，且AE = BC，2F四邊形ABCE為平行四邊形， 2 分 N為AC中點，又F為

22、PC中點， NF/PA， 3 分CD NF 平面BEF，PA 平面BEF， PA/平面BEF. 4 分EBN（2）解法 1（向量法）連接PE，由 E 為 AD 的中點及PA = PD = 3，得PE AD，則PE = 2，側面PAD 底面ABCD，且交于AD，A𝑧PE 面ABCD， 5 分P，以E 為原點，EA、EB、EP 分別為Fx、y、z 軸建立空間直角坐標系， 6 分則𝐸(0,0,0)，𝐴(1,0,0)，𝐵(0,1,0)，C(1,1,0)，𝑃(0,0, 2).CDF為PC的中點，F( 1 , 1 , 2) ，

23、2 2 2EB𝑦N數學（理科）試題第5頁，共11頁A𝑥EB = (0,1,0)，EF = ( 1 , 1 , 2)， 7 分2 2 20 + y + 0 = 0設平面𝐵𝐸F 法向量為𝑚 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)，則m EB = 0 , 8 分 1 𝑥 + 1 𝑦 + 2 𝑧 = 0m EF = 0222取m = (2, 0,1), 9 分平面𝐴𝐵𝐸法向量可取：n = (0,0

24、,1), 10 分設二面角 F-BE-A 的大小為，顯然為鈍角，𝑐𝑜𝑠𝜃 = |𝑐𝑜𝑠 < 𝑚 ，n > | = |m 𝑛 | = 3, 11 分|m |𝑛 |3二面角 F-BE-A 的余弦值為 3 12 分3（2）解法 2（幾何法 1）連接PE，由 E 為 AD 的中點及PA = PD = 3，得PE ADDE = 1， PE = 2， 5 分取PD中點M，連ME，MF，MA，側面PAD 底面ABCD，且交于AD，BE A

25、D，PFMBE 面PAD， 6 分CDF為PC的中點，ME/NF，EBMEA 為二面角 F-BE-A 的平面角 8 分NA在RtPDE中，cosPDE = 3 ，ME = 3， 9 分32在 MDA中，由余弦定理得MA = 11 10 分2在 MEA中，由余弦定理得 cosMEA= 3， 11 分3所以二面角F-BE-A 的余弦值為 3. 12 分3（2）解法 3（幾何法 2）連接PE，由 E 為 AD 的中點及PA = PD = 3，得PE AD 側面PAD 底面ABCD，PE 面ABCD， 5 分BC = 1， PE = 2，連BD交CE于點Q，則Q為CE中點，連 QF，QN，FN，F為P

26、C的中點，PE/FQ， FQ 面ABCD， 6 分PF又QN/BC，QN BECDFNQ 為二面角 F-BE-A 的平面角的補角 8 分QEB在RtFQN中，FQ = 1 PE = 2 ，QN = 1 BC = 1， 8 分N2222A數學（理科）試題第6頁，共11頁由勾股定理得FN = 3 9 分2cosFNQ= 3， 11 分3所以二面角F-BE-A 的余弦值為 3. 12 分320【】（1）解法 1 拋物線y2 = 4𝑥的焦點為 F（-1,0），依題意知，橢圓的左右焦點坐標分別為F1（ 1,0），F2(1,0) 1 分æ3 ö ，由橢圓的定義知，2&#

27、119886; = |PF | + |PF | = 4， 2 分P ç1， ÷又橢圓過點12è2 ø𝑎 = 2，又𝑐 = 1，𝑏 = 3 3 分x2y2橢圓的方程為+= 1 4 分43（1）解法 2 拋物線y2 = 4𝑥的焦點為 F（-1,0），依題意知，橢圓的左右焦點坐標分別為F1（ 1,0），F2(1,0) 1 分ì a2 - b2 = 1æ3 ö ， ï94P ç1， ÷í 2 分又橢圓過點è2 ø

28、;ï 1ïî a2+= 1b2𝑎 = 2， 𝑏 = 3 3 分x2y2橢圓的方程為+= 1 4 分43（1）解法 3 拋物線y2 = 4𝑥的焦點為 F（-1,0），依題意知，橢圓的左右焦點坐標分別為F1（ 1,0），F2(1,0) 1 分b2aæ3 ö3= 2 分2又橢圓過點 P ç1， ÷ ，è2 øa2 -1 = 3 Þ2a - 3a - 2 = 0 ，𝑎 > 0 可𝑎 = 2， 𝑏 = 3

29、 3 分2a2x2 + y243= 1 4 分橢圓的方程為數學（理科）試題第7頁，共11頁ì y = kx + mï消去 y 整理得（2）解法 1由í x2y2+= 1ïî 43(3 + 4k 2 ) x2 + 8mkx + 4m2 -12 = 0 ， 5 分直線與橢圓交于不同的兩點，D = 64m2k 2 - 4(3 + 4k 2 )(4m2 -12) > 0 ，整理得m2 < 4k2 + 3 6 分設 M ( x1, y1 ), N (x2, y2 ) ，線段 MN 的中點 A ( x0, y0 ) ，4m2 -128mkx2

30、= - 3 + 4k 2 , x1x2 =， 7 分則3 + 4k 24mk 24mk3m x0 =- 2 , y0 = kx0 + m = -+ m =，3 + 4k3 + 4k23 + 4k2點A 的坐標為æ -ö ， 8 分4mk3m,ç÷3 + 4k 2 3 + 4k2èø3m24m3 + 4k 2直線 AG 的斜率為k=，AG4mk- 1-32mk - 3 - 4k 2-3 + 4k 28又直線 AG 和直線 MN 垂直，3 + 4k 224m·k = -1 ， m =- -32mk - 3 - 4k 2， 10

31、分8kæ 3 + 4k 2 ö2< 4k 2 + 3 ，將上式代入式，可得ç÷8kèø120k >5 或k < -105 11 分10整理得k 2 >，æ5 öæö5實數k 的取值范圍為ç -¥, - 10 ÷ç 10 , +¥ ÷ 12 分èøèø（2）解法 2設 M (x1, y1), N(x2 , y2 ), A(x, y)x2y2x2y2則 1 + 1 = 1, 2

32、 + 2 = 1, 兩式相減得5 分4343數學（理科）試題第8頁，共11頁x2 - x2y2 - y2y - y3 x + x 12 = - 12 12 = -12 即x1 - x24 y1 + y2433點 A 滿足方程 y = -x6 分4k1又Q直線 AG MN 且過點G( ,0)8點 A 也滿足方程 y = - 1 (x - 1)7 分k8聯立x = 1 , y = -238k，即 A( ,- 3 )8 分28k1x2y2Q點 A 在橢圓內部+< 19 分43 13+< 1.10 分1664k 2120k >5 或k < -10510k 2 >.11 分

33、 k 的取值范圍為æ -¥, -5 öæ5 , +¥ö.12 分ç10 ÷ç 10÷èøèø注意：本題的完整解答過程可以是兩問上述解法的一種組合。21【】（1）由題意知，函數 f ( x) 的定義域為(0，+¥) ， 1 分a (lnx -1)f '( x) =+1， 2 分2xf '(1) = 1- a = -1，a = 2 . 3 分a24x（2）若函數 F ( x) = f ( x) +有兩個零點，2+ a4x- alnx

34、+x - a + 2= 0 恰有兩個不相等的正實根， 則方程4 分x即方程𝑎𝑙𝑛𝑥 + 𝑥2 (𝑎 2)𝑥 + 𝑎2 = 0恰有兩個不相等的正實根.4數學（理科）試題第9頁，共11頁設函數g(𝑥) = 𝑎𝑙𝑛𝑥 + 𝑥2 (𝑎 2)𝑥 + 𝑎2，定義域為(0，+¥) 5 分42x2 -(a - 2) x - a(2x

35、 - a)( x +1)𝑎𝑥g(𝑥) = + 2𝑥 (𝑎 2) =. 6 分xx當 a £ 0 時， g '( x) > 0 恒成立，則函數 g ( x) 在(0, +¥) 上是增函數，函數 g ( x) 最多一個零點，不合題意，舍去； 7 分x > a ，令 g '( x) < 0 ，0 < x < a ，2當 a > 0 時，令 g '( x) > 0 ，2æa öæ aö( )0,則函

36、數 g x 在, +¥上單調遞增. 8 分內單調遞減，在ç2 ÷ç 2÷èøèøx ® 0 時， g ( x) > 0 恒成立，又因為g(𝑥) = 𝑎 + 2𝑥 (𝑎 2)單調遞增，所以 x ® +¥時， g ( x) > 0 成立，𝑥要使函數 g ( x) 有 2 個正零點，則 g ( x) 的最小值 g æ a ö < 0 ， 9 分ç 2 ÷èøa2a2aaa-(a - 2)´即-aln+< 0 ，即-aln+ a < 0 ， 10