1、1復變函數與積分變換（復變函數與積分變換（B）復變函數復變函數(四版四版) 清華大學清華大學 數學教研室 編2013-2014學年第一學期學年第一學期教材教材22013年9月3日第一章 復數與復變函數3對對 象象復變函數（自變量為復數的函數）復變函數（自變量為復數的函數）主要任務主要任務研究復變數之間的相互依賴關系，研究復變數之間的相互依賴關系，具體地就是復數域上的微積分具體地就是復數域上的微積分主要內容主要內容復變函數的積分、級數、留數、復變函數的積分、級數、留數、共形映射、傅立葉變換和拉普共形映射、傅立葉變換和拉普拉斯變換等拉斯變換等復數與復變函數、解析函數、復數與復變函數、解析函數、4學

2、習方法復變函數中許多概念、理論、和復變函數中許多概念、理論、和方法是實變函數在復數域內的推方法是實變函數在復數域內的推廣和發展，它們之間有許多相似廣和發展，它們之間有許多相似之處之處. 但又有不同之處，在學習但又有不同之處，在學習中要善于比較、區別、特別要注中要善于比較、區別、特別要注意復數域上特有的性質與結果意復數域上特有的性質與結果5背景背景十六世紀十六世紀, ,在解代數方程時引進在解代數方程時引進復數復數為使負數開方有意義，需要擴大數系，使實數域擴為使負數開方有意義，需要擴大數系，使實數域擴大到復數域大到復數域在十八世紀以前，對復數的概念及性質了解得不清在十八世紀以前，對復數的概念及性質

3、了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾楚，用它們進行計算又得到一些矛盾. .在歷史上長時在歷史上長時期人們把復數看作不能接受的期人們把復數看作不能接受的“虛數虛數”直到十八世紀，直到十八世紀，J.DJ.DAlembert(1717-1783)Alembert(1717-1783)與與L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數的幾何意等人逐步闡明了復數的幾何意義和物理意義，澄清了復數的概念義和物理意義，澄清了復數的概念應用復數和復變函數研究了流體力學等方面的一些應用復數和復變函數研究了流體力學等方面的一些問題問題. .復數被廣泛承認接受，復變函

4、數論順利建立和復數被廣泛承認接受，復變函數論順利建立和發展發展. .6十九世紀奠定十九世紀奠定復變函數的理論基礎復變函數的理論基礎三位代表人物三位代表人物: A.L.Cauchy A.L.Cauchy （1789-1866)1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)K.Weierstrass(1815-1897)分別應用積分和級數研分別應用積分和級數研究復變函數究復變函數G.F.B.Riemann (1826-1866)G.F.B.Riemann (1826-1866)研究復變函數的映照性研究復變函數的映照性質質通過他們的努力，復變函數形成了非常系統的理論，通過他們的

5、努力，復變函數形成了非常系統的理論，且滲透到了數學的許多分支，同時，它在熱力學，且滲透到了數學的許多分支，同時，它在熱力學，流體力學和電學等方面也得到了很多的應用流體力學和電學等方面也得到了很多的應用. .78A 一般一般, , 任意兩個復數不能比較大小任意兩個復數不能比較大小. .1. 復數的概念復數的概念 定義定義 對任意兩實數對任意兩實數x、y ,稱稱 z=x+iy或或z=x+yi為復數為復數.復數復數z 的實部的實部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz 復數的模復數的模0)Im()Re(0,

6、222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判斷復數相等判斷復數相等9定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代數運算代數運算10z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .運算規律運算規律復數

7、的運算滿足交換律、結合律、分配律復數的運算滿足交換律、結合律、分配律.（與實數相同與實數相同）即，）即，112121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共軛復數共軛復數定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的共軛復數的共軛復數.(conjugate)12.,)( ,43,55:1212121虛部虛部及它們的實部及它們的實部求求設設例例zzzziziz 574355:21 iiizz解解411:2 ii求求例例iii 1113&

8、1. 點的表示點的表示& 2. 向量表示法向量表示法& 3. 三角表示法三角表示法& 4. 指數表示法指數表示法2 復數的表示方法復數的表示方法141. 點的表示點的表示),(yxiyxz一一對對有有序序實實數數易易見見， ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的點點一一對對有有序序實實數數任任意意點點系系，則則在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標標 此此時時，表表示示的的點點，可可用用平平面面上上坐坐標標為為復復數數.)(Pyxiyxz 平平面面復復平平面面或或平平面面虛虛軸軸軸軸實實軸軸軸軸zyx)(yxPiyxz，復復平平面面上上的的點點 點的表示：點的表示：A 數數

9、z z與點與點z z同義同義. .15.,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，點點2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長度為復數稱向量的長度為復數z=x+iy的的模?；蚧蚪^對值絕對值；以正實軸以正實軸 為始邊為始邊, 以以 為終邊的角的為終邊的角的弧度數弧度數 稱為復數稱為復數z=x+iy的的輻角輻角.(z0時時)OP向向量量16輻角無窮多：輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 時，時， 0把其中滿足把其中滿足 的的0稱為輻角稱

10、為輻角Argz的主值，的主值，記作記作0=argz.A z=0z=0時，輻角不確定時，輻角不確定. . 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計算計算argz(z0) 的公式的公式17A 當當z z落于一落于一, ,四象限時，不變四象限時，不變. . A 當當z z落于第二象限時，加落于第二象限時，加 . . A 當當z z落于第三象限時，減落于第三象限時，減 . . 2arctan2 xy 18192021oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由

11、向量表示法知之間的距離之間的距離與與點點2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指數表示法指數表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 2223引進復數的幾何表示，可將平面圖形用復數方程引進復數的幾何表示，可將平面圖形用復數方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數方（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形.例例1 用復數方程表示用復數方程表示:（1）過兩點）過兩點 zj=xj+iyj (j=1,2)的直線；的直線；（2）

12、中心在點）中心在點(0, -1), 半徑為半徑為2的圓的圓.oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0為半徑的為半徑的圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 對任意對任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，則，則D是有界是有界區域區域；否則無界；否則無界.閉區域閉區域 區域區域D與它的邊界一起構成閉區域與它的邊界一起構成閉區域,.D記記為為.,00為為半半徑徑的的圓圓內內所所有有的的點點以以為為圓圓點點表表示示以以rzrzz 45.xyIm,Re軸軸的的直直線線軸軸和和表表示示分分別別平平行行于于 zz.,.,1020201幾個點

13、幾個點只是邊界增加了一個或只是邊界增加了一個或它仍然是區域它仍然是區域幾個點幾個點如果在其中去掉一個或如果在其中去掉一個或組成組成它的邊界由兩個圓周它的邊界由兩個圓周而且是有界的而且是有界的表示一個圓環表示一個圓環rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半復復平平面面表表示示右右半半復復平平面面 zz462. 簡單曲線（或簡單曲線（或Jardan曲線曲線),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實實變變函函數數表表示示為為：平平面面上上一一條條連連續續曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：則曲線方程可記為：z=z(t)， a

14、tb.0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線.47重點重點 設連續曲線設連續曲線C：z=z(t)，atb，對于對于t1(a，b), t2 a, b,當當t1t2時，若時，若z(t1)=z(t2)，稱稱z(t1)為曲線為曲線C的重點的重點. 定義定義 稱稱沒有重點沒有重點的連續曲線的連續曲線C為簡單曲線或為簡單曲線或 Jardan曲線曲線;若簡單曲線若簡單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時，則稱時，則稱此曲線此曲線C是簡單是簡單閉閉曲線或曲線或Jord

15、an閉閉曲線曲線 . z(a)=z(b)簡單閉曲線簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線不是簡單閉曲線483. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質簡單閉曲線的性質 任一條簡單閉曲線任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區域，稱為界區域，稱為C的內部；一個是無界區域，稱為的內部；一個是無界區域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界的外部；還有一個是它們的公共邊界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內部內部外部外部邊界邊界定義定義 復平面上的一個區域復平面上的一

16、個區域 B ，如果如果B內的任何簡單閉曲線的內的任何簡單閉曲線的內部總在內部總在B內內，就稱，就稱 B為單連通為單連通域；非單連通域稱為多連通域域；非單連通域稱為多連通域.49例如例如 |z|0）是單連通的；）是單連通的； 0r|z|R是多連通的是多連通的.單連通域單連通域多連通域多連通域多連通域多連通域單連通域單連通域50作業P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）51525354& 1. 復變函數的定義復變函數的定義& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函數或逆映射反函數或逆映射5 復變函數復變函數1. 復變函數的定義復變函數的定義與實變函數定義相類似與實變

17、函數定義相類似定義定義).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 記記作作）的的函函數數（簡簡稱稱復復變變函函數數是是復復變變數數則則稱稱復復變變數數與與之之對對應應就就有有一一個個或或幾幾個個使使得得存存在在法法則則的的非非空空集集合合是是一一個個復復數數設設A 是是多多值值函函數數. .值值，稱稱多多個個是是單單值值函函數數; ;值值，稱稱一一個個若若)( )(zfwzzfwz。論的函數均為單值函數論的函數均為單值函數今后無特別聲明，所討今后無特別聲明，所討( )Gf z的定義集合，常常是平面區域（定義域）函函數數值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(

18、yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 則則令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函數數表表示示成成將將zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 則則設設oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(變換變換平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。稱稱為

19、為，而而映映象象的的象象點點為為稱稱wzzw)( 定義域定義域函數值集合函數值集合 2. 映射的概念映射的概念復變函數的幾何意義復變函數的幾何意義zw=f(z)wA 以下不再區分函數與映射（變換）以下不再區分函數與映射（變換）. .A 在復變函數中用兩個復平面上點集之間的在復變函數中用兩個復平面上點集之間的 對應關系來表達兩對變量對應關系來表達兩對變量 u，v 與與 x，y 之間的對應關系，以便在研究和理解復變之間的對應關系，以便在研究和理解復變 函數問題時，可借助于幾何直觀函數問題時，可借助于幾何直觀. .復變函數的幾何意義是一個映射（變換）復變函數的幾何意義是一個映射（變換）.所構成的映射

20、所構成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos設設解解關于實軸對稱的一個映射關于實軸對稱的一個映射見圖見圖1-11-2旋轉變換旋轉變換(映射映射)即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 見圖見圖2.( 實常數）所構成的映射實常數）所構成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez設設解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2uv(w)o.2所所構構成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ou

21、v(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函數或逆映射反函數或逆映射例例 設設 z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數或逆映射的反函數或逆映射zw 定義定義 設設 w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數值集合為函數值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個個一一個個則稱則稱z=(w)為為w=f(z)的反函數（的反函數（逆映射逆映射）.GzzfzGwwfw )()(* 當當反反函函數數單單值值時時顯顯然然有有)(zfz 一般一般是是一一一一對對應應的的。與與集集合合是是一一一一的的。也

22、也稱稱集集合合映映射射都都是是單單值值的的，則則稱稱函函數數逆逆映映射射和和其其反反函函數數映映射射當當函函數數 GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例 已知映射已知映射w= z3 ，求區域，求區域 0argz 在平面在平面w上的象上的象.3 例例?1:,122平平面面上上怎怎樣樣的的曲曲線線映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲線線判判斷斷已已知知映映射射wyxzzw 2008.10.8(第三次課)& 1. 函數的極限函數的極限& 2. 運算性質運算性質& 3.函數的連續性函數的連續性6 復變函數的極限與連續性復變函數的極限與連續性1. 函數的極限函數的極限AzfzzAzfzzzf

23、AAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000時時，或或當當時時的的極極限限，記記作作當當為為則則稱稱有有時時當當）（，若若存存在在數數設設（定義定義uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當變點當變點z一旦進一旦進入入z0 的充分小去的充分小去心鄰域時心鄰域時,它的象它的象點點f(z)就落入就落入A的的一個預先給定的一個預先給定的鄰域中鄰域中A (1)(1) 意義中意義中 的方式是任意的的方式是任意的. . 與一元實變函數相比較要求更高與一元實變函數相比較要求更高. .0zz (2) A是復數是復數. . 2. 運算性

24、質運算性質復變函數極限與其實部和虛部極限的關系：復變函數極限與其實部和虛部極限的關系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 設設定理定理1(3) 若若f(z)在在 處有極限處有極限,其極限其極限是唯一的是唯一的. .0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 則則 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(l

25、im)()(lim,)(lim)(lim000000000000則則若若定理定理2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證! !例例1.)(22在在平平面面上上處處處處有有極極限限證證明明yxiyxw 例例2.0)(時時的的極極限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(時時的的極極限限不不存存在在在在證證明明 zzzzf在在平平面面上上處處處處有有極極限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222處處極極限限不不存存在在在在yxyxzf 3.函數的連續性函數的連續性定義定義.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000處處連連續續上上點點在在曲曲線線，則則稱稱且

26、且、若若內內連連續續在在內內處處處處連連續續，則則稱稱若若在在區區域域處處連連續續在在，則則稱稱若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 處處連連續續在在設設定理定理3例例4 證明證明f (z)=argz在原點及負實軸上不連續在原點及負實軸上不連續.上上不不連連續續。在在負負實實軸軸在在負負實實軸軸上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00zzzxxPyy 故故不不連連續續。在在原原點點沒

27、沒有有定定義義， arg)()1(zzf 證明證明xy(z)ozz)0 ,(xP 定理定理4 連續函數的和、差、積、商連續函數的和、差、積、商 (分母不為分母不為0) 仍為連續函數仍為連續函數; 連續函數的復合函數仍為連續函數連續函數的復合函數仍為連續函數.0)()()()(10點點外外處處處處連連續續在在復復平平面面內內除除分分母母為為的的；在在整整個個復復平平面面內內是是連連續續由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲線線上上恒恒有有上上連連續續在在若若內內的的曲曲線線段段為為閉閉曲曲線線或或端端點點包包括括在在設設曲曲線線有界性：有界性

28、：& 1. 復變函數的導數定義復變函數的導數定義& 2. 解析函數的概念解析函數的概念2.1 解析函數的概念解析函數的概念 一一. 復變函數的導數復變函數的導數(1)導數定義導數定義定義定義 設函數設函數w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果極限如果極限 存在，則稱函數存在，則稱函數f (z)在點在點z0處可導處可導.稱此極限值為稱此極限值為f (z)在在z0的導數，的導數，記作記作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000 如果如果w=f(z)在區域在區域D內處處可導，則稱內處處可導，則稱f (z)在區域在區域D內可導內

29、可導.A (1) (1) z z00是在平面區域上以任意方式趨于零是在平面區域上以任意方式趨于零. .A (2) (2) z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) x+iy, f=f(z+z)-f(z) .Re)(:可可導導在在平平面面上上的的任任何何點點都都不不證證明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:證證明明yixxxx yixx ;0,0; 1,0zfzzfz時時取取純純虛虛數數趨趨于于當當時時取取實實數數趨趨于于當當.lim0不不存存在在zfz (2)求導公式與法則求導公式與法則 常數的導數常數的導數 c =(a+ib) =0. (zn)

30、=nzn-1 (n是自然數是自然數).證明證明 對于復平面上任意一點對于復平面上任意一點z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz -實函數中求導法則的推廣實函數中求導法則的推廣 設函數設函數f (z), ,g (z) 均可導，則均可導，則 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10處處可可導導點點外外）處處在在復復平平面面上上（除除分分母母為為

31、導導；在在整整個個復復平平面面上上處處處處可可由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 復合函數的導數復合函數的導數 ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z). 反函數的導數反函數的導數 ，其中，其中: w=f (z)與與z= (w)互為單值的反函數，且互為單值的反函數，且(w) 0.)( 1)( wzf 例例3 問：函數問：函數f (z)=x+2yi是否可導？是否可導？!0, 020, 012lim0不存在不存在時時當當時時當當 yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzz

32、fyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(處處處處不不可可導導故故函函數數yixzf 例例4 證明證明 f (z)=zRez只在只在z=0處才可導處才可導. 時時不不存存在在時時0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00證明證明A (1) (1) 復變函數在一點處可導，要比實函數復變函數在一點處可導，要比實函數 在一點處可導要求高得多，也復雜得在一點處可導要求高得多，也復雜得 多，這是因為多，這是因為z z00是在平面區域上是在平面區域上 以任意方

33、式趨于零的原故以任意方式趨于零的原故. . (2) (2) 在高等數學中要舉出一個處處連續，在高等數學中要舉出一個處處連續， 但處處不可導的例題是很困難的但處處不可導的例題是很困難的, , 但在復變函數中，卻輕而易舉但在復變函數中，卻輕而易舉.(3)可導與連續可導與連續若若 w=f (z) 在點在點 z0 處可導處可導 w=f (z) 點點 z0 處連續處連續.? 連續連續在在所以所以由此可得由此可得則則令令有有時時使得當使得當則則可導可導在在若若證明證明000000000000000)(),()(lim,)()()(, 0lim),()()(,)()()(,0, 0, 0,)(:zzfzfz

34、zfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz 2.4 解析函數解析函數1. 解析函數的概念解析函數的概念定義定義 如果函數如果函數w=f (z)在在z0及及z0的某個鄰域內處處的某個鄰域內處處 可導，則稱可導，則稱f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在區域在區域D內每一點都解析，則稱內每一點都解析，則稱 f (z)在在D內解析，或稱內解析，或稱f (z)是是D內的解析函數內的解析函數 (全純函數或正則函數）全純函數或正則函數）.如果如果f (z)在點在點z0不解析，就稱不解析，就稱z0是是f (z)的的奇點奇點.A (1) w=f (z) 在在 D 內

35、解析內解析 在在D內可導內可導. (2) 函數函數f (z)在在 z0 點可導，未必在點可導，未必在z0解析解析.例如例如(1) w=z2 在整個復平面處處可導，故是整個復平面在整個復平面處處可導，故是整個復平面 上的解析函數；上的解析函數；(2) w=1/z，除去，除去z=0點外，是整個復平面上的解析點外，是整個復平面上的解析 函數；函數；(3) w=zRez 在整個復平面上處處不解析在整個復平面上處處不解析(見例見例4).定理定理1 設設w=f (z)及及w=g(z)是區域是區域D內的解析函數，內的解析函數，則則 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (

36、z)0時時)均是均是D內的解析函數內的解析函數.)0()()()()(10的的解解析析函函數數點點外外除除分分母母為為是是復復平平面面上上函函數數；是是整整個個復復平平面面上上的的解解析析由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 定理定理 2 設設 w=f (h) 在在 h 平面上的區域平面上的區域 G 內解析內解析, h=g(z) 在在 z 平面上的區域平面上的區域 D 內解析內解析, h=g(z)的函數值的函數值集合集合 G，則復合函數，則復合函數w=f g(z)在在D內處處解析內處處解析. 調和函數調和函數 在在6 6我們證明了在我們證明了在D內的解析函數內的解析函數,其導數其

37、導數仍為解析函數仍為解析函數,所以解析函數有任意階導數所以解析函數有任意階導數.本節本節利用這一重要結論研究解析函數與調和函數之間利用這一重要結論研究解析函數與調和函數之間的關系的關系.內內 容容 簡簡 介介7 解析函數與調和函數的關系解析函數與調和函數的關系.),()00:),(2222內內的的調調和和函函數數為為則則稱稱即即（方方程程續續偏偏導導數數且且滿滿足足內內具具有有二二階階連連在在若若二二元元實實變變函函數數DyxyxLaplaceDyx 定義定義內的調和函數。內的調和函數。是是，內解析內解析在區域在區域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定

38、理證明：證明：設設f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在區域在區域D內解析，則內解析，則xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222從從而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意階階的的連連續續導導數數理理由由解解析析函函數數高高階階導導數數定定, 0 D2222 yuxu內有內有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D內滿足拉普拉斯內滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程:內的調和函數。內的調和函數。是是，Dyxvvyxuu),(),( .),(),(D,),(的的共共軛軛調調和

39、和函函數數為為函函數數內內構構成成解解析析函函數數的的調調和和在在稱稱使使得得內內的的調調和和函函數數為為設設yxuyxvivuDyxu 定義定義上面定理說明：上面定理說明：.部部的的共共軛軛調調和和函函數數內內解解析析函函數數的的虛虛部部是是實實D.),(),(),(),()(,的的共共軛軛調調和和函函數數必必為為內內在在內內解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共軛軛調調和和函函數數必必為為調調和和函函數數的的兩兩個個方方程程內內滿滿足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析內內就就不不在在則則內內的的兩兩個個

40、調調和和函函數數區區域域是是任任意意選選取取的的在在若若DivuDvu 現在研究反過來的問題：現在研究反過來的問題：.的的共共軛軛調調和和函函數數不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 處處處處不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共軛軛調調和和函函數數必必須須是是方方程程，即即還還必必須須滿滿足足及及內內解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 從從而而構構成成解解析析函函數數程程可可求求得得它它的的虛虛部部方方利利用用部部已已知知一一個個解解析析函函數數的的實實),(yxv虛虛部部),(yxu

41、實部實部0,),(,2222 yuxuDyxuD則則函函數數內內的的調調和和是是區區域域一一單單連連通通區區域域設設內內有有連連續續一一階階偏偏導導數數在在、即即Dxuyu ,dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy )()(且且),(yxdvv )(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyx.內內解解析析在在方方程程滿滿足足DivuRCxuyvyuxv .)(),()(,),( 內內解解析析在在使使得得式式所所確確定定的的則則內內調調和和函函數數在在單單連連通通設設DivuzfyxvDyxu 定理定理A 公式不用強記！可如下推出：公式不用強記！可如下推出：dyxvdxyvd

42、yyvdxxvduRC 方方程程由由然然后后兩兩端端積積分分。由由求求其其共共軛軛調調和和函函數數已已知知：方方程程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC :),(),(類似地，類似地， 然后兩端積分得，然后兩端積分得，)(),(),(),(00 cdyvdxvyxuyxyxxyA 調和函數在流體力學和電磁場理論等實際調和函數在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用問題中都有重要應用.本節介紹了調和函數與解本節介紹了調和函數與解析函數的關系析函數的關系.iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列條條件件求求解解析析函函數數例例1dyyxdxxydyyvdxxvd

43、vxyyuxvyxxuyv)2()2(22 解解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 222)2()2()2(),(220),()0,0(曲線積分法曲線積分法icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得，A )(21),(21zziyzzx )22(22222yxddxyydyxdxxdyydx dyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( 又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222

44、cyxyxixyyxzf 湊湊全全微微分分法法)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏積積分分法法xyxyxvxv 2)( 2 cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( )2()2()( yxiyxiuuivuzfyxxx )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定積積分分法法)(2()()(2iyxiiyxiiyx zi 2iczizf 222)(第八次課11月12日& 1. 解析函數的充要條件解析函數的充要條件& 2. 舉例舉例2 函數解析的充要條件函數解析的充要條件 如果復變函

45、數如果復變函數 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義在定義域域 D內處處可導，則函數內處處可導，則函數 w = f (z) 在在 D內解析內解析. 本節從函數本節從函數 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可導性，探求的可導性，探求函數函數w=f (z) 的可導性，從而給出判別函數解析的的可導性，從而給出判別函數解析的一個充分必要條件，并給出解析函數的求導方法一個充分必要條件，并給出解析函數的求導方法.問題問題 如何判斷函數的解析性呢？如何判斷函數的解析性呢？一一. 解析函數的充要條件解析函數的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(

46、),(),(),(則則可可導導在在點點設設函函數數,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于實實軸軸的的方方式式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虛軸的

47、方式若沿平行于虛軸的方式yuiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 記憶記憶yvxvyuxu 定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡稱簡稱C-R方程方程).yuxvyvxu 2008.10.15第四次課定理定理1 設設 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 內有定義，內有定義， 則則 f (z)在點在點 z=x+iy D處可導的充要條件是處可導的充要條件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在點在點 (x, y ) 可微，且滿足可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu

48、上述條件滿足時上述條件滿足時,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 證明證明（由由f (z)的可導的可導 C-R方程滿足上面已證！只須證方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導的可導 函數函數 u(x, y)、v(x, y)可微可微）. 函數函數 w =f (z)點點 z可導，即可導，即)( )()()(zfzzfzzfz 設設則則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+a

49、y+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可寫為）式可寫為因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 所以所以u(x, y)，v(x, y)在點在點(x, y)處可微處可微. （由函數（由函數u(x,y) ,v (x,y)在點在點(x,y)處可微及滿足處可微及滿足 C-R方程方程 f (z)在點在點z=x+iy處可導）處可導）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)

50、點可微，即：點可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0定理定理2 函數函數f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內解析充要內解析充要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內內可微，且可微，且 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由

51、此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的由此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的聯系聯系. .當一個函數可導時當一個函數可導時, ,僅由其實部或虛部就可以僅由其實部或虛部就可以求出導數來求出導數來. .A 利用該定理可以判斷那些函數是不可導的利用該定理可以判斷那些函數是不可導的. .使用時使用時: i) 判別判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導數的連續性，偏導數的連續性， ii) 驗證驗證C-R條件條件.iii) 求導數求導數：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我們常把復變函數看成是兩個實函數拼成前面我們常把復變函數看成是兩個實函數拼成的的, , 但是求復變函數的導數時要注意但是

52、求復變函數的導數時要注意, , 并不是兩個并不是兩個實函數分別關于實函數分別關于x, ,y求導簡單拼湊成的求導簡單拼湊成的. .二二. 舉例舉例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函數在何處可導，在何處解析：判定下列函數在何處可導，在何處解析：解解 (1) 設設z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則則析析。在在全全平平面面不不可可導導，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則則 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可導導，解解析析。故故)sin

53、(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 僅在點僅在點z = 0處滿足處滿足C-R條件，故條件，故。處處可可導導，但但處處處處不不解解析析僅僅在在02 zzw解解 (3) 設設z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則則 0022 yvxvyyuxxu例例2 求證函數求證函數.0),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw處解析，并求處解析，并求在在 證明證明 由于在由于在z0處，處，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函數，都

54、是可微函數，且滿足且滿足C-R條件：條件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函數故函數w=f (z)在在z0處解析，其導數為處解析，其導數為22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 復復常常數數）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 證明證明例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數，是一解析函數， 且且f (z)0，那么曲線族，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必

55、互相正交，這里必互相正交，這里C1 、 C2常數常數.那么在曲線的交點處，那么在曲線的交點處，i)uy、 vy 均不為零時，均不為零時，由隱函數求導法則知曲線族由隱函數求導法則知曲線族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為中任一條曲線的斜率分別為 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全為為與與yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：兩族曲線互相正交，即：兩族曲線互相正交.ii) uy，vy中有一為零時，不妨設中有一為零時，不妨設uy=0，則，則k1=，

56、 k2=0（由（由C-R方程）方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的一條是鉛直的, 它們仍互相正交它們仍互相正交.?)(,)()(2222在復平面內處處解析在復平面內處處解析取何值時取何值時問常數問常數若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 練習練習: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2& 1. 指數函數指數函數& 2. 三角函數和雙曲函數三角函數和雙曲函數& 3. 對數函數對數函數& 4. 乘冪與冪函數乘冪與冪函數& 5. 反三角函數與反雙曲函數反三角函數與反雙曲函數3 初等函數初等函數 本節將實變函數的一些

57、常用的初等函數本節將實變函數的一些常用的初等函數推廣到復變函數情形，研究這些初等函數的推廣到復變函數情形，研究這些初等函數的性質，并說明它們的解析性性質，并說明它們的解析性.內內 容容 簡簡 介介一一. 指數函數指數函數它與實變指數函數有類似的性質它與實變指數函數有類似的性質：0exp)1( zz)0exp,( xez事實上事實上xezzfxz exp)(,)2(時時為為實實數數當當)0( y)2(12(的的例例見見 , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指數數函函數數定定義義復復變變數數對對

58、定義定義.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在復平面上處處解析，在復平面上處處解析，右右邊邊左左邊邊設設事事實實上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.expzez代替代替為了方便，我們用以后為了方便，我們用以后:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zez

59、f ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22為為任任意意整整數數事事實實上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 這個性質是實變指數函數所沒有的這個性質是實變指數函數所沒有的.zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 沒沒有有冪冪的的意意義義. .它它的的定定義義為為僅僅僅僅是是個個符符號號 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式式 就就得得時時, ,的的實實部部特特別別當當到到A )Im(zie求求例例1 ie 141求求

60、例例2xeysin ie 12241)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 從從而而得得到到時時當當由由指指數數函函數數的的定定義義二二. 三角函數和雙曲函數三角函數和雙曲函數推廣到復變數情形推廣到復變數情形的正弦與余弦函數的正弦與余弦函數稱為稱為zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定義定義周周期期函函數數是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在復復平平面面