1、第二章 群表示理論基礎§2.1 群表示【定義2.1】（線性空間） 數域K（實數域R或復數域C）上的線性空間V是一個向量集合，；該集合定義了加法和數乘兩種二元運算，且集合V在加法運算下構成交換群，滿足：數乘運算KVV滿足：【定義2.2】（線性無關和維數）線性空間V中，任意n個向量，其線性組合當且僅當時成立，則稱此n個向量線性無關，否則它們線性相關。線性空間中線性無關向量的最大個數m，稱為空間V的維數，記為dimV=m。【定義2.3】（基矢） 設V是n維線性空間，則V中任意一組n個線性無關的向量，稱為空間V的基矢，記為。空間中任意矢量均可表示為n個基矢的線性組合，。矩陣形式：【定義2.4

2、】（線性變換） 線性變換A是將V映入V的線性映射，滿足：線性變換的矩陣形式：采用列矢量記法故有矩陣形式：若，則稱線性變換A非奇異，A有逆變換A-1，A-1=A-1。【定義2.5】（線性變換群）定義兩個變換的乘法為兩個線性變換的相繼作用，則n維復線性空間V上的全部非奇異線性變換構成的集合在此乘法下構成一個群，稱為n維復一般線性群，記為GL(V , C)，其子群L(V,C)稱為V上的線性變換群。【定義2.6】（群表示）設有群G，如果存在一個從G到n維線性空間V上的線性變換群L的同態映射A，則同態映射A稱群G的一個線性表示，V為表示空間，n稱為表示的維數。其中g0為G的單位元，E為L中的恒等變換。&

3、#183;系1 在表示空間V選一組基，線性變換群可化為矩陣形式，故群在表示空間V上的線性表示，亦可定義為G到矩陣群的同態映射A。·系2 若群GG，則G的表示也是G的表示。·系3一個群G原則上可有無限多的表示。【定義2.7】（忠實表示）如果群G到線性變換群L的映射A為同構映射，則該表示稱為忠實表示。群表示理論研究抽象群的矩陣表示的結構、類型等規律。例2.1 任何群G恒與1同態，1是任何群G的表示，稱為一維恒等表示。例2.2 三個簡單的二階變換群的表示。其矩陣形式即為它們的表示。取表示空間為R3，基矢：。為對xy平面的反演。群本身是定義在R3空間上的線性變換，故其本身是自己的一

4、個表示，選擇一個具體基矢可以將其矩陣化：故表示矩陣為：，表示矩陣為：，其表示為： 以上三個群均是R3上的變換群，故其本身就是他們的表示（忠實表示）。他們還可以有其他的表示。如空間反演群有表示，如：它實際上是三個一維表示的合成：或者說一個二維恒等表示與一個一維非恒等表示的直和。，均是互相同構的二階循環群，具有相同的群表示。他們兩個最基本的表示為：, a分別為。例2.3 D3=群的表示。D3有一維恒等表示，；D3與Z2同態：故D3有非恒等一維表示：D3為R3的線性變換群，其矩陣形式本身即為它的一個表示。表示空間V 為R3，取基：同理，可得表示矩陣D3在x,y,z的二次齊次函數空間中的表示，空間的基

5、為：任何二次齊次函數可表示為以上基函數的線性組合。三維空間中的線性變換g對向量r的改變，同時將對定義在該空間中的標量函數作變換，即g對應一個標量函數變換算符，即。由容易發現，。可以驗證變換群與算符做成的函數變換群同構。對于，有：故, 故在函數線性空間上的矩陣形式即為群的一個表示。故可得Pd的表示矩陣：其他群元的表示矩陣可以同樣得到。例2.4 設粒子的哈密頓量H的對稱群為，以粒子某一能級的簡并波函數為表示空間，求G的群表示。解：所有使哈密頓算符H(r)不變的變換形成哈密頓算符群G：，與變換對應有標量函數變換算符。設H的本征值為En的，對應本征數為u為簡并度指標，簡并度為fn，有：。這些簡并波函數

6、的任意組合均是相同本征值下的本征函數。可以檢驗，也是H的本征函數：故En能級的所有簡并波函數構成哈密頓算符群不變的線性空間。在簡并本征函數空間中變換算符的矩陣形式即為哈密頓算符對稱群的表示。記的表示矩陣為，具體形式由下式確定： §2.2 等價表示、不可約表示和酉表示一個群的表示原則上可以有無窮多個，它們可以分解或約化為有代表性的最基本表示的組合。【定義2.7】（等價表示）設群G在表示空間V取基下的表示為，在另一組基下的表示為，若，X為兩組基之間的變換，有：，detX0 則稱表示等價，或為A的等價表示。·系1兩個用相似變換相聯系的表示互相等價：或，(detP0), A和B等價

7、。等價表示只是不同基的選擇而已，故重要的是尋找不等價的表示，這樣就產生了尋找不等價表示的問題。【定義2.8】 （可約表示） 設A是群G在表示空間V上的一個表示，V如果存在G不變的非平庸子空間，是子空間W上的變換群。此時稱A是G的一個可約表示。·系1 設是子空間W的基，則取空間V的一組基：，使得。在此基下表示矩陣具有如下形式：m列 n-m列為m´m矩陣，為m´ (n-m) 矩陣，為矩陣。子空間W中矢量的形式：（t表示轉置，成列矩陣），X經過變換仍然在子空間中： 。·系2可以驗證在變換下不具有封閉性：。·系3 另外，仍然具有相同的結構，故、均構成新

8、的群表示。·系4 對于有限群，上述階梯矩陣都可以通過相似變換化為對角分塊形式。【定義2.9】(線性空間的直和)設線性空間V有子空間W1和W2， W1W2 =0。對任意，可找到，并唯一的將表示為：，則稱線性空間V是子空間W1和W2的直和，記為。【定義2.10】(完全可約表示)設群G的表示空間V可以分解為子空間W1和W2的直和，且W1和W2都是A(G)不變的(即A(G)是W1和W2上的變換群)，則稱G在V上的表示為完全可約表示。·系1·系2 總可以選一組基，使和分別為子空間W1和W2的基，在此基下表示矩陣具有如下形式：m列 (n-m)列·系3若表示A有一個等

9、價表示具有對角形式，則A為完全可約表示。·系4 對于有限群，可約表示的矩陣總可以化為分塊對角形式，因而一定是完全可約的。對于無限群，存在可約而不完全可約表示。這樣的表示雖然存在群不變非平庸子空間，但無論如何選擇，其補空間都不是群不變的，這樣的表示仍然稱為可約表示，是不能完全約化的可約表示。如，一維平移群T：， 它是無限阿貝爾群，存在不能完全約化的可約表示：。【定義2.11】 (不可約表示)設A為G群在表示空間V中的表示，若V不存在A(G)不變的真子空間，則稱A是G的不可約表示。·系1 G的不可約表示矩陣不具有對角或三角形式。·系2 一般地，G的表示空間V總可以表示

10、為不可進一步分解的G不變子空間的直和，而G在V上的表示可以寫為G在這些不可分解的子空間上的不可約表示的直和：其中整數mp為不可約表示Ap在表示Ap中出現的次數，稱為重復度。·系3 群的任何表示都可以寫成其不等價不可約表示的直和，故尋找一個群的所有不等價不可約表示有重要意義。【定義 2.12】 （內積和內積空間）設V是數域C上的線性空間，將V中兩個有序向量x，y映為復數域C上的一個數，滿足：，有； （共軛），則稱為的內積，而定義了內積的線性空間稱為內積空間。內積空間中向量的長度或模：；向量垂直若；·系1 證：·系2 任何內積空間總存在正交歸一基，。證：設是V的一個基

11、，用施米特正交化方法可以構造正交歸一基。作 有又作 有：，一般地，可令 ，可得正交歸一基：（）。【定義2.13】 （幺正變換）設U是內積空間V上的線性變換，若對任意U保持x和y的內積不變，即：，則稱U為V上的幺正變換。·系1 幺正變換將正交歸一基變為另一組正交歸一基：。·系2記U+為幺正變換U的共軛變換，則其逆變換U-1=U+，U+U=E為恒等變換。證：內積空間上的線性變換A的共軛變換為A+，有：故有，由于x，y任意，故有U+U=E，U-1=U+。·系3在正交歸一基下，線性變換U的共軛變換U+的矩陣即酉矩陣有：U+=為U的轉置共軛U*t(即)。（對于幺正變換有：）

12、【定義2.14】（群的酉表示）群G到內積空間V中的幺正變換群A上的同態映射，稱為群G的酉表示。·系1 群G到幺正矩陣群的同態，也是群G的酉表示。 定理2.1設V是內積空間，W是V的子空間，定義，為V中所有與W中矢量垂直的向量的集合，則有稱為W的正交補空間。證明：設W的一個正交歸一基為，可證與W中的任意矢量垂直：因 ，對成立，故，從而；又若即則有：. 定理2.2若群G的酉表示A是可約的，則A是完全可約的。證明：設表示空間為V，G的表示A可約，則V有G不變的子空間W。由定理2.1有：為W的正交補空間；對；而W是G不變的，故故：即或故也是G不變的子空間。因此A是完全可約的。適當選擇正交歸一

13、基A具有如下形式：。·系1. 若W，中仍然有G不變的子空間，則上述分解可以繼續進行下去，A最終可表示為：。其中整數為不可約酉表示表示中的重復度。定理2.3有限群的每一個表示都有等價的酉表示。證明： 設，為群G的表示若能找到相似變換X，對有，使為酉矩陣即 則定理得證。（ + 表示矩陣的轉置共軛）構造如下矩陣 :為顯然為厄密矩陣：W+ = W，并且有如下性質： = = = 可以檢驗如上的厄密矩陣可以表示為 ，X為非奇異矩陣：首先厄密矩陣總可以找到酉矩陣U使之完全對角化為，其對角元為實數，即：，并且可以發現為正定矩陣：故正定對角矩陣可以表示為形式，其中D也是正定對角矩陣。由可得：，。可以驗

14、證，X即為所尋找的使表示A化為酉表示的相似變換：令 則=故 為酉表示。 得證。§2.3 群代數和群代數正則表示【定義2.15】（代數或線性代數）在數域K上的線性空間D中，若定義了乘法，滿足：（封閉性）（加法分配律）乘法和數乘滿足：則稱D為代數或線性代數。若還滿足結合率：則D稱為結合代數。例2.5 全都復矩陣集合，在矩陣乘法下構成結合代數。【定義2.16】（群空間）設群，以G的群元為基作復數域C上的線性空間VG，即：，滿足：，其中，稱VG為群空間。【定義2.17】（群代數）按照群G中群元的乘法，可以定義群空間VG中矢量的乘法：，定義(上述過程應用了矢量在上的分量等于在上的分量，故VG構

15、成代數，可以驗證VG滿足結合律，故VG構成結合代數，記為DG，代數的維數等于群G的階。【定義2.18】 （群代數空間中的正則表示）取群G的群代數空間DG為群G的表示空間，定義G到DG上的線性變換的映射為線性變換定義為：，令故映射L保持了群的乘法結構不變,為同構映射, L(G)稱為群G的左正則表示。·系1. 若定義G到DG上的線性變換的映射為：，線性變換定義為：, 同態映射R稱為群G的右正則表示。·系2. L(G)和R(G)為群的忠實表示。例2.6 二價循環群的正則表示。, 群代數Dz2的基底為e,a, 則:， 有 ，有正則表示L(Z2)可約：取相似變換矩陣：, 具對角化形式

16、。例2.7 正三角形對稱群D3的正則表示：群代數的基：e,d,f,a,b,c,線性變換L（d）,對基底的作用：L(d)的表示矩陣：同理可求出其他群元的左正則表示矩陣。群的代數空間正則表示相當于對代數空間的基進行變換§2.4 群函數和群函數空間正則表示【定義2.19】 （群函數）G為一個群，以G為定義域、以復數域C為值域的函數稱為群函數：如：。群函數的例子如群表示矩陣的矩陣元。【定義2.20】（群函數空間）對，定義群函數，以此n個函數為基，可以構造復數域C上的群函數空間V(G)：，并且滿足：；。稱V(G)為群函數線性空間，簡稱群函數空間。·系1 群函數空間的基函數fg1,fg

17、2,，fgn線性無關。則，故基函數fg1,fg2,，fgn線性無關。·系2,。·系3定義基函數乘法可以驗證如此定義的群函數矢量乘法滿足代數條件： 數乘：故V(G)構成結合代數，記為D(G)·系4 群代數DG與群函數代數D(G)代數同構（不同于群的同構）。同構影射：滿足：，故，有，（）因此，兩個代數結構相同，如有關于代數DG上的定理，則群函數代數D(G)中必有相同的定理成立。【定義2.21】(群的群函數代數空間正則表示)取群G的群函數代數D(G)為表示空間，定義G到D(G)上的線性變換的映射，為：，定義線性變換：又有：故映射為同構映射，為群G的表示，稱為群G的群函數

18、空間左正則表示。系1 若定義G到D(G)上線性變換的映射為： 且， 稱為群G的群函數空間右正則表示。·系2. 由于DG與D(G)代數同構，G在DG和D(G)上的正則表示的矩陣形式相同。例2.8 D3的群函數空間區別表示：D3 = e, d, f, a, b, c群函數空間的基：fe , fd , ff , fa , fb , fc表示矩陣：【定義2.22】(群函數空間的內積)群G的群函數空間D(G)，定義其基底的內積：, n為G的階。空間中矢量的內積定義為：·系1為該內積下的酉變換。故(G)為酉表示。同理可證(G)也是酉表示。§2.5 有限群表示理論關于有限群的不

19、可約表示，有如下舒爾引理。定理2.4 (舒爾引理一)設群G在有限維向量空間VA和VB上有不可約表示A和B，M為將VA映入VB的線性變換，若對任意gG, 滿足：則有：（1）當M0時，表示A和B必等價；（2）當表示A和B不等價時，必有M0。證明：（1）假設M0，證明A和B等價(即證M為一一映射)：作VA的子空間：， 為M的0空間；N是G不變的：，即N構成VA中G不變的子空間。 由于A是G在VA上的不可約表示，故VA無真不變子空間； 又由于M0，故必有N0，為零空集。 由N0可證，M是從VA到VB的單射： 反證：若 x1，x2VA，x1x2， 且 Mx1 = y, Mx2 = y， 則 M(x1 -

20、 x2)=0， 則 x1 - x2N 即 N 不為零空間，這與N0矛盾 故 M是VA到VB的單射； 還可以證明M也是VA到VB的滿射： 作VA在M作用下的象集合R：R是G不變的：，即R構成VB中G不變的子空間。而B是G的不可約表示，故VB無真不變子空間； 又由于M0，故必有R = VB故 M是VA到VB的滿映射。綜上所述：M為雙射，故存在逆射射M1，故表示A和B等價（2）當表示A和B不等價時，M0 反證： 若M0，則由（1）知A和B等價與已知條件A和B不等價相矛盾m故M0。證畢 定理2.5 (舒爾引理二)設是群G在有限維復表示空間V的表示，若有V上的非零線性變換或矩陣M滿足：，（1）若A為不可

21、約表示，則僅當（E為恒等變換，）時上式成立。（2）反之，若有的線性變換或非零矩陣與所有對易，則A必為可約表示。(1的逆否命題)證明： 復線性變換M至少存在一個本征矢y0，有則可用M的所有本征矢構造V的子集：可證是G不變的子空間：, 有 即 故為V中G的不變子空間 而A為V上的不可約表示表明V無真不變子空間 而，故： 即： ， 故有 證畢。舒爾引理的逆命題也成立：系1. 除零矩陣外，若僅有單位矩陣的常數倍矩陣與群表示的所有矩陣對易，則該表示為不可約表示。系2. 若群的表示為可約表示，則一定可以找到非零的、不是單位矩陣的常數倍的矩陣與所有群元的矩陣對易。（系1的逆否命題）只需證明系2即可： 假設群

22、G的表示為可約表示，則一定存在一個幺正矩陣S，使全部變成具有相同塊對角結構的矩陣：為分塊對角矩陣，例如：，則可做一矩陣,其中、為與、維數分別相同的單位矩陣，有：，即，上式左邊乘上S，右邊乘上S的逆，有，取，顯然不具有單位矩陣的常數倍形式。系2得證。定理2.6 群表示正交性定理 有限群的所有不等價不可約酉表示記為，其維數分別為。則由表示矩陣Ap構成的群函數空間矢量或表示矢量有如下正交關系：證明：（一）的情形，即證由同一表示構成的兩矢量的內積：證： 用任意Sp維非零矩陣D，構造矩陣如下C：(1)用表示矩陣Ap(gj)從左邊作用于C： (2)即，由于AP為不可約表示，由舒爾引理二知，必有：(3)E為

23、單位矩陣，為與D有關的常數。取D的一種特殊形式：除外，所有其他元素，則由（1）得C的矩陣元 （利用了（3）式）（4）即：（5）為了定出與上面所取的特殊形式的D相對應的，求矩陣C的跡： (5)式中令，并對u求和：故： (6)由（5）和（6）得：(7)由于Ap是酉表示，故有：(8)由（7）并利用（8），最后得：（二）的情形，即證由兩不同表示、構成的兩矢量的內積：證：用任意非零矩陣，構造矩陣用表示矩陣右乘，得：由于Ap與Ar為不等價的不可約表示，由舒爾引理一，有；取一種特殊形式：除外，所有其他元素則的矩陣元:綜合證明（1）（2），正交定理得證。系1 不可約表示矩陣元的完全性關系：由群表示正交性定理有

24、：上式兩邊乘上，得： 兩邊對、求和得：上式成立必須滿足：定理2.7群表示完備性定理設Ap（p = 1, 2, , q）是有限群的所有不等價不可約酉表示，其維數為sp, 則所有表示矢量:()在群函數空間D(G)中是完備的。證明：設表示AP是維數是由正交性定理：，故群函數矢量線性無關，可以它們為基構成群函數空間D(G)的一個子空間，記為V（G）。 V(G)是G不變的：取右正則表示，有：故子空間V(G)是G不變得。而正則表示為酉表示，故是完全可約的，D(G)可分解為：為V的正交補空間。可以證明 僅含有零向量:反證：，它也是G的不變子空間。設的基底為，G在其上的表示為Ar，則：，另一方面，有：有：，兩

25、邊作用于單位元e有：故有：，于是有上式可見，不管Ar是可約表示還是不可約表示，中的基均是不可約表示矢量的疊加，因為即使是可約表示，其表示矢量也可以表示為不可約表示矢量的疊加。于是這與矛盾，故必有：，所以D(G)=V(G)， 即：構成群函數空間D(G)的完備基。，可表示為：。系1勃恩賽德 (Burside) 定理有限群的所有不等價不可約酉表示維數的平方和等于階的群，即：系2個表示矢量載荷一個右正則不可約表示AP:證明：表示矢量, 用右正則表示作用：故當u取遍1，2，sp時，有組基，它們載荷的都是不可約表示AP。同樣可以發現，組基載荷的都是左正則不可約表示A*P。系3 顯然群的正則表示包含了群的所

26、有不等價不可約表示，正則表示按不等價不可約酉表示可約化為：，。§2.6群表示的特征標理論【定義2.23】（特征標）設A是群G的一個表示，則群表示的特征標定義為：。·系1等價表示的特征標相同,因。·系2群G中即相互共軛的表示其特征標相同。則：·系3 特征標是類函數。設是G中含元素的一個類:以上定義和性質也適用于無限群，下面討論有限群表示的有關定理。定理2.8（特征標第一正交定理）設有限群G=g1, g2 , gn有q個不等價不可約表示AP（P=1，2，q），AP的維數為SP，表示AP(gi)的特征標為，則特征標滿足以下正交關系：若令：，則正交可表為內積形式

27、：。證明：有限群G的不可約表示AP，Ar必有等價的酉表示，由正交定理2.6 有：上式中取u=，u=v并分別對u，u求和，有：, 正交關系成立。·系1因特征標是類函數，設群共有個類k1, k2, kq,類元素個數分別為,則正交關系可以表述為:·系2有限群的不可約表示的特征標矢量內積為1，因為。·系3有限群可約表示的特征標內積大于1。證明：設群G有可約表示，則：為G的不等價不可約表示。對上式兩邊求跡有：有·系4 可約表示的約化。表示A中不可約表示出現的重復度mp為：。由及易得上述結果。 定理2.9（類函數空間完備性定理）有限群的所有不等價不可約表示的特征標生

28、成的群函數矢量，在類函數空間中是完備的。證明：所謂類函數即以群的一個類中的不同元素為自變量時，具有相同函數值的群函數。即設群G的所有不等價不可約酉表示為Ap(p=1,2,q)，群函數空間中任意群函數可用AP生成的群函數矢量展開，即：，。若是類函數，則有：。可以驗證任意類函數都可以表示為不可約表示特征標矢量的疊加。由類函數滿足，得：即任意類函數都可表示為不等價不可約表示的特征表生成的群函數矢量的線性組合，構成類函數空間的完備基，而類函數空間的維數為q即群的不等價不可約表示的個數。·系1有限群的不等價不可約表示的個數等于群的類的個數。證：類函數空間中獨立的類函數的個數等于類的個數q,設G

29、有類：k1，k2，則可定義個獨立的類函數，i=1，2，q:, 顯然線性無關，因此這q個類函數構成類函數空間的基，類函數空間的維數為q；而定理2.9 表明類函數空間的維數為不等價不可約表示的個數q，故必有q = q，即群的不等價不可約表示的個數等于該群類的個數。【定義2.24】 (特征標表)把有限群G的所有不等價不可約表示的特征標，作為類函數給出一個表，稱為G的特征標表，表中的行為一個不可約表示中不同類的特征標，列為群的一個類 ki在各不等價不可約表示中的特征標，具有如下形式：n1k1n2k2nqkqA1A2Aq習慣上特征表的第一行為一維恒等表示的特征標，第一列為自成一類的單位元的特征標。所有特

30、征標形成一個q×q方陣，特征標表中的行遵守第一正交定理。定理2.10 （特征標第二正交定理）證明：第二正交定理表明特征標表中的列也滿足正交關系。由第一正交定理可以得到第二正交定理：第一正交定理：；定義q×q矩陣F，其矩陣元為：則第一正交定理可用F矩陣表示為：，因為例2.9n階循環群G=a, a2,an=e的不等價不可約表示。n循環群是Abel群，每個元素自成一類，共有n個類，對應有n個不等價不可約一維表示。元素a的表示A(a)易求出：由于n個不可約不等價一維表示中恒有 A(e) = 1, 有：，故有：由群元a的一個一維表示AP(a)，可以得到群的第P個表示：特例：4階循環群

31、的表示為：例2.10 求D3群的特征標表。D3=e , d , f , a , b , c，D3有三個類：e，d , f，a , b , c，故有三個不等價不約表示。總有一維恒等表示：A（e）=A(d)=A(f)=A(a)=A(b)=A(c)=1；D3與Z2群1，-1同態，同態核為, 故有一維非恒等表示為：A2(e)=A2(d)=A2(f)=1，A2(a)=A2(b)=A2(c)= 1由12+12+=6知S3=2，即還有一個二維不等價不可約表示。利用特征標的正交關系可以求出特征標表：由第二正交定理：第一，二列正交：1×1+1×1 + 2×(d)=0 ，得(d)=

32、1第一，三列正交：1×1+1×（1）+2(a)=0 ，得( a )=0可以驗證行之間滿足正交。以xy平面為表示空間，以i , j為基，可得D3的二維表示：，。可以驗證上述表示是不可約表示。 §2. 7新表示的構成由前述理論知，用群的不等價不可約表示以任意的方式做直和可以構成群的新表示。同樣群的新表示還可以直積的方式構成。【定義2.25】 （群表示的直積）設群G有兩個表示A和B，作表示矩陣A(g)和B(g)的直積：集合C=C(g)稱為群表示A和B的直積。若A為mm矩陣，B為nn矩陣，則C為mnmn矩陣。采用雙指標可以用A和B的矩陣元表示出C的矩陣元：定理2.11群表

33、示的直積構成群的一個新表示。證明：故C也是群的表示，稱為A和B的張量積表示。·系1C的的特征標：。·系2 C表示特征標的內積：，它不一定等于1，故C一般是可約表示。·系3 直積表示的表示空間是表示A和B的表示空間VA和VB的直積，直積空間的基底為空間VA的基底和VB的基底的所有組合。變換關系為：·系4 在量子力學中，當所考慮的體系包含多個全同粒子時，就需要取同一個群的兩個表示做直積。如，氦原子這樣的雙電子原子中，若單電子的波函數按群的不可約表示變換，則兩個電子的體系的波函數將按此群的直積表示變換（忽略電子間相互作用）。定理2.12（直積群的表示）設群的直積，A、B分別是群G1、G2的表示，令C(g1g2)= A(g1)B(g2)，則C構成直積群G的表示。證明：，有：保持了群的運算結構不變，C為群G的表示。·系1 C的特征標：·系2 C的特征標的內積：設當A、B分別為G1、G2的不可約表示時，C=AB也是G=G1G2的不可約表示。·系3 直積群共軛類由G1和G2