1、全通系統全通系統最小相位系統最小相位系統模擬低通濾波器設計模擬低通濾波器設計脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法模擬域頻率變換模擬域頻率變換定義：如果用Am(z)表示m 階實系數全通濾波器的系統函數，則1)()(1zAzAmm1)()()(12jezmmjmzAzAeA全通濾波器的定義全通濾波器的定義1111)(dzdzzA1da)一階全通濾波器的極點和零點jred 記：極點為：jredp1零點為：jerdz)/1 (*/11一階復系數全通濾波器一階復系數全通濾波器b)一階全通濾波器的頻率響應1111)(dzdzzAjjjdedeeA1)(1jjjdeede111)(1jeAj

2、jjjjjereereeeA11)(1)cos(1)sin(tan2)(1rr0)(sin)cos(1 (1)(2222rrrdd故一階全通濾波器的相位響應是單調遞減的。)()(1)(1)1(111)1(111zDzDzzdzdzdzzdzddzAmmmmmmmmmmmma)m階全通濾波器的極點和零點 如zk為一個極點， 則zk* 也是一個極點, 1/zk和1/zk*必為系統零點。b)m階全通濾波器的頻率響應1)()()()()()(111zDzDzzDzDzzAzAmmmmMmmm由于：1)()()(12jezmmjmzAzAeAm階實系數全通系統階實系數全通系統1)(:0jmeA由于0)0

3、(所以： m階實系數全通系統可分解為m個一階全通系統的積，由于一階全通系統相位是遞減的 m階實系數全通系統的相位非正遞減的階實系數全通系統的相位非正遞減的。2階實系數全通濾波器的相位響應(a)相位響應的主值 (b)解卷繞后的相位響應定義：零極點都在單位圓內的因果系統稱為最小相位系統。記為Hmin(z)。任一實系數因果穩定系統的H(z)都可表示為)()()(minzAzHzHm 設系統H(z)只有一個零點在z = 1/a*在單位圓外，|a|1虛軸映射到單位圓上右半平面映射到單位圓外結論： 因果、穩定的AF系統映射為因果、穩定的DF系統 和和w w 的關系的關系2121TsTsz令s=jw2j12

4、j1wwTTz)2(jtanexp()2(jtanexp(11wwTT)2(tan2 jexp(1wT)2(tan21Tw)2(tan2Tw11112zzTs)2/tan(2Tw)(jeH)(wjHpspwsww缺點：幅度響應不是常數時會產生幅度失真缺點：幅度響應不是常數時會產生幅度失真優點：無混疊優點：無混疊雙線性法設計雙線性法設計DF的步驟：的步驟：2) 由模擬濾波器的指標設計由模擬濾波器的指標設計H (s)3) H (s)轉換為轉換為H(z)11112)()(zzTssHzH1)1)將數字濾波器的頻率指標將數字濾波器的頻率指標 k由由w wk k= =(2/T)tan(tan( k/2)

5、 ) 轉換為模擬濾波器的頻率指標轉換為模擬濾波器的頻率指標 w wk解：設雙線性變換中的參數為T1)模擬低通濾波器的3dB截率為)2/(tan2ppTw2)3dB截率為wp的一階模擬BW LP 濾波器為1)2/tan(211/1)(ppsTssHw3)由雙線性變換得11) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHppp11112)1 (zz)2tan(1)2tan(1/pp例：例：用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設計一個3dB截止頻率為p的數字低通濾波器。111)(zeezHpp11) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHppp0

6、0.6100.71Normalized frequencyAmplitude例：用1階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設計一個3dB截止頻率為p的數字高通濾波器解：取T=2，則AF HP的3dB截頻為 )2/tan(ppwAF LP 的3dB截頻為 )2/tan(/1ppw滿足條件的LP AF為 1/1)(pLPssHw滿足條件的HP AF為 1)/(11)/1 ()(pLPHPssHsHwssp)2/tan(1111)()(zzsHPsHzH)1 ()1)(2/tan(1111zzzp111)2/tan(1)2/tan(1)1 (1)2/tan(1zzppp1)2/tan(1)2/ta

7、n(pp令：1)2/tan(21p則：,112)1 ()(11zzzH例例 用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設計一個中心頻率為0，3dB帶寬為D的數字帶阻濾波器。解：取T=2。設數字帶阻的3dB截頻分別為1和2，且21。1)模擬帶阻濾波器的頻率指標為2 , 1 , 0),2/tan(kkkw 2)頻率變換的參數為)2/tan()2/tan(1212wwB)(tan)2/tan()2/tan(02212120www3)模擬帶阻濾波器為202202,)(wwBssssHBSa4)由雙線性變換可得滿足條件的數字帶阻濾波器為2201202022012020)1 ()1 (2)1 ()1 (

8、)1 (2)1 ()(zBzBzzsHBSwwwwww202020201111wwww，記：BBB20201121,ww則有212020211)1 (212121)(zzBzzsHBSww2121)1 (12121zzzz202011ww2sin2cos2sin2cos020202022tan12tan10202)cos(0BB202011ww2tan2tan2tan2tan1)2tan2(tan2tan2tan112211221tantan1tantan)tan()()2/ )(tan12/ )(tan11212()()2/tan12/tan1DD00.40.5-40-30

9、-20-100Normalized frequency p=0.1 ; s=0.4 ; Ap=1dB; As=10 dB;例例 用雙線性變換及模擬巴特沃思濾波器設計一個滿足下列條件的帶通數字濾波器。 0=0.5 ; p2=0.55 ，p1=0.45 ，Ap=3dB s2=0.6 ， s1=0.4 ， As=10dB解：取雙線性變換的參數T=21)由w=tan(/2)獲得模擬帶通濾波器的頻率指標。 wp2 =1.1708, wp1 =0.8541, ws2 =1.3764, ws1 =0.72652) 確定變換式中的參數 B = wp2 wp1 =0.3168 w0 =sqrt(wp2 wp1)=1;3)由wwwwB202確定歸一低通濾波器的阻帶參數0515. 21sw0515. 22sw0515. 2sw取：4)確定歸一化BW低通濾波器 由 N=buttord(1,ws,Ap,As,s)； 得 N=2121)(20sssHL5)由變換獲得模擬帶通濾波器1448. 01