1、關于子空間直和的教學思考和探究2012年2月第28卷第1期江蘇教育學院(自然科學)JoumMofJiangsuInstituteofEducation(NaturMSciences)Feb.,2012Vo1.28No.1關于子空間直和的教學思考和探究徐新萍(江蘇教育學院數學與信息技術學院,江蘇南京210013)摘要子空間的和也是子空間,而直和是子空間和運算的一種特殊情形,是高等代數課程的重要內容之一,本文結合筆者多年的教學體會,提出關于子空間直和教學及應用的一些思考與探究.關鍵詞子空間;直和;應用中圖分類號0151.2文獻標識碼A文章編號16711696(2012)01002003子空間直和理

2、論是數學專業高等代數課程的重要內容,其中蘊含的線性空間分解思想為線性變換對角化和標準對角化提供了有力的理論依據.子空間直和理論無論在高等代數課程或為后繼的近世代數課程中都是很重要的內容.由于這部分內容比較抽象,且判斷命題敘述有多種變式,應用內容又在該教學單元之后,導致在教學中學生理解困難,掌握不理想.本文結合筆者多年的教學經驗,對于子空間直和的教學及應用進行了思考與探索.一,關于子空間直和的教學策略子空間直和的概念較為抽象,為了便于學生理解和掌握,在概念引入前先復習子空間和的運算,并用一個實例加以說明:例1設V=R,1=(1,0,0),2=(0,1,0),s2:(0,0,1)(1)V1=L(1

3、,2),v2=L(3),求+,并討論和空間元素的表示方法;(2)v3=L(l,2),v4=L(2,3),求+,并討論和空間元素的表示方法.由兩生成子空間和的結論,學生很容易得出+v2=V,+v4=此時要引導學生比較(1),(2),發現盡管兩對子空間和都等于,但這兩種和不一樣.其中(1)中的每個向量能唯一地分解成兩子空間元素的和,而(2)中的元素分解方法不唯一,如(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)=(1,0,0)+(0,1,1).根據所講例子的思想,請學生思考下面類似問題,從而達到教學效果.V=R,1=(1,0),占2=(0,1),(1)V1:L(1),=L(2),求+;(2)v3=

4、L(1),=L(1+2),求+,并討論和空間元素的表示方法.由(1)中的每個向量能唯一地分解成兩子空間元素和的特殊性,由此引入子空間直和概念.定義設,都是線性空間的子空間,如果和+中每個向量的分解式1+2,1V1,2是唯一的,這個和就稱為直和,記為.在具體應用時,通常要求證明一個線性空間是其兩個子空間的直和.為了學生能理解直和的概念,在講解定義時,要強調首先是和,然后要求滿足每個向量分解是唯一的,才具備直和的條件.對于這種特殊的子空間和運算,用定義證明或檢驗直和問題有時很困難,當然有必要更深入研究它的性質,找出它的等價條件.定理1設,是線性空間的子空間,且=V1+,則下列命題等價(1)V=V1

5、(2)零向量表示法唯一,即若0=+:,則收稿日期20110918作者簡介徐新萍(1964一),女,江蘇南通人,江蘇教育學院教授,博士,研究方向:代數教學與研究一20=Ot20,其中Ol1VI,Ot2v2(3)nv2=0(4)維(+)=維()+維(),即維(V)=維()+維()在教學中首先分析各等價命題的含義及相互關系,再通過循環論證的方法加以證明.二,子空間直和等價命題應用為了學生能真正理解和掌握定理1中各等價命題,在教學中主要通過具體例子說明其應用,在講解例題時特別強調何時用何種等價命題,以及應用各等價命題的注意點.在選題時注意用不同的等價命題加以證明,同時配上類似的習題,以便學生理解掌握.

6、例2設與都是線性空間的子空間,V=,且Ol1,Ol2,OtU,1,盧2,IV是兩個線性無關的向量組.證明:向量組,Ol,Ol,盧.,也線性無關.證明:設klOt1+k2ol2+OL+f11+Z22+Z=0,由V=U知,用直和的等價命題"零向量表法唯一".由1Ot1+2Ol2+OdU,Z1JB1+Z22+l,t3,得lOl1+后2Ot2+=0,Z1盧1+Z2盧2+Zf=0由1,2,OlU,盧1,盧2,是兩個線性無關的向量組,則有尼1=|j2=Z1=Z2=Z=0,所以,向量組Ol,2,和盧,:,也線性無關.說明:此例題中涉及到向量組線性無關概念,故適合用直和的條件"零

7、向量表法唯一".例3設A是數域P上的n階矩陣,且A=A.記,分別是方程組A=0與(E)=0的解空間.證明:=V1ov2.證明:VOlP,有Ol=(OlA)+,由A=A,易檢驗Ol-AaV1,Av2所以,P:V1+.又若OlVlnv2,有A=0,及(AE)Ol=0,則Ol=0.所以,nv2=0.于是,P=V1v2注意:此類題首先要證明P=V1十,然后再利用直和的等價條件.這里用"nv2=0"容易證明.與此題方法類似的下題由學生自行完成,以達到鞏固證明一個空間等于兩子空間直和的效果.習題1:設4是數域P上的n階矩陣,且A=E.記,分別是方程組(A+E)X=0與(E)X

8、=0的解空間,證明:=Vv2.例4設A=(三)為n階實可逆矩陣,V1,分別為齊次線性方程組AX=0,A=0的解空間.證明:=V1v2.證明:首先nI/2是齊次線性方程組r,X=0的解空間,即A=0的解空間.I4,=0因為A為n階實可逆矩陣,所以齊次線性方程組A=0只有零解,即.nv2=0其次由nv2=0及維數公式,得維(+)=維()+維().設秩(A.)=r,則秩(A)=nr.于是維()=tl,一r,維(v2)=一(17,一r)=r.因此,維(+)=nr+r=17,=維(R)所以R=V1ov2.說明:在講解此題時,容易得到n=0,學生就會立刻下結論R=vl,而忽略了證明R=+',2.通

9、過此例進一步說明證明直和有關命題的關鍵步驟.在此例題的基礎上,讓學生自己思考書上一個有關具體方程組的習題,以達到鞏固證明一個空間等于兩子空間直和的類似方法的效果.習題2:設V1,分別為齊次線性方程組+=0與1=2=的解空間,證明R=.三,與直和有關的后繼內容在線性變換一章中,學習了特征值與特征向量后,可以綜合直和內容,補充下面例題.例5設A為線性空間V的一個線性變換,且A=E,則A的特征值只能是1或一1.若用V與V一分別表示對應于特征值1與一1的特征子空間,證明:V=V1V證明:由特征子空間的定義一21V1=Or.1A僅=,VlIAoL=一o【.(1)v僅v,有僅:+.經檢驗v,v所以V=V】

10、+V一】(2)VV1nV一1,即A儀=01.,Aol=一0【.所以0【=0.因此VnV一=0由(1),(2),根據定理1(3),有V=V.V與此題方法類似的下題由學生自行完成,以達到進一步鞏固證明一個空間等于兩子空間直和的效果.習題3設A為線性空間V的一個線性變換,且A=A,則的特征值只能是1或0.若用V.與V.分別表示對應于特征值1與0的特征子空間,證明:V=V10V0.參考文獻1北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數M.第3版.北京:高等教育出版社,2003.2楊子胥.高等代數習題解(下冊)M.濟南:山東科學技術出版社,2001.3楊儒生,朱平天.線性代數題解集M.南京:江蘇教育

11、出版社,1997.(責任編輯印亞靜)(上接第19頁)(4)式中X的范圍0X2b,根據X范圍推得:?dO"x(5)由(2)(3)式可知,場強大小E>E>E:.可見結構的改變造成束縛電荷重新分布,束縛電荷反作用于自由電荷,進而改變自由電荷和場強的分布.所以束縛電荷的反作用不容忽視,同時自由電荷不均勻分布情況下高斯定理應用也是學習的重點.三,結論由以上討論可知,當電場均勻分布且有某一種對稱性時,應用D的高斯定理可以使問題得到簡化,這是學生頭腦中已經建構的知識結構.對束縛電荷對自由電荷分布的影響及非均勻電場下如何使用D的高斯定理解題的研究可以進一步擴展高斯定理的適用范圍,加深對高斯定理的全面理解.因此在講授一22一傳統經典題型之余,不妨對此加以介紹,使得學生對高斯定理的應用更趨靈活,掌握得更加融會