1、 排列、組合與二項式定理161 加法原理和乘法原理1、加法原理問題：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中火車有3班，汽車有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？加法原理：完成一件事有類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。2、乘法原理問題：從甲地到乙地有3條道路，從乙地到丙地有2條道路，問：某人從甲地經過乙地到丙地有多少種不同的走法？乘法原理：完成一件事需要個步驟，第步有種不同的方法，第步有種不同的方法，第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。例1：書架上放有本不同

2、的數學書，本不同的語文書，本不同的英語書。（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書中取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同科目的書兩本，有多少種不同的取法？解：（1）。（2）。（3）。例2：（1）由數字1，2，3，4，5可以組成多少個各位數字可以重復的三位整數？（2）由數字0，1，2，3，4，5可以組成多少個各位數字可以重復的三位整數？（3）由數字0，1，2，3，4，5組成的三位整數中，有且只有兩位數字相同（如114、303、255等）的數有多少個？解：（1）。（2）。（3）。另解： 。課堂練習1、4名同學報名參加籃球、射擊、游泳三

3、個活動小組，每人限報一項，則不同的報名情況共有多少種？ 2、4名運動員爭奪3項冠軍，則冠軍獲得者的可能情況有多少種？ 3、用紅、黃、藍的小旗各一面掛在旗桿上表示信號，每次可以掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可表示多少種不同的信號？4、（）的不同正約數共有多少個？5、在300和800之間，有多少個無重復數字的奇數？6、某小組有10人，每人至少會英語和日語中的一門，其中8人會英語，5人會日語，從中選出人，一人去當英語翻譯，另一人去當日語翻譯，有多少種不同的選法?解：1、分4步：2、分3步：3、先分類，再分步4、分3步：5、先分類，再分步：6、分兩類：課后作業1、要從甲、乙、丙

4、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？2、將四封信投入到三個郵筒中，有多少種不同的投遞方式？3、在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字的共有多少個? 4、用數字0、1、2、3可以組成多少個無重復數字的自然數？5、 滿足=1,2,3的集合、共有多少組? 6、如下圖,共有多少個不同的三角形?7、4名同學各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則不同的分配方式共有多少種？8、矩形的兩條對角線把矩形分成4個部分，用4種不同顏色給這4個部分涂色，要求每個部分只涂一種顏色，且有公共邊的相鄰部分顏色不同，則共有多少種不同的涂法？解：1、6；

5、 2、81； 3、45； 4、49； 5、9； 6、35； 7、27； 8、8416.2 排列 1、排列的概念問題：（1）從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？（2）從這四個字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？從個不同元素中，任取（）個不同元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。2、排列數的定義：從個不同元素中，任取（）個不同元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示。注意區別排列和排列數的不同：“排列”是指從個不同元素中，任取個元素

6、按照一定的順序排成的一列元素；“排列數”是指從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數。3、排列數公式及其推導：。4、全排列數：，叫做n的階乘。規定。5、排列數的另一個計算公式： 即 = 。例1、計算：； 。解：原式=；原式。例2、解方程：3。解：。例3、解不等式：。解：。例4、求證：（1）； （2）。證明：（1），原式成立。（2）右邊 原式成立。例5、化簡：；。解：原式；提示：由，得， 原式。例6、（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 解：（1）60； （2）125。

7、例7、某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：。例8、將位司機、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？解：（種）例9、用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？解法1：用加法原理：。解法2：符合條件的三位數可以分成三類：。解法3：從0到9這10個數字中任取3個數字的排列數為，其中以0為排頭的排列數為，因此符合條件的三位數的個數是-。例10、（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？（2）7位同學

8、站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？（3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？（4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解：（1）解：7個元素的全排列5040。（2）解：7×6×5×4×3×2×17！5040。（3）解：余下的6個元素的全排列=720。（4）解：=240。（5）解法1： 2400；解法2：=2400種。例11、 從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱節目一定不能排在第二個節目的

9、位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）；解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：，則共有種；解法三：（間接法）。例12、 7位同學站成一排。（1）甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？（2）甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？（3）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？（4）甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起。解：（1）；（2）720；（3）960，960；（4）。例13、7位同學站成一排。（1）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？（2）甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？解：（1）解法一：（排除法）；解法二

10、：（插空法）。（2）1440種。例14、5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間； （2）女生按指定順序排列解：（1）；（2）方法1：；方法2：（種）練習：1、9位同學排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，這樣的排法種數共有多少？2、用1,2,3,4,5,6,7這七個數字組成沒有重復數字的四位數。(1)有多少個奇數；(2)有多少個大于2500的數。3、一天的課表有6節課，其中上午4節，下午2節，要排語文、數學、外語、微機、體育、地理六節課，要求上午不排體育，數學必須排在上午，微機必須排在下午，共有多少種不同的排法？4、 由數字0，1，2，3，4，（1）可組成多少

11、個沒有重復數字且比20000大的自然數？（2）2不在千位，且4不在十位的五位數有多少個？ 5、3女4男共七個學生排隊,在下列情況下,不同的排法有幾種?(1)正副組長必須在兩端；(2)某人不在中間,也不在兩端；(3)甲不在左端,乙不在右端； (4)甲在中間五個位置.乙在右端以外六個位置； (5)3個女生要排在一起；(6)3個女生互不相鄰；(7)男女間隔排列；(8)甲，乙，丙次序一定；(9)男生次序一定,女生次序也一定；(10)甲乙兩人中間必須間隔三人。6、一天課表中，6節課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有 種；要使3門理科的數學與物理連排，化學不得與數學、物理連排，不

12、同的排課方法有多少種？7、某商場中有10個展架排成一排，展示10臺不同的電視機，其中甲廠5臺，乙廠3臺，丙廠2臺，若要求同廠的產品分別集中，且甲廠產品不放兩端，則不同的陳列方式有多少種？8、用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數。（1）三個偶數字連在一起的四位數有多少個？（2）十位數字比個位數字大的有多少個？9、一排10個空座位,4個人坐在這些空位上。(1)若每人的左右兩邊都有空位,有幾種坐法?(2)若6個空位中,4個空位連在一起,另兩個空位也連在一起,但6個空位不連在一起,共有幾種坐法?解：1、166320； 2、(1)480； （2）660。 3、484、（1）, （2）（）

13、5、(1)240； (2)2880； (3)3720； (4)3000； (5)720； (6)1440； (7)144； (8)840； (9)35； (10)720。6、72, 144。 7、。 8、30； 150。 9、120；480。163 組合 1、組合的概念：問題： (1)從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？(2)從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合。2、組合數的概念：從個不同元素中取出

14、個元素的所有組合的個數，叫做從 個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示。3、組合數公式的推導：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數，可以分如下兩步： 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數； 求每一個組合中m個元素全排列數，根據分步計數原理得：。 組合數的公式： 或。規定：。例1、求證：。證明：，。例2、設 ，求的值。 解：由題意可得： ，解得， 或或，當時原式值為4；當時原式值為7；當時原式值為11。例3、（1）6本不同的書分給甲、乙、丙3同學，每人各得2本，有多少種不同的分法？（2）從5個男生和4個女生中選出4名學生參加一次會議，要求至少有2名男生和1名女生參加，有多少種選

15、法？解：（1）；（2）第一類 2名男生和2名女生參加，有中選法；第二類 3名男生和1名女生參加，有中選法，共有100種選法。錯解：種選法。例4、100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產品中任意抽出3件。（1）一共有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少種？解：（1）； （2）； （3）；（4）解法一：（直接法）； 解法二：（間接法）。4、 組合數的性質（1）（2）+例5、（1）計算：；（2）求證：+。解：（1）原式；證明：（2）右邊左邊。例6、解方程：（1）；（

16、2）解方程：。解：（1）由原方程得或，或， 又把和代入檢驗，滿足， 原方程的解為或。（2）原方程可化為，即，解得或， 經檢驗：是原方程的解 。例7、從編號為1，2，3，10，11的共11個球中，取出5個球，使得這5個球的編號之和為奇數，則一共有多少種不同的取法？ 解：分為三類：1奇4偶有 ； 3奇2偶有； 5奇1偶有，一共有+。例8、現有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名青年能勝任德語翻譯工作（其中有1名青年兩項工作都能勝任），現在要從中挑選5名青年承擔一項任務，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？解：我們可以分為三類：讓兩項工作都能擔任的青年從事

17、英語翻譯工作，有；讓兩項工作都能擔任的青年從事德語翻譯工作，有；讓兩項工作都能擔任的青年不從事任何工作，有，一共有+42種方法。例9、甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙不值周六，問可以排出多少種不同的值周表 ？解法一：（排除法）。解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有；另一類為甲不值周一，但值周六，有，一共有+42種方法。例10、（1） 四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2） 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解：（1）根據分步計數原理：；（2）（捆綁法）：144。例11、6本不同的書，按下列要求各有

18、多少種不同的選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分為三份，每份2本；（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本。解：（1）種；（2）；（3）；（4）在（3）的基礎上再進行全排列，所以一共有種方法；（5）可以分為三類情況：“2、2、2型”即（1）中的分配情況，有種方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情況，有種方法；“1、1、4型”，有種方法，所以，一共有90+360+90540種方法。例12、身高互不相同的7名運動員站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有多少種？

19、（2）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？解：（1）（法一）：；（法二）：種方法； （2）（插空法）：。例13、馬路上有編號為1，2，3，10的十盞路燈，為節約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有多少種不同的關燈方法？解：（插空法）：種方法。例14、九張卡片分別寫著數字0，1，2，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數？解：可以分為兩類情況： 若取出6，則有種方法；若不取6，則有種方法，一共有+602種方法 。例15、某考生打算從所重點大學中選所填在第

20、一檔次的個志愿欄內，其中校定為第一志愿；再從所一般大學中選所填在第二檔次的三個志愿欄內，其中、兩校必選，且在前,問：此考生共有多少種不同的填表方法？解：。例16、如圖是由12個小正方形組成的矩形網格，一質點沿網格線從點到點的不同路徑之中，最短路徑有多少條？解： 例17、圓周上有個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內的交點個數最多是多少？解：只需求以圓上四點為頂點的四邊形的個數，即個。例18、有只不同的試驗產品，其中有只次品，只正品，現每次取一只測試，直到只次品全測出為止，求最后一只次品正好在第五次測試時被發現的不同情形有多少種？解：思路一：設想有五個位置，先從只正品中任選只，放在前四個位

21、置的任一個上，有種方法；再把只次品在剩下的四個位置上任意排列，有種排法故不同的情形共有種。思路二：設想有五個位置，先從只次品中任選只，放在第五個位置上，有種方法；再從只正品中任選只，和剩下的只次品一起在前四個位置上任意排列，有種方法故不同的情形共有種。例19、在一次象棋比賽中，進行單循環比賽，其中有人，他們各賽了場后，因故退出了比賽，這樣，這次比賽共進行了場，問：比賽開始時參賽者有多少人？解：需要考慮兩種情況：第一種，因故退出比賽的兩人之間沒有進行比賽，則，此方程無正整數解；第二種，因故退出比賽的兩人之間進行了比賽，則，解得，所以，比賽開始時參賽者有人 。練習：1、某校從8名教師中選派4名教師

22、同時去4個邊遠地區支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有幾種？2、將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號,則不同的放球方法有幾種？3、以正方形的4個頂點，4邊中點和中心這9個點中的3點為頂點的三角形有幾個？4、有2個，3個，4個共9個字母排成一排，不同的排法有幾種？5、6個人帶10瓶汽水參加春游，每人至少帶1瓶，有幾種不同的帶法？6、從、這四個數字中任取個，從、這個數字中任取兩個，可以組成多少個無重復數字的五位數？7、從雙不同的鞋子中任取只（）取出的只鞋子恰好配成雙，有多少種不同的取法？（

23、）取出的只鞋子至少能配成1雙，有多少種不同的取法？（）取出的只鞋子任何只都不能配成雙，有多少種不同的取法？8、有劃船運動員人，其中人只會劃右舷，人只會劃左舷，其余人既會劃右舷，又會劃左舷。現從這人中選出人平均分配在船的兩舷劃槳，并安排好位置，問有多少種不同的安排方法？解：（1）960；（2）10；（3）76；（4）1260；（5）126；（6）1248；（7）10；130；80；（8）675。164 二項式定理1、復習引入： ；2、二項式定理這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫的二項展開式，它有項；展開式中各項形如的系數叫二項式系數，注意區分二項展開式某項的系數與該項的二項式系數的

24、異同； 叫二項展開式的通項，用表示，即通項；二項式定理中，設，則例1、展開解： 例2、（1）求的展開式中的倒數第項（2）求的展開式的中間兩項解：（1）的展開式中共項，它的倒數第項是第項，（2），的展開式共項，它的中間兩項分別是第項、第項， 例3、求的展開式中的系數及二項式系數。解：的展開式的通項是，的系數，的二項式系數。例4、已知的展開式中，第五項與第三項的二項式系數之比為14:3，求展開式的常數項.解：依題意 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10。設第r+1項為常數項，又 令，此所求常數項為180。例5、已知的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，（1

25、）證明展開式中沒有常數項；（2）求展開式中所有的有理項。解：由題意：， 即，舍去） （1）若是常數項，則，即， ，這不可能，展開式中沒有常數項；（2）若是有理項，當且僅當為整數， ， ，即 展開式中有三項有理項，分別是：， 。例6、已知 的展開式中含項的系數為，求展開式中含項的系數最小值。解：展開式中含的項為，即，(1)當時, 展開式中含的項的系數為；（2）當時,展開式中含的項的系數為， ，當時，取最小值，但， 時，即項的系數最小，最小值為，此時。綜上：最小值為。3、二項式系數表（楊輝三角）展開式的二項式系數，當依次取時，二項式系數表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和 。4、二項式系數的性質：展開式的二項式系數是，。（1）對