1、人教版高中數學選修2-2教案全集第一章 導數及其應用§1.1.1變化率問題教學目標：1理解平均變化率的概念；2了解平均變化率的幾何意義；3會求函數在某點處附近的平均變化率教學重點：平均變化率的概念、函數在某點處附近的平均變化率； 教學難點：平均變化率的概念教學過程：一創設情景為了描述現實世界中運動、過程等變化著的現象，在數學中引入了函數，隨著對函數的研究，產生了微積分，微積分的創立以自然科學中四類問題的處理直接相關：一、已知物體運動的路程作為時間的函數,求物體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。導數是微積分的核

2、心概念之一它是研究函數增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。導數研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度二新課講授（一）問題提出問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是n 如果將半徑r表示為體積V的函數,那么分析: ，1 當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為2 當V從1增加到2時,氣球半徑增加了hto 氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹

3、率逐漸變小了思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?思考計算：和的平均速度在這段時間里，；在這段時間里，探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：運動員在這段時間內使靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實

4、際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態（二）平均變化率概念:1上述問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率2若設, (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)3 則平均變化率為思考：觀察函數f(x)的圖象平均變化率表示什么?f(x2)y=f(x)yy =f(x2)-f(x1)f(x1)直線AB的斜率x= x2-x1x2x1xO三典例分析例1已知函數f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 解：，例2 求在附近的平均變化率。解：，所以 所以在附近的平均變化率為四課堂練習1質點運動規律為，則在時間中相應的平均

5、速度為 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲線的割線，求出當x=0.1時割線的斜率.五回顧總結1平均變化率的概念2函數在某點處附近的平均變化率六教后反思：§1.1.2導數的概念教學目標：1了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；3會求函數在某點的導數教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數的概念； 教學難點：導數的概念教學過程：一創設情景（一）平均變化率（二）探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下

6、問題：運動員在這段時間內使靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，hto 所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態二新課講授1瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，時的瞬時速度是多少？考察附近的情況：思考：當趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？結論：當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2

7、時，平均速度都趨近于一個確定的值從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在時的瞬時速度是為了表述方便，我們用表示“當，趨近于0時，平均速度趨近于定值”小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。2 導數的概念從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數在出的導數，記作或，即 說明：（1）導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 （2），當時，所以三典例分析例1（1）求函數y=3x2在x=1處的導數.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2再求再求解：法一

8、定義法（略） 法二：（2）求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數 解： 例2（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和根據導數定義，所以同理可得:在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況四課堂練習1質點運動規律為，求質點在的瞬時速度為2求曲線y=f(x)=x3在時的導數3例2中，計算第

9、時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義五回顧總結1瞬時速度、瞬時變化率的概念2導數的概念六教后反思：§1.1.3導數的幾何意義教學目標：1了解平均變化率與割線斜率之間的關系；2理解曲線的切線的概念；3通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義，并會用導數的幾何意義解題；教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數的幾何意義； 教學難點：導數的幾何意義教學過程：一創設情景（一）平均變化率、割線的斜率（二）瞬時速度、導數我們知道，導數表示函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導數的幾何意義是什么呢？二新課講授（一）曲線的切線及切線

10、的斜率：如圖3.1-2，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？圖3.1-2我們發現,當點沿著曲線無限接近點P即x0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題：割線的斜率與切線PT的斜率有什么關系？ 切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質函數在處的導數.（2）曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;2)要根據割線是否有極限位置來判斷與求

11、解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.（二）導數的幾何意義：函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:求出P點的坐標;求出函數在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率；利用點斜式求切線方程.（二）導函數：由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當時, 是一個確定的數，那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.記作：或，即: 注：在不致發生混淆時，導函數也簡稱導數（三）函數在點處的導數、導函數

12、、導數 之間的區別與聯系。（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。(2）函數的導數，是指某一區間內任意點x而言的， 就是函數f(x)的導函數 (3）函數在點處的導數就是導函數在處的函數值，這也是 求函數在點處的導數的方法之一。三典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.（2）求函數y=3x2在點處的導數.解：（1）,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因為所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即（2）求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數 解： 例2

13、（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數，根據圖像，請描述、比較曲線在、附近的變化情況解：我們用曲線在、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況（1） 當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降（2） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數在附近單調遞減（3） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數在附近單調遞減從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢例3（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間（單位：）變化的圖象根據圖像，

14、估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到）解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度在此時刻的導數，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率如圖3.1-4，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值作處的切線，并在切線上去兩點，如，則它的斜率為：所以 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率0.40-0.7-1.4四課堂練習1求曲線y=f(x)=x3在點處的切線；2求曲線在點處的切線五回顧總結1曲線的切線及切線的斜率；2導數的幾何意義六教后反思：§幾個常用函數的導數教學目標：1使學

15、生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數、的導數公式； 2掌握并能運用這四個公式正確求函數的導數教學重點：四種常見函數、的導數公式及應用教學難點： 四種常見函數、的導數公式教學過程：一創設情景我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度那么，對于函數，如何求它的導數呢？由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由于導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們求幾個常用的函數的導數二新課講授1函數的導數 根據導數定義，因為

16、所以函數導數表示函數圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態2函數的導數因為所以函數導數表示函數圖像（圖3.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動3函數的導數因為所以函數導數表示函數圖像（圖3.2-3）上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函數減少得越來越慢；當時，隨著的增加，函數增加得越來越快若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體做變速運

17、動，它在時刻的瞬時速度為4函數的導數因為所以函數導數5函數的導數因為所以函數導數（2）推廣：若，則三課堂練習1課本P13探究12課本P13探究2四回顧總結函數導數五教后反思：§基本初等函數的導數公式及導數的運算法則教學目標：1熟練掌握基本初等函數的導數公式； 2掌握導數的四則運算法則；3能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數教學重點：基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則教學難點： 基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則的應用教學過程：一創設情景五種常見函數、的導數公式及應用函數導數二新課講授（一）基本初等函數的導數公式表函數導數（二）導數的運

18、算法則導數運算法則123（2）推論： （常數與函數的積的導數，等于常數乘函數的導數）三典例分析例1假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數關系，其中為時的物價假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？解：根據基本初等函數導數公式表，有所以（元/年）因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲例2根據基本初等函數的導數公式和導數運算法則，求下列函數的導數（1）（2）；（3）；（4）；（5）（6）；（7）解：（1），。（2）（3）（4），。（5）（6），。（7）?！军c評】 求導數是在定

19、義域內實行的 求較復雜的函數積、商的導數，必須細心、耐心例3日常生活中的飲水通常是經過凈化的隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1） （2）解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數（1） 因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是52.84元/噸（2） 因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是1321元/噸 函數在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化的快慢由上述計算可知，它表示純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍這說明，水的純凈度越高

20、，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快四課堂練習1課本P92練習2已知曲線C：y 3 x 42 x39 x24，求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程；（y 12 x 8）五回顧總結（1）基本初等函數的導數公式表（2）導數的運算法則六教后反思：§1.2.3復合函數的求導法則教學目標 理解并掌握復合函數的求導法則教學重點 復合函數的求導方法：復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數之積教學難點 正確分解復合函數的復合過程，做到不漏，不重，熟練，正確一創設情景（一）基本初等函數的導數公式表函數導數（二）導數的運算法則導數運算法則123（2）

21、推論： （常數與函數的積的導數，等于常數乘函數的導數）二新課講授復合函數的概念 一般地，對于兩個函數和，如果通過變量，可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作。復合函數的導數 復合函數的導數和函數和的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積若，則三典例分析例1（課本例4）求下列函數的導數：（1）；（2）；（3）（其中均為常數） 解：（1）函數可以看作函數和的復合函數。根據復合函數求導法則有 =。（2）函數可以看作函數和的復合函數。根據復合函數求導法則有 =。（3）函數可以看作函數和的復合函數。根據復合函數求導法則有 =。例2求的導數解：【點評】求復合函數的導數，關

22、鍵在于搞清楚復合函數的結構，明確復合次數，由外層向內層逐層求導，直到關于自變量求導，同時應注意不能遺漏求導環節并及時化簡計算結果例3求的導數解：，【點評】本題練習商的導數和復合函數的導數求導數后要予以化簡整理例4求y sin4x cos 4x的導數【解法一】y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x【解法二】y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x c

23、os x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【點評】解法一是先化簡變形，簡化求導數運算，要注意變形準確解法二是利用復合函數求導數，應注意不漏步例5曲線y x（x 1）（2x）有兩條平行于直線y x的切線，求此二切線之間的距離【解】y x 3 x 2 2 x y3 x 22 x 2 令y1即3 x22 x 10，解得 x 或x 1于是切點為P（1，2），Q（，），過點P的切線方程為，y 2x 1即 x y 10顯然兩切線間的距離等于點Q 到此切線的距離，故所求距離為四課堂練習1求下列函數的導數 (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)

24、2.求的導數五回顧總結六教后反思：§函數的單調性與導數（2課時）教學目標：1了解可導函數的單調性與其導數的關系； 2能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間，對多項式函數一般不超過三次；教學重點：利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間教學難點： 利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間教學過程：一創設情景函數是客觀描述世界變化規律的重要數學模型，研究函數時，了解函數的贈與減、增減的快與慢以及函數的最大值或最小值等性質是非常重要的通過研究函數的這些性質，我們可以對數量的變化規律有一個基本的了解下面，我們運用導數研究函數的性質，從中體會

25、導數在研究函數中的作用二新課講授 1問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？通過觀察圖像，我們可以發現：（1） 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數相應地，（2） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數相應地，2函數的單調性與導數的關系觀察下面函數的圖像，探討函數的單調性與其導數正負的關系如圖3.3-3，導數表示函數在點處的切線的斜率在處，切線是“左下右上”式的，這時，函數在附

26、近單調遞增；在處，切線是“左上右下”式的，這時，函數在附近單調遞減結論：函數的單調性與導數的關系在某個區間內，如果，那么函數在這個區間內單調遞增；如果，那么函數在這個區間內單調遞減說明：（1）特別的，如果，那么函數在這個區間內是常函數3求解函數單調區間的步驟：（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間三典例分析例1已知導函數的下列信息：當時，；當，或時，；當，或時，試畫出函數圖像的大致形狀解：當時，可知在此區間內單調遞增；當，或時，；可知在此區間內單調遞減；當，或時，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”綜上

27、，函數圖像的大致形狀如圖3.3-4所示例2判斷下列函數的單調性，并求出單調區間（1）； （2）（3）； （4）解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調遞增，如圖3.3-5（1）所示（2）因為，所以， 當，即時，函數單調遞增；當，即時，函數單調遞減；函數的圖像如圖3.3-5（2）所示（3）因為，所以，因此，函數在單調遞減，如圖3.3-5（3）所示（4）因為，所以 當，即 時，函數 ；當，即 時，函數 ；函數的圖像如圖3.3-5（4）所示注：（3）、（4）生練例3如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數關系

28、圖像分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快反映在圖像上，（A）符合上述變化情況同理可知其它三種容器的情況 解：思考：例3表明，通過函數圖像，不僅可以看出函數的增減，還可以看出其變化的快慢結合圖像，你能從導數的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化的快，這時，函數的圖像就比較“陡峭”；反之，函數的圖像就“平緩”一些如圖3.3-7所示，函數在或內的圖像“陡峭”，在或內的圖像“平緩”例4求證：函數在區間內是減函數證明：因為當即時，所以函數在區間內是減函數說明：證明可導函

29、數在內的單調性步驟：（1）求導函數；（2）判斷在內的符號；（3）做出結論：為增函數，為減函數例5已知函數 在區間上是增函數，求實數的取值范圍解：，因為在區間上是增函數，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數的取值范圍為說明：已知函數的單調性求參數的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數與函數單調性關系：即“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解例6已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區間.解：y=(x+)=11·x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的單調增區間是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的單調減區間是

30、(1，0)和(0，1)四課堂練習1求下列函數的單調區間1.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx2課本 練習五回顧總結（1）函數的單調性與導數的關系（2）求解函數單調區間（3）證明可導函數在內的單調性六教后反思：§函數的極值與導數（2課時）教學目標：1.理解極大值、極小值的概念；2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數的極值；3.掌握求可導函數的極值的步驟；教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數的極值的步驟.教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數的極值的步驟.教學過程：一創設情景觀察圖3.3-

31、8，我們發現，時，高臺跳水運動員距水面高度最大那么，函數在此點的導數是多少呢？此點附近的圖像有什么特點？相應地，導數的符號有什么變化規律？放大附近函數的圖像，如圖3.3-9可以看出；在，當時，函數單調遞增，；當時，函數單調遞減，；這就說明，在附近，函數值先增（，）后減（，）這樣，當在的附近從小到大經過時，先正后負，且連續變化，于是有對于一般的函數，是否也有這樣的性質呢？附：對極大、極小值概念的理解，可以結合圖象進行說明.并且要說明函數的極值是就函數在某一點附近的小區間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點的關鍵是這點兩側的導數異號二新課講授 1問題：圖3.3-1（1），它

32、表示跳水運動中高度隨時間變化的函數的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？通過觀察圖像，我們可以發現：（3） 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數相應地，（4） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數相應地，2函數的單調性與導數的關系觀察下面函數的圖像，探討函數的單調性與其導數正負的關系如圖3.3-3，導數表示函數在點處的切線的斜率在處，切線是“左下右上”式的，這時，函數在附近單調遞增；在處，切線是“左上右下”式的，這時，函數在附近單調遞

33、減結論：函數的單調性與導數的關系在某個區間內，如果，那么函數在這個區間內單調遞增；如果，那么函數在這個區間內單調遞減說明：（1）特別的，如果，那么函數在這個區間內是常函數3求解函數單調區間的步驟：（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間三典例分析例1（課本例4）求的極值 解： 因為，所以。下面分兩種情況討論：（1）當>0,即，或時；（2）當<0,即時.當x變化時， ，的變化情況如下表：-2(-2,2)2+00+極大值極小值因此，當時，有極大值，并且極大值為；當時，有極小值，并且極小值為。函數的圖

34、像如圖所示。例2求y=(x21)3+1的極值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1當x變化時，y，y的變化情況如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+無極值極小值0無極值當x=0時，y有極小值且y極小值=01.極大值： 一般地，設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)f(x0)，就說f(x0)是函數f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點2.極小值：一般地，設函數f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)f(x0).就說f(x0)是函數f(x)的一個極小值，記

35、作y極小值=f(x0)，x0是極小值點3.極大值與極小值統稱為極值 注意以下幾點：（）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最?。ǎ┖瘮档臉O值不是唯一的即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個（）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （）函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側

36、的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值5. 求可導函數f(x)的極值的步驟: (1)確定函數的定義區間，求導數f(x) (2)求方程f(x)=0的根(3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值 如果函數在某些點處連續但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 四、鞏固

37、練習：1求下列函數的極值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7令y=0，解得x=.當x變化時，y，y的變化情況如下表.0+極小值當x=時，y有極小值，且y極小值=.(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令y=0，解得x1=3，x2=3.當x變化時，y，y的變化情況如下表.-3(-3,3)3+00+極大值54極小值-54當x=3時，y有極大值，且y極大值=54.當x=3時，y有極小值，且y極小值=54五、教學反思 ：函數的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導函數f(x)的極值的三個步驟.還有要弄清函數的極值是就函數在某一點附

38、近的小區間而言的，在整個定義區間可能有多個極值，且要在這點處連續.可導函數極值點的導數為0，但導數為零的點不一定是極值點，要看這點兩側的導數是否異號.函數的不可導點可能是極值點 §函數的最大（?。┲蹬c導數（2課時）教學目標：使學生理解函數的最大值和最小值的概念，掌握可導函數在閉區間上所有點（包括端點）處的函數中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；使學生掌握用導數求函數的極值及最值的方法和步驟 教學重點：利用導數求函數的最大值和最小值的方法教學難點：函數的最大值、最小值與函數的極大值和極小值的區別與聯系教學過程：一創設情景我們知道，極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個

39、定義域內的性質也就是說，如果是函數的極大（?。┲迭c，那么在點附近找不到比更大（小）的值但是，在解決實際問題或研究函數的性質時，我們更關心函數在某個區間上，哪個至最大，哪個值最小如果是函數的最大（?。┲?，那么不小（大）于函數在相應區間上的所有函數值二新課講授觀察圖中一個定義在閉區間上的函數的圖象圖中與是極小值，是極大值函數在上的最大值是，最小值是1結論：一般地，在閉區間上函數的圖像是一條連續不斷的曲線，那么函數在上必有最大值與最小值說明：如果在某一區間上函數的圖像是一條連續不斷的曲線，則稱函數在這個區間上連續（可以不給學生講）給定函數的區間必須是閉區間，在開區間內連續的函數不一定有最大值與最小值

40、如函數在內連續，但沒有最大值與最小值；在閉區間上的每一點必須連續，即函數圖像沒有間斷，函數在閉區間上連續，是在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件（可以不給學生講）2“最值”與“極值”的區別和聯系最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數值得出的，具有相對性從個數上看，一個函數在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個極值只能在定義域內部取得，而最值可以在區間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，

41、最值只要不在端點必定是極值3利用導數求函數的最值步驟:由上面函數的圖象可以看出，只要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了一般地，求函數在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內的極值；將的各極值與端點處的函數值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數在上的最值三典例分析例1（課本例5）求在的最大值與最小值 解： 由例4可知，在上，當時，有極小值，并且極小值為，又由于，因此，函數在的最大值是4，最小值是上述結論可以從函數在上的圖象得到直觀驗證例2求函數在區間上的最大值與最小值解：先求導數，得令0即解得導數的正負以及，如下表X-2（-2,-1）

42、-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/000y1345413從上表知，當時，函數有最大值13，當時，函數有最小值4 例3已知,(0,+).是否存在實數,使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數，在1，+)上是增函數；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由.解：設g(x)=f(x)在（0，1）上是減函數，在1，+)上是增函數g(x)在（0，1）上是減函數，在1，+)上是增函數. 解得經檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設的兩個條件.四課堂練習1下列說法正確的是( )A.函數的極大值就是函數的最大值 B.函數的極小值就是函數的最小值C.函數的最值一定是極值

43、D.在閉區間上的連續函數一定存在最值2函數y=f(x)在區間a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f(x) ( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能3函數y=，在1，1上的最小值為( )A.0 B.2 C.1 D.4求函數在區間上的最大值與最小值5課本練習五回顧總結1函數在閉區間上的最值點必在下列各種點之中：導數等于零的點，導數不存在的點，區間端點；2函數在閉區間上連續，是在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3閉區間上的連續函數一定有最值；開區間內的可導函數不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數的最值 4利用導數求函數的最值方法六教后反思：§

44、;1.4生活中的優化問題舉例（2課時）教學目標：1 使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用2 提高將實際問題轉化為數學問題的能力教學重點：利用導數解決生活中的一些優化問題教學難點：利用導數解決生活中的一些優化問題教學過程：一創設情景生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節，我們利用導數，解決一些生活中的優化問題二新課講授導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關的最值問題；2、與物理學有關的最值問題；3

45、、與利潤及其成本有關的最值問題；4、效率最值問題。解決優化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當的函數關系，并確定函數的定義域，通過創造在閉區間內求函數取值的情境，即核心問題是建立適當的函數關系。再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數是一個有力的工具利用導數解決優化問題的基本思路：建立數學模型解決數學模型作答用函數表示的數學問題優化問題用導數解決數學問題優化問題的答案三典例分析例1海報版面尺寸的設計 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F讓你設計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空

46、2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設計海報的尺寸，才能使四周空心面積最小？ 解：設版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 。 求導數，得。令，解得舍去）。于是寬為。當時，<0；當時，>0.因此，是函數的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶

47、子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm問題：（）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ （）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去）當時，；當時，當半徑時，它表示單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑時， 它表示單調遞減，即半徑越大，利潤越低（1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值（2）半徑為cm時，利潤最大換一個角度：如果我們不用導數工具，直接從函數的圖像上觀察，會有什么發現？有圖像知：當時，即瓶子的半徑為

48、3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值當時，為減函數，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最小例3磁盤的最大存儲量問題計算機把數據存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質的圓盤，并有操作系統將其格式化成磁道和扇區。磁道是指不同半徑所構成的同心軌道，扇區是指被同心角分割所成的扇形區域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據其磁化與否可分別記錄數據0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數據檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數。問

49、題：現有一張半徑為的磁盤，它的存儲區是半徑介于與之間的環形區域（1） 是不是越小，磁盤的存儲量越大？（2） 為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數×每磁道的比特數。 設存儲區的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數最多可達。由于每條磁道上的比特數相同，為獲得最大存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數可達。所以，磁盤總存儲量× （1）它是一個關于的二次函數，從函數解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大（2）為求的最大值，計算令，解得當時，；當時，因此時，磁盤具有最

50、大存儲量。此時最大存儲量為例4汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關系，汽油的消耗量是汽車速度的函數根據你的生活經驗，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題 通過大量的統計數據，并對數據進行分析、研究，人們發現，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數關系從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題因此