1、第九章 曲線積分與曲面積分 第一節 對弧長的曲線積分 98頁定理 ：設L參數方程為：，則，這里要求（下限小于上限）同理，設空間曲線參數方程為：,則 這里要求.直角坐標下 設曲線L的直角坐標方程為：，則同理，設曲線L的直角坐標方程為：，則補充例1：計算是上間的一段弧。補充例2：計算:為圓柱螺線，的一段弧。.習題9-1 對弧長的曲線積分 102頁.計算下列對弧長的曲線積分在第一象限部分。(2) ，L為園周，解：原式=（3）的直線段。(4) ，L為直線及拋物線所圍區域的整個邊界.解：原式yxaOBA（5）.，L為，直線及x軸在第一象限中所圍圖形的邊界.解：，圓弧.線段：，由及 得 ，, 因此 (6)

2、 ，其中為折線，各點坐標：。解：,故 原式=補充；，其中為曲線，上相應于t從0到2的這段弧.解：原式練習冊1設在面內有一分布著質量的曲線弧在點處的線密度為用對弧長的曲線積分表示：（1） 這曲線弧（2） 這曲線弧（3） 這曲線弧2： 計算，其中L為右半單位圓. 題圖解：法一:由，考察，則.;法2:由，則.法3:由，故.法4：3計算:為以點（0，0），（2，0），（0，1）為頂點的三角形 題圖4求空間曲線的弧長。解：5有一鐵絲成半圓形其上每一點處的密度等于該點的縱坐標，求鐵絲的質量。 題圖 第二節，對坐標的曲線積分 103頁設為有向曲線弧，是與方向相反的有向曲線弧，則 . 對坐標的曲線積分的計算L

3、的參數方程為：，對應于L的起點，對應于L的終點，不一定小于.且;則同理，空間曲線的參數方程為：，對應于的起點，對應于的終點，不一定小于.則 直角坐標下，設曲線L的直角坐標方程為，a對應于L的起點，b對應于L的終點，a不一定小于b. 則同理，設曲線L的直角坐標方程為：，c對應于L的起點，d對應于L的終點，c不一定小于d. 則注意:積分下限要對應積分路徑的起點，積分上限要對應積分路徑的終點.補充例子：計算為：（1）半徑為，圓心為原點，逆時針方向繞行的上半圓周。（2）從點沿軸到的直線段。解：，例子中，兩個積分的被積函數相同，起點和終點也相同，但沿不同路徑的積分值并不相等。三. 兩類曲線積分之間的聯系

4、O 其中為L上點處的切向量的方向角。為上處切向量的方向角.習題9-2 對坐標的曲線積分 109頁1. 計算下列對坐標的曲線積分：按逆時針方向繞行一周。解：令的直線段。 題圖 (3) ，L為園周，上對應t從0到的一段弧；解：原式=（4）L為及軸所圍成的第一象限內的區域的整個邊界。（按逆時針方向繞行）。解：L為直線段和弧段之和，顯然： (5) ，L為園周（按逆時針方向繞行）；（7）上對應從0到的一段弧。3 把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分，其中為：（1）在面內沿直線從點（0，0）到點（1，1）。解:(3)沿上半圓周從點（0，0）到點（1，1）。解:補充：，L為上點到點的一段弧。解：原式11補

5、充：. 計算，L是：（1） 拋物線上從點(1,1)到點(4,2)的一段弧。42解：所以：（2） 從點(1,1)到點(4,2)的直線段。解：，所以原式先沿直線從點(1,1)到點(1,2)，然后再沿直線到點(4,2)的折線；42練習冊1. 計算，L為園周（按逆時針方向繞行）；2計算，L是拋物線上從點(0,0)到點(2,4)的一段弧；解：依題意有：原式3計算上對應的一段弧。解：原式=4計算，為有向閉折線依次為點。 解：，, 5方向沿縱軸正方向，大小等于作用點的橫坐標的平方的力構成一力場，求質量為的質點沿拋物線從點（1，0）移動到點（0，1）時場力所做的功 題圖解：記曲線第三節.格林公式及其應用 11

6、0頁邊界曲線L的正向：當觀察者沿邊界正向行走時，區域總在他的左手邊。定理1設是平面上以分段光滑封閉曲線為邊界的有界閉區域,及在上有一階連續偏導數,則有格林公式,其中是區域的正向時取正號；負向時取負號.若不滿足Green公式的條件： 曲線L不封閉，則可補直（曲）線，使之封閉，再減去所補直（曲）線上的積分；（2）閉D內有“點洞”，則可作小園挖去“點洞”.補例 計算，其中L為正向圓周.解：法一 滿足Green公式條件，DDD 原式法二：直接計算：，則：二.曲線積分與路徑無關的條件定義：設是一個單連通域,若對內任意指定的兩點,B以及內從A點到B點的任意兩條不同的曲線,有,則稱曲線積分在內與路徑無關.這

7、時可將曲線積分記為.定理：設函數和在單連通區域G內有一階連續偏導數，則曲線積分與路徑無關充分必要條件是:在區域G內恒成立. 若在G內恒有成立，則曲線積分與路徑無關.這時積分路徑可以走與坐標軸平行的折線，稱折線法.即 或 二元函數全微分求積定理：設區域G是單連通域，函數在G內具有一階連續偏導數，則在G內為某函數的全微分的充要條件是在G內成立. 同時有：或者其中在G內.補例 計算，L：，逆時針方向一周.解：曲線積分滿足Green公式的條件，且， 原式其中二重積分的計算利用了對稱性.補例 證明：只與L的起點和終點有關，而與所取路徑無關，其中L不經過y軸，且求的值.解：由 ；有 ，.只要L不經過y軸，

8、曲線積分與路徑無關. 取折線路徑：. 則方法二 用直接計算法（取直線AB）由兩點式，直線AB：，則.補例 計算 ，其中是閉折線.解：ABOA為負向.補充例子：，為圓周正向.解：因為是正向閉路，有人就利用Green公式計算如下： 原式這是一個錯誤的結果.事實上，曲線為：，.故原式為什么？因、在D上不連續（原點是奇點），不滿足Green公式的條件.討論(1)也可以按如下作法來應用Green公式計算：曲線積分沿：的正向，因此上有：又，在圍成的區域D內連續. 原式討論(2)若改為不包含也不通過原點的任意閉曲線，（例如：逆時針方向）因為連續；則原式=0討論(3)若改為包含原點的任意正向閉曲線.由于包含原

9、點，由所圍成的區域是復連通域.為了除去原點（點洞），作小圓，為逆時針方向，a充分小，使得小的圓周也包含在之中. 故有，因為，所以. 即 故：包含原點在任意正向閉路上的積分等于包含原點的充分小的正向圓周上的積分.故 補例：設是沿上半圓周=1上的點（1，0）到一段弧，如圖.解一，曲線積分與路徑無關，可選線段.得=.解二設為參數，從0到得=（+cos4t）.補例 計算，其中L為逆時針方向一周. 解：因為L上；所以補充例：設是任意一條分段光滑的閉曲線，證明：證明：，有：習題9-3 Green公式及其應用 120頁1. 利用Green公式，計算下列曲線積分：（1），L是拋物線和所圍區域的正邊界.解：由G

10、reen 公式，（2）為頂點分別為（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向邊界。解：（4），為正向星形線。解：（2），其中L是四個頂點分別為（0，0），（2，0），（2，2）和（0，2）的正方形的正向邊界。解：在上連續，所以由格林公式有2 用曲線積分計算下列曲線所圍的面積.（1）橢圓：（3）圓：解：參數方程：3計算的一段弧。L4. 計算，L為園周，方向為逆時針方向. 解：，除原點外上式恒成立包含原點，因此作小圓，（a充分小）方向為逆時針方向.則5. 證明下列曲線積分在整個xoy面內與路徑無關，并計算積分值：（1）解：因為曲線積分在xoy面內與路徑無關.取路徑：(2) 解：曲線積分在整個x

11、oy面內與路徑無關.取路徑：補充：解：曲線積分在xoy面內與路徑無關. 取路徑：補充：利用Green公式，計算曲線積分：，L為在拋物線上由點(0,0)到的一段弧； 解：，所以：法2該曲線積分在整個xoy面內與路徑無關. 取路徑，故原式6. 驗證下列在整個xoy平面內是某一個函數的全微分，并求這樣的一個：（1）解：,（2）解：，在整個面內恒成立，是某函數的全微分，積分路線如圖所示，則：本題的不定積分解法：因 ， ,對y求偏導數：，而 ，故,因此，(C為常數)或：是某函數的全微分，故：(4) ； 解：,除原點外均成立.取. 則補充：； 解：,除原點外均成立.取. 則練習冊2 用曲線積分計算星形線所

12、圍的面積.解：3. 計算，L為園周，方向為逆時針方向.a題圖 解：，但法2：，.4計算的正弦曲線L5.證明在整個xoy平面內是某一個函數的全微分，并求這樣的一個：,取. 則6試確定與路徑無關，并求當時曲線積分的值。解故:原式=7求OL題（1）圖題（2）圖解：（1）因為所以的點成立，顯然L包含的區域不包含（1，0）。所以 第四節 對面積的曲面積分 121頁設曲面的方程為：在xoy平面上的投影區域為，在上有連續偏導數，在上連續，則同理，如果曲面的方程可以寫為或，則把投影到yoz平面上（投影區域為）或xoz平面上（投影區域為）則習題9-4 對面積的曲面積分 125頁3計算，為拋物面在xoy面上方的部

13、分.分別如下：（1）；（3）解:原式=4 計算： (5) ，為錐面被柱面所截的有限部分；補充：求拋物面殼的質量，此殼的面密度的大小為.(上題等價于：曲面上每點處的面密度等于該點到xoy面的距離，求曲面的質量).解:原式=練習冊1設有一分布著質量的曲面處的面密度為用曲面積分表示：曲 ;曲曲2 ，其中為平面在第一卦限中的部分； 解：故：3 計算：，其中為錐面及平面所圍城的區域的整個邊界曲面。.1記：，所以： 4計算，其中是界于平面及之間的園柱面；解：此圓柱面不能表為的形式，故不能在面投影。所以或法2：原式5計算zxy解：因為投影所以補充：計算 第五節 對坐標的曲面積分直接投影法：把曲面的表達式直接

14、代入被積表達式中，再取定有向曲面的側的符號.其中前側、右側、上側取正號；后側、左側、下側取負號.、分別為曲面在三個坐標面上的投影區域.因此，曲面積分P、Q、R三項齊全時，要分別向三個坐標面投影.有Pdydz，則把向yoz平面投影；有Qdzdx，則把向zox平面投影；有Rdxdy，則把向xoy平面投影.三 兩類曲面積分之間的聯系：如果取上側其中；，；是曲面上點處的法向量的方向余弦. 間接投影法：設曲面由方程表出，函數在上具有一階連續偏導數（是在xoy面上的投影）.由；,；則 其中為上側時取正號，為下側時取負號.同理可得把投影到yoz平面或xoz平面上的相應的公式.補例下列各計算的理由及結果是否正

15、確？為什么？其中均為球面的外側表面.(1) ，因為被積函數z是關于z的奇函數，且積分區域對稱；(2)，考慮到和的側的符號，而且在xoy平面上的投影都圓域：，故 解：對坐標的曲面積分，不僅要考慮被積函數，還要曲面的側的符號.故(1)(2)中的理由及結果是錯誤的.因為(1)只考慮了被積函數z在上有正負，即是一個雙值函數，而沒有考慮曲面有側的符號，也有正有負. 而(2)中只考慮了曲面的側的符號有正有負及相同的投影區域，而忘了被積函數是定義在上的雙值函數，z在和是不相同的.正確的計算應該是兩者同時考慮，即習題9-5 對坐標的曲面積分134頁2 計算下列對坐標的曲面積分： (1) ，是球面下半部分的下側

16、；(2) ，其中是圓柱面被平面所截得的在第一卦限部分的前側；(3)，是球面外側在的部分。解：把分成，積分曲面取上側。則：，所以：(4)，其中是長方體的整個表面的外側，。 解：把有向曲面分成以下六個部分：除外，其余四片在面上的投影為0，因此：類似的：3 把對坐標的曲面積分化為對面積的曲面積分，其中（1）是拋物面在xoy面上方的部分的上側.解:原式，取法向量，從而原式=（2）是平面在第一卦限部分的上側。解：原式=4利用兩類曲面積分之間的關系計算： (1) ，其中是圓錐面被所截下部分的下側；解：添上側，則(2) ，為連續函數，是平面在第四卦限部分的上側；解：由有，.在xoy平面上的投影為.，為上側，

17、取正號；原式=（三角形面積）.練習冊1當面內的一個閉區域時，與二重積分的關系為：2計算的上側。3計算所圍空間區域的整個邊界曲面的外側。4，是長方體的整個表面的外側。解：把分成以下六部分： 除外，其余四片在面上的投影為0，因此：類似的：所以5計算所截出部分的外側。2yxxy題圖解：記，由高斯公式有：-22xx+z=2-222xy 第六節 Gauss公式通量與散度定理1 若空間閉區域是由分片光滑的閉曲面所圍成， 函數、在閉上具有一階連續偏導數，則曲面積分化為三重積分計算. 即是外側，則右端取正。若是曲面的內側，則右端取負。若曲面不封閉，則可補面，使之封閉，再減去所補面上的積分；補充例子1：利用高斯

18、公式計算曲面積分：為錐面介于平面和之間部分的下側，是在點處的法向量的方向余弦。h解：不封閉，設：一起構成一個封閉曲面，記它們圍城的空間閉區域為，由高斯公式：，注意到：即得：而： 所以：補例2 設有連續導函數，試計算曲面積分，為的錐面與球面，所圍立體表面的外側.解：且，.原式.球坐標： 原式補例3：計算，是錐面的外側.解：補平面上側，則+封閉，且為外側. 又由，所以（奇且對稱）原式（奇且對稱）補例4 計算，是旋轉曲面 的外側.解：補上側；投影區域為圓域：.公式：原式=(奇且對稱）補例5 計算，是曲面被截部分的上側.解：下做法有錯：用Gauss公式，補平面取上側，使為封閉曲面，又有：.原式這是錯誤

19、的. 問題出在雖然成為封閉曲面，但沒有構成外側的條件. 只有取的下側，才能使+的閉曲面構成外側. 因此，前面計算的實際上是：；而 原式.習題9-6 Gauss公式通量與散度 142頁1. 利用Gauss公式計算曲面積分：（1），為立體, 外表面外側.解：滿足Gauss公式條件，且，.原式，三重積分利用了輪換對稱性.(2)，為曲面及平面所圍成空間閉區域整個邊界曲面的外側.解：曲面積分滿足Gauss公式的條件，且則（3）其中是曲面及所圍立體表面的外側；(4) ，其中是上半球面的上側；解:添下側，則原式（5），是曲面被截部分的下側.解：用Gauss公式，補平面，取上側，使為封閉曲面，又有：.原式(3) 為上半球體的表面外側；原式= (4) 是界于和之間的園柱體的整個表面外側；解:原式=練習冊1計算為平面所圍成立體表面的外側。 題圖解：由高斯公式：2計算外側的上半部分題圖3 設有連續導函數，試計算