1、超訓教育九年級上冊:第二十一章  一元二次方程第二十二章  二次函數第二十三章  旋轉第二十四章  圓第二十五章概率初步九年級下冊:第二十六章  反比例函數第二十七章  相似第二十八章  銳角三角函數第二十九章  投影與視圖第二十一章 一元二次方程1. 一元二次方程的定義及一般形式：（1） 等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2） 一元二次方程的一般形式： 。其中a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。注意：三個要點，只含有一個未知數；所含未知

2、數的最高次數是2；是整式方程。2. 一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得或者，。注意：若b<0，方程無解（2）因式分解法：一般步驟如下：將方程右邊得各項移到方程左邊，使方程右邊為0；將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；解這兩個一元一次方程，他們的解就是原方程的解。（3） 配方法:用配方法解一元二次方程的一般步驟二次項系數化為1：方程兩邊都除以二次項系數；移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數項；配方：方程兩邊都加上一次項系數一般的平方，把方程化為 的形式；用直接開平方法解變形后的方程。

3、注意：當時，方程無解（4） 公式法：一元二次方程 根的判別式：方程有兩個不相等的實根:（）的圖像與軸有兩個交點方程有兩個相等的實根的圖像與軸有一個交點方程無實根的圖像與軸沒有交點3. 韋達定理（根與系數關系）我們將一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0之后，設它的兩個根是和，則和與方程的系數a，b，c之間有如下關系：+； 4.一元二次方程的應用列一元二次方程解應用題，其步驟和二元一次方程組解應用題類似“審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關系；“設”指設元，即設未知數，可分為直接設元和間接設元；“列”指列方程，找出題目中的等量關系，再根據這個關系列出含有未知數的等式，即方程?！敖狻本?/p>

4、是求出說列方程的解；“答”就是書寫答案，檢驗得出的方程解，舍去不符合實際意義的方程。注意：一元二次方程考點：定義的考察；解方程及一元二次方程的應用。第二十二章  二次函數一、二次函數概念：1二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數2. 二次函數的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項2、 二次函數的基本形式1. 二次函數基本形式：的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小

5、；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值 2. 的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值c向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值c3. 的性質：左加右減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值 4. 的性質： 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大

6、值 5二次函數的圖象與性質附圖如下：函數的圖象圖象特點函數性質 當a>O時向上無限伸展； 當a<O時向下無限伸展 自變量x的取值范圍是全體實數 a>O時開口向上； a<O時開口向下； 頂點為(,) a>O時，當x=時， y有最小值為； a<O時，當x=時， y有最大值為 對稱軸為x=， a>O時， 對稱軸左側圖象從左到右下降， 對稱軸右側圖象從左到右上升； a<O時， 對稱軸左側圖象從左到右上升， 對稱軸右側圖象從左到右下降 a>O時，當x<時， y隨x的增大而減?。?當x>時，y隨x的增大而增大； a<O時，當x<

7、時， y隨x的增大而增大； 當x>時，y隨x的增大而減小三、二次函數圖象的平移 1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”四、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸

8、對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.6、 二次函數的性質1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減??；當時，有最大值七、二次函數解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數，）；2. 頂點式：（，為常數，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式

9、，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線 的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系 1. 二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，結論剛好與上述相

10、反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置 3. 常數項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便一般來說，有

11、如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數圖象的對稱 二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關于頂點對稱 關于頂點對稱后，得到的

12、解析式是； 關于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數與一元二次方程：1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間

13、的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮涤梢话闶睫D化為頂點式； 根據圖象的位置判斷二次函數中，的符號，或由二次函數中，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數

14、有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.11、 實際問題與二次函數1. 利用二次函數求幾何圖形面積的最值問題2. 利用二次函數求最大利潤問題3. 建立適當的坐標系解決實際問題4. 利用二次函數解決圖形運動問題第二十三章旋轉一、圖形的旋轉1.圖形旋轉有關的概念2.旋轉的性質及其應用3.圖形旋轉的作圖步驟4

15、.旋轉、平移和軸對稱的異同點5.利用旋轉巧添輔助線解題6.旋轉問題中的常見圖形二、中心對稱1. 中心對稱的概念2. 中心對稱的性質3. 中心對稱的作圖方法4. 中心對稱圖形5. 關于原點對稱的點的坐標6. 中心對稱和中心對稱圖形的區別與聯系7. 對稱圖形在平面直角系中的綜合應用第二十四章圓一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；固定的端點O為圓心。連接圓上

16、任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關系1、點在圓內 點在圓內；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；三、直線與圓的位置關系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；四、圓與圓的位

17、置關系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內切（圖4） 有一個交點 ；內含（圖5） 無交點 ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧

18、弧六、圓心角定理 頂點到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，即：； 弧弧七、圓周角定理頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在中，

19、是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。 即：在中， 四邊形是內接四邊形 九、切線的性質與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線

20、必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點

21、引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。十四、圓內正多邊形的計算（1）正三角形 在中是正三角形，有關計算在中進行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關計算在中進行，： （3）正六邊形同理，六邊形的有關計算在中進行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：

22、圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2、圓柱： （1）A圓柱側面展開圖 =B圓柱的體積：（2）A圓錐側面展開圖=B圓錐的體積： 第二十五章概率初步一、概率1.隨機事件 （1）確定事件 事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的 （2）隨機事件 在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件 （3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中， 必然事件發生的概率為1，即P（必然事件）=1； 不可能事件發生的概率為0，即P（不可能事件）=0； 如果A為不確定

23、事件（隨機事件），那么0P（A）1 隨機事件發生的可能性（概率）的計算方法： 2.可能性大小 （1）理論計算又分為如下兩種情況： 第一種：只涉及一步實驗的隨機事件發生的概率，如：根據概率的大小與面積的關系，對一類概率模型進行的計算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機事件發生的概率，如：配紫色，對游戲是否公平的計算（2）實驗估算又分為如下兩種情況： 第一種：利用實驗的方法進行概率估算要知道當實驗次數非常大時，實驗頻率可作為事件發生的概率的估計值，即大量實驗頻率穩定于理論概率 第二種：利用模擬實驗的方法進行概率估算如，利用計算器產生隨機數來模擬實驗 3.概率的意義

24、 （1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發生的頻率mn會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p （2）概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現 （3）概率取值范圍：0p1 （4）必然發生的事件的概率P（A）=1；不可能發生事件的概率P（A）=0 （4）事件發生的可能性越大，概率越接近與1，事件發生的可能性越小，概率越接近于0 （5）通過設計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯系密切，通過理解什么是游戲對雙方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設計游戲的概率模型，以及結合具體實際問題，體會概率與統

25、計之間的關系，可以解決一些實際問題 二、用列舉法求概率1. 概率的公式 （1） 隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數所有可能出現的結果數 （2） P（必然事件）=1 （3）P（不可能事件）=0 2. 幾何概型的概率問題 是指具有下列特征的一些隨機現象的概率問題度比，面積比，體積比等 3.列舉法和樹狀法 （1）當試驗中存在兩個元素且出現的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概率 （2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率 （3）列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是

26、一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖 （4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果n （5）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉 4.游戲公平性 （1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平 （2）概率=所求情況數總情況數 三、利用頻率估計概率1. 利用頻率估計概率 （1） 大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固

27、定的近似值就是這個事件的概率 （2） 用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確 （3）當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率 2.模擬實驗 （1）在一些有關抽取實物實驗中通常用摸取卡片代替了實際的物品或人抽取，這樣的實驗稱為模擬實驗 （2）模擬實驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行實驗，或用計算機編號等進行實驗，目的在于省時、省力，但能達到同樣的效果 （3）模擬實驗只能用更簡便方法完成，驗證實驗目的，但不能改變實驗目的，這部分內容根據新課標要求，只要設計出一個模擬實驗即可 第二十六章反比例函數

28、1、 定義與一般概念1.一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數。還可以寫成2.反比例函數解析式的特征：等號左邊是函數，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數（也叫做比例系數），分母中含有自變量，且指數為1.比例系數自變量的取值為一切非零實數。函數的取值是一切非零實數。二、反比例函數的圖像圖像的畫法：描點法 列表（應以O為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數） 描點（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的曲線）反比例函數的圖像是雙曲線，（為常數，）中自變量，函數值，所以雙曲線是不經過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交。反比例函數的圖像是是軸對稱圖形

29、（對稱軸是或）。反比例函數（）中比例系數的幾何意義是：過雙曲線 （）上任意引軸軸的垂線，所得矩形面積為。三、反比例函數性質的取值圖像所在象限函數的增減性一、三象限在每個象限內，值隨的增大而減小二、四象限在每個象限內，值隨的增大而增大四、待定系數法求解析式反比例函數解析式的確定：利用待定系數法（只需一對對應值或圖像上一個點的坐標即可求出）“反比例關系”與“反比例函數”：成反比例的關系式不一定是反比例函數,但是反比例函數中的兩個變量必成反比例關系。五、反比例函數的應用用反比例函數解決實際問題 反比例函數的應用須注意以下幾點： 反比例函數在現實世界中普遍存在，在應用反比例函數知識

30、解決實際問題時，要注意將實際問題轉化為數學問題。 針對一系列相關數據探究函數自變量與因變量近似滿足的函數關系。 列出函數關系式后，要注意自變量的取值范圍。第二十七章相似一、 相似 每組圖形中的兩個圖形形狀相同，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形。 相似圖形強調圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關。 相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。 我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的 若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例全等形二、相似三角形對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形?；?/p>

31、為相似形的三角形叫做相似三角形 1.相似形的識別：對應邊成比例，對應角相等。 2.成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即d c ba=（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。 3.黃金分割：用一點P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0·618。這種分割稱為黃金分割，分割點P叫做線段AB的黃金分割點，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項。三、相似三角形的判定方法: <一>根據相似圖形的特征來判斷。（對應邊成比例

32、，對應角相等） 1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似； 2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似； 3.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似； 4.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似； <二>直角三角形相似判定定理 1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。 2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。 <三>一定相似的三角形 （1） 兩個全等的三角形一定相似

33、。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1） （2） 兩個等腰直角三角形一定相似（兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。） （3） 兩個等邊三角形一定相似。 <四>三角形相似的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。 推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。 四、 相似三角形的性質 （1）相似三角形對應角

34、相等，對應邊成比例。 （2）相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。 （3）相似三角形周長的比等于相似比。 （4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 （5）相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內切圓、外接圓面積比是相似比的平方 （6）若a:c =c:b，即c2 =ab,則c叫做a,b的比例中項 （7）c/d=a/b 等同于ad=bc. 五、相似的應用：位似（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比 （2）掌握位似

35、圖形概念，需注意：位似是 一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；兩個位似圖形的位似中心只有一個；兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側；位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似 （3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質，位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離等于位似比（相似比） （4）兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應點與位似中心共線；不經過位似中心的對應線段平行 （5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題作圖時要注

36、意:首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；確定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；確定位似比，根據位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮??；符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關，并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形。第二十八章銳角三角函數1、 勾股定理直角三角形兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方。 2、 如下圖，在RtABC中，C為直角，則A的銳角三角函數為(A可換成B)：定 義表達式取值范圍關 系正弦(A為銳角)余弦(A為銳角)正切(A為銳角) (倒數)余切(A為銳角)3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值

37、等于它的余角的正弦值。 4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數值(重要)三角函數0°30°45°60°90°011001-10 6、正弦、余弦的增減性： 當0°90°時，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。 7、正切、余切的增減性： 當0°<<90°時，tan隨的增大而增大，cot隨的增大而減小。依據：邊的關系：；角的關系：A+B=90°；邊角關系