1、從“平均分”談起任景業有人說數學是整理宇宙秩序的科學，說到“整理” ，談到“秩序” ，一定離不了規則。 人們稱之為基礎知識的定義，定律， 法則，公式都體現了數學各種不同的規則。它們對于數學來說尤如一座大廈的基石。有了它們，我們才會看到數學大廈的壯觀和美麗。一堆東西幾個人分，不能誰想要多少就拿多少，人們常常是把這些東西“平均分”。把這一堆東西分成若干份，每一份分得數量都相等。這“平均分”體現的就是一種分配時的 “平等”的規則。“平均分”，讓我們理解了除法運算和分數的意義。 數學是研究數和形的學問， “數”中的平均分，是我們很熟知的，那么“形”中的平 均分呢？我們先從等分圓、正多邊形作圖說起。等分

2、圓與作正多邊形是一致的。 畫一個圓，在圓上任取一點，半徑不變在圓周上依次畫弧，得到六個點，順次連接這 六個點，便得到正六邊形。間隔連接三個點，便得到正三角形。作兩條互相垂直的直徑，在圓上得到四個點，順次連接這四個點，又得到正四邊形。 五邊形的作法步驟多一些，限于篇幅，在此從略。希臘時代的數學家已經知道如何用“尺規”作出正3、4、5、6、8、10、15 邊形的方法，在已做出的正多邊形的基礎上， 利用尺規很容易再構造出邊數是原來正多邊形邊數的兩 倍的正多邊形。但是在高斯之前，人們始終沒有利用尺規做出7、9、11、13 邊形。高斯對前人的工作做了歸納，發現人們做出的多邊形的邊數都是2n ( n= 2

3、,3,4 )，2n 3, 2n 5, 2n 15, (n = 1,2,3，)上面這四種情形中，只出現了質數 2,3,5 以及它們的乘積。于是高斯推斷能用尺規做 出的圖形應當與質數有關， 或著是某些特殊的質數， 或者是這些質數的乘積。 但是 7 是質數， 為什么人們用尺規做不出呢？他突然意識到， 探討正多邊形作法不能限于幾何領域， 要考慮 邊數，對數字進行分析，于是他越過了幾何，想到了費馬數。n費馬曾斷言：形如 22 + 1 (n = 0,1,2,3，)的數是質數。但歐拉發現費馬錯了。當 n=5時，225 + 1= 232 = 641 X 6700417，不是質數。在人們都認為費馬數沒有什么價值

4、的時候，高斯意識到費馬數可能是能用尺規做出的正多邊形的邊數，他由此產生了靈感，將注意力跳過7,9,11,放在第二個費馬數 17,研究正17邊形的作圖問題。1796年3月30日，離他19 歲生日還有整整一個月，他成功地用尺規把圓十七等分，作出了漂亮的正十七邊形！ 這一天， 他做出決定，終生獻于數學！高斯在正十七邊形作圖的基礎上，又給出了解決這一類問題的結果一一高斯定理：一個正多邊形可以用圓規和沒有刻度的直尺作圖的充分必要條件是，它的邊數等于m2 P1 P2 Pn ,這里m= 0,1,2，p1 , p2 ,p n是形如22 + 1的費馬數。并創造性地把幾何問題與代數問題統一起來，開創了對“等分圓周

5、”的研究，求出了分圓方程x17 仁0的17個解，得出分圓方程的一些重要結論1O在高斯探討正七邊形的作圖中，我們看到一個一個的規則，尺規作圖，直尺不能有刻n度；費馬數，在 22 + 1形式下，符合這一規則的一族數；畫正十七邊形，需要等分圓周, 使多邊形符合各邊都相等，各角都相等，諸多規則造就了數學令人神往而敬畏的大廈， 也 吸引了那么多人如此癡迷和狂熱。 高斯在等分圓周、作出正十七邊形的過程中，追求數學解 決方法的統一性，總是由一個問題的解決，促進一大類問題的解決，找到統一的方法， 處理一批問題。而這里的統一，分類，無不也是在一個明確的分類規則下進行， 都是從“平均分” 的規則引發的。當然，高斯

6、與別人的高明處還在于，他不是對一些規則的死守，他從這些規 則的變通中找到解決問題的通途，幾何與代數，質數與費馬數，幾何作圖與代數方程，他竟然能沖破這么多規則的限制和束縛，引我們看到數學嚴謹后的精彩畫卷！曲線形的“圓”與“平均分”讓我們看到了數學的精彩。直線，以及二維的正方形，三維的立方體與平均分的“聯袂”將上演怎么的一幕？我想到度量單位。用一條線段為標準去度量一個物體的長度時，如果經過有限次的度量不能量盡，得到的值不是這條線段的整數倍，那么我們會把這一條作標準的線段平均分，如平均分為十份，用更小的單位去量，如果仍然不能得到更小單位的整數倍，那么，我們還需要將平均分之后 的線段再平均分，。這是長

7、度單位的發展。如下圖：I11)11 111 1 111111 111 1 11.L J 1 丄 1 1 LLJ 1111| Lh 1J L ft J XI： fl H 1 1 i I 1 i II ilL 11 i ii 1 h 11 it iln mi i A i fii 11 ri I l*i il1 hi i in i iii 11 Li 11LlLilh m Lu i u 1r11 1rM,'TuT1ff!T1用一個正方形為標準去度量一個物體的面積時，如果經過有限次的度量不能量盡，得到的值不是這個正方形的整數倍，那么我們會把這作標準的正方形平均分，如平均分為十份,用更小的單位去

8、量，如果仍然不能得到更小單位的整數倍，那么，我們還需要將平均分之后的小正方形再平均分，。這是面積單位的發展。以一個小立方體為標準度量一個三維空間的體積與上面的類似。由此，我們可以看到平均分怎樣把我們從有限的世紀引向無限，從粗放引向精細在前文中，對于平均分我們主要是從分的對象，由分物抽象到數，由曲線的圓，到了直線，由一維的直線到了二維的平面，至直到三維的空間，對于分多少，我們只在平均分圓周時有過介紹，可以三等分，四等分，十七等分等。對于度量單位的說明，我們是說十等分，這是因為我們平時多是用的十進制，如果我們將規則作一調整，改為平均分為二十份也不無不可，只不過哪時的單位進制是二十進制而不是十進制了。高斯分圓我們看到高斯在規則的破與立，規則的摒棄與建立中的創造性，在單位的進制方面，我們同樣也不要意為天下的進制都是十進制。做一下變通也會你會有新的發現與創造。社會沒有規則就不會安