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文檔簡介
1、考綱導讀(一)函數1了解構成函數的要素,了解映射的概念,會求一些簡單函數的定義域和值域.2理解函數的三種表示法:解析法、圖象法和列表法,能根據不同的要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。3了解分段函數,能用分段函數來解決一些簡單的數學問題。4理解函數的單調性,會討論和證明一些簡單的函數的單調性;理解函數奇偶性的含義,會判斷簡單的函數奇偶性。5理解函數的最大(小)值及其幾何意義,并能求出一些簡單的函數的最大(小)值.6會運用函數圖像理解和研究函數的性質.(二)指數函數1了解指數函數模型的實際背景。2理解有理指數冪的含義,了解實數指數冪的意義,掌握冪的運算。3理解指數函數的概念,會求與指數函數性質有關
2、的問題。4知道指數函數是一類重要的函數模型。(三)對數函數1理解對數的概念及其運算性質,知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數;了解對數在簡化運算中的作用。2理解對數函數的概念;會求與對數函數性質有關的問題.3知道對數函數是一類重要的函數模型.4了解指數函數 與對數函數 互為反函數( )。(四)冪函數1了解冪函數的概念。2結合函數 的圖像,了解它們的變化情況。(五)函數與方程1了解函數零點的概念,結合二次函數的圖像,了解函數的零點與方程根的聯系。2理解并掌握連續函數在某個區間上存在零點的判定方法。能利用函數的圖象和性質判別函數零點的個數.(六)函數模型及其應用1了解指數函數、對數函
3、數以及冪函數的增長特征。知道直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義。2了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用。3能利用給定的函數模型解決簡單的實際問題。知識網絡高考導航根據考試大綱的要求,結合2010年高考的命題情況,我們可以預測2011年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及,高考命題熱點有以下兩個方面:一是集合的運算、集合的有關述語和符號、集合的簡單應用等作基礎性的考查,題型多以選擇、填空題的形式出現;二是以函數、方程、三角、不等式等知識為載體,以集合的語言和符號為表現形式,結合簡易邏輯知識考查學生的數學思想、數學方法
4、和數學能力,題型常以解答題的形式出現.函數是高考數學的重點內容之一,函數的觀點和思想方法貫穿整個高中數學的全過程,包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中,選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數試題,而且常考常新.以基本函數為模型的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢.考試熱點:考查函數的表示法、定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數和函數的圖象.函數與方程、不等式、數列是相互關聯的概念,通過對實際問題的抽象分析,建立相應的函數模型并用來解決問題,是考試的熱點.考查運用函數的思想來觀察問題、分析問題和解決問題,滲透數形結合和分類討論的基本數學思想.第1課時 函數及其表示基礎過關一、映射1映射:設
5、A、B是兩個集合,如果按照某種對應關系f,對于集合A中的 元素,在集合B中都有 元素和它對應,這樣的對應叫做 到 的映射,記作 .2象與原象:如果f:AB是一個A到B的映射,那么和A中的元素a對應的 叫做象, 叫做原象。二、函數1定義:設A、B是 ,f:AB是從A到B的一個映射,則映射f:AB叫做A到B的 ,記作 .2函數的三要素為 、 、 ,兩個函數當且僅當 分別相同時,二者才能稱為同一函數。3函數的表示法有 、 、 。典型例題例1.下列各組函數中,表示同一函數的是( ).A. B. C. D. 解:C變式訓練1:下列函數中,與函數y=x相同的函數是 ( )A.y= B.y=()2 C.y=
6、lg10x D.y=解:C例2.給出下列兩個條件:(1)f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式.解:(1)令t=+1,t1,x=(t-1)2.則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1,+).(2)設f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.,又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.變式訓練2:(1)已知f()=lgx,求f(x);(2)已知f(x)是一次函數,且滿足3f(x
7、+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);(3)已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x,求f(x).解:(1)令+1=t,則x=,f(t)=lg,f(x)=lg,x(1,+).(2)設f(x)=ax+b,則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,a=2,b=7,故f(x)=2x+7.(3)2f(x)+f()=3x, 把中的x換成,得2f()+f(x)= ×2-得3f(x)=6x-,f(x)=2x-.例3. 等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a,BC=a,BAD=45°,作直線MNAD交AD于M,交折線AB
8、CD于N,記AM=x,試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數,并寫出函數的定義域.解:作BHAD,H為垂足,CGAD,G為垂足,依題意,則有AH=,AG=a.(1)當M位于點H的左側時,NAB,由于AM=x,BAD=45°.MN=x.y=SAMN=x2(0x).(2)當M位于HG之間時,由于AM=x,MN=,BN=x-.y=S AMNB =x+(x-)=ax-(3)當M位于點G的右側時,由于AM=x,MN=MD=2a-x.y=S ABCD-SMDN=綜上:y=變式訓練3:已知函數f(x)=(1)畫出函數的圖象;(2)求f(1),f(-1),f的值.解:(1)分別作出f
9、(x)在x0,x=0,x0段上的圖象,如圖所示,作法略.小結歸納(2)f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1.1了解映射的概念,應緊扣定義,抓住任意性和唯一性2函數的解析式常用求法有:待定系數法、換元法(或湊配法)、解方程組法使用換元法時,要注意研究定義域的變化3在簡單實際問題中建立函數式,首先要選定變量,然后尋找等量關系,求得函數的解析式,還要注意定義域若函數在定義域的不同子集上的對應法則不同,可用分段函數來表示第2課時 函數的定義域和值域基礎過關一、定義域:1函數的定義域就是使函數式 的集合.2常見的三種題型確定定義域: 已知函數的解析式,就是 . 復合函數f g(x)的有關定
10、義域,就要保證內函數g(x)的 域是外函數f (x)的 域.實際應用問題的定義域,就是要使得 有意義的自變量的取值集合.二、值域:1函數yf (x)中,與自變量x的值 的集合.2常見函數的值域求法,就是優先考慮 ,取決于 ,常用的方法有:觀察法;配方法;反函數法;不等式法;單調性法;數形法;判別式法;有界性法;換元法(又分為 法和 法)例如: 形如y,可采用 法; y,可采用 法或 法; yaf (x)2bf (x)c,可采用 法; yx,可采用 法; yx,可采用 法; y可采用 法等.典型例題例1. 求下列函數的定義域:(1)y=; (2)y=; (3)y=.解:(1)由題意得化簡得即故函
11、數的定義域為x|x0且x-1.(2)由題意可得解得故函數的定義域為x|-x且x±.(3)要使函數有意義,必須有即x1,故函數的定義域為1,+).變式訓練1:求下列函數的定義域:(1)y=+(x-)10 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;解:(1)由得所以-3x2且x1.故所求函數的定義域為(-3,1)(1,2).(2)由得函數的定義域為(3)由,得借助于數軸,解這個不等式組,得函數的定義域為例2. 設函數y=f(x)的定義域為0,1,求下列函數的定義域.(1)y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解:(1
12、)03x1,故0x,y=f(3x)的定義域為0, .(2)仿(1)解得定義域為1,+).(3)由條件,y的定義域是f與定義域的交集.列出不等式組故y=f的定義域為.()由條件得討論:當即0a時,定義域為a,1-a;當即-a0時,定義域為-a,1+a.綜上所述:當0a時,定義域為a,1-a;當-a0時,定義域為-a,1+a.變式訓練2:若函數f(x)的定義域是0,1,則f(x+a)·f(x-a)(0a)的定義域是 ( ) A. B.a,1-a C.-a,1+a D.0,1解:B 例3. 求下列函數的值域:(1)y= (2)y=x-; (3)y=.解:(1)方法一 (配方法)y=1-而0
13、值域為.方法二 (判別式法)由y=得(y-1)y=1時,1.又R,必須=(1-y)2-4y(y-1)0.函數的值域為.(2)方法一 (單調性法)定義域,函數y=x,y=-均在上遞增,故y函數的值域為.方法二 (換元法)令=t,則t0,且x=y=-(t+1)2+1(t0),y(-,.(3)由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函數的值域為y|-1y1.變式訓練3:求下列函數的值域:(1)y=; (2)y=|x|.解:(1)(分離常數法)y=-,0,y-.故函數的值域是y|yR,且y-.(2)方法一 (換元法)1-x20,令x=sin,則有y=|sincos|=|sin2|,故函數值域為0,
14、.方法二 y=|x|·0y即函數的值域為.例4若函數f(x)=x2-x+a的定義域和值域均為1,b(b1),求a、b的值.解:f(x)=(x-1)2+a-. 其對稱軸為x=1,即1,b為f(x)的單調遞增區間.f(x)min=f(1)=a-=1 f(x)max=f(b)=b2-b+a=b 由解得 變式訓練4:已知函數f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).(1)求函數的值域為0,+)時的a的值;(2)若函數的值均為非負值,求函數f(a)=2-a|a+3|的值域.解: (1)函數的值域為0,+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.(2)對一切xR,函數
15、值均非負,=8(2a2-a-3)0-1a,a+30,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).二次函數f(a)在上單調遞減,f(a)min=f=-,f(a)max=f(-1)=4,f(a)的值域為.小結歸納1求函數的定義域一般有三類問題:一是給出解釋式(如例1),應抓住使整個解式有意義的自變量的集合;二是未給出解析式(如例2),就應抓住內函數的值域就是外函數的定義域;三是實際問題,此時函數的定義域除使解析式有意義外,還應使實際問題或幾何問題有意義.2求函數的值域沒有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、單調性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、
16、圖象法)外,應根據問題的不同特點,綜合而靈活地選擇方法.第3課時 函數的單調性基礎過關一、單調性1定義:如果函數yf (x)對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1、<x2時,都有 ,則稱f (x)在這個區間上是增函數,而這個區間稱函數的一個 ;都有 ,則稱f (x)在這個區間上是減函數,而這個區間稱函數的一個 .若函數f(x)在整個定義域l內只有唯一的一個單調區間,則f(x)稱為 .2判斷單調性的方法:(1) 定義法,其步驟為: ; ; .(2) 導數法,若函數yf (x)在定義域內的某個區間上可導,若 ,則f (x)在這個區間上是增函數;若 ,則f (x)在
17、這個區間上是減函數.二、單調性的有關結論1若f (x), g(x)均為增(減)函數,則f (x)g(x) 函數;2若f (x)為增(減)函數,則f (x)為 ;3互為反函數的兩個函數有 的單調性;4復合函數yf g(x)是定義在M上的函數,若f (x)與g(x)的單調相同,則f g(x)為 ,若f (x), g(x)的單調性相反,則f g(x)為 .5奇函數在其對稱區間上的單調性 ,偶函數在其對稱區間上的單調性 .典型例題例1. 已知函數f(x)=ax+ (a1),證明:函數f(x)在(-1,+)上為增函數.證明 方法一 任取x1,x2(-1,+),不妨設x1x2,則x2-x10, 1且0,,
18、又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=+0,故函數f(x)在(-1,+)上為增函數.方法二 f(x)=ax+1-(a1),求導數得=axlna+,a1,當x-1時,axlna0,0,0在(-1,+)上恒成立,則f(x)在(-1,+)上為增函數.方法三 a1,y=ax為增函數,又y=,在(-1,+)上也是增函數.y=ax+在(-1,+)上為增函數.變式訓練1:討論函數f(x)=x+(a0)的單調性.解:方法一 顯然f(x)為奇函數,所以先討論函數f(x)在(0,+)上的單調性,設x1x20,則f(x1)-f(x2) =(x1+)-(x2+)=(x1-x2)·(1-)
19、.當0x2x1時,1,則f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,上是減函數.當x1x2時,01,則f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在,+)上是增函數.f(x)是奇函數,f(x)分別在(-,-、,+)上為增函數;f(x)分別在-,0)、(0,上為減函數.方法二 由=1-=0可得x=±當x或x-時,0f(x)分別在(,+)、(-,-上是增函數.同理0x或-x0時,0即f(x)分別在(0,、-,0)上是減函數.例2. 判斷函數f(x)=在定義域上的單調性.解: 函數的定義域為x|x-1或x1,則f(x)= ,可分解成兩個簡單函數.f(
20、x)= =x2-1的形式.當x1時,u(x)為增函數,為增函數.f(x)=在1,+)上為增函數.當x-1時,u(x)為減函數,為減函數,f(x)=在(-,-1上為減函數.變式訓練2:求函數y=(4x-x2)的單調區間.解: 由4x-x20,得函數的定義域是(0,4).令t=4x-x2,則y=t.t=4x-x2=-(x-2)2+4,t=4x-x2的單調減區間是2,4),增區間是(0,2.又y=t在(0,+)上是減函數,函數y=(4x-x2)的單調減區間是(0,2,單調增區間是2,4).例3. 求下列函數的最值與值域:(1)y=4-; (2)y=x+;(3)y=.解:(1)由3+2x-x20得函數
21、定義域為-1,3,又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0,4,0,2,從而,當x=1時,ymin=2,當x=-1或x=3時,ymax=4.故值域為2,4. (2)方法一 函數y=x+是定義域為x|x0上的奇函數,故其圖象關于原點對稱,故只討論x0時,即可知x0時的最值.當x0時,y=x+2=4,等號當且僅當x=2時取得.當x0時,y-4,等號當且僅當x=-2時取得.綜上函數的值域為(-,-44,+),無最值.方法二 任取x1,x2,且x1x2,因為f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以當x-2或x2時,f(x)遞增,當-2x0或0x2時,f(x)遞減.故x=-2時,f(x)最大
22、值=f(-2)=-4,x=2時,f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函數的值域為(-,-44,+),無最大(小)值.(3)將函數式變形為y=,可視為動點M(x,0)與定點A(0,1)、B(2,-2)距離之和,連結AB,則直線AB與x軸的交點(橫坐標)即為所求的最小值點.ymin=|AB|=,可求得x=時,ymin=.顯然無最大值.故值域為,+).變式訓練3:在經濟學中,函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產100臺報警系統裝置,生產x(x0)臺的收入函數為R(x)=3 000x-20x2 (單位:元),其成本函數為C(x)=500x+4
23、000(單位:元),利潤是收入與成本之差.(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x);(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相同的最大值?解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000(x1,100且xN,)MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x (x1,100且xN).(2)P(x)=-20(x-2+74 125,當x=62或63時,P(x)max=74 120(元).因為MP
24、(x)=2 480-40x是減函數,所以當x=1時,MP(x)max=2 440(元).因此,利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)不具有相同的最大值.例4(2009·廣西河池模擬)已知定義在區間(0,+)上的函數f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2),且當x1時,f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的單調性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解:(1)令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2(0,+),且x1x2,則1,由于當x1時,f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(
25、x1)f(x2),所以函數f(x)在區間(0,+)上是單調遞減函數.(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數f(x)在區間(0,+)上是單調遞減函數,由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集為x|x9或x-9.變式訓練4:函數f(x)對任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x0時,f(x)1.(1)求證:f(x)是R上的增函數;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解:(1)設x1,x2R,且x1x2,則x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(
26、x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函數. (2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3, 原不等式可化為f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函數,3m2-m-22, 小結歸納解得-1m,故解集為(-1,). 1證明一個函數在區間D上是增(減)函數的方法有:(1) 定義法.其過程是:作差變形判斷符號,而最常用的變形是將和、差形式的結構變為積的形式的結構;(2) 求導法.其過程是:求導判斷導函數的符號下結論.2確定函數單調區間的常用方法
27、有:(1)觀察法;(2)圖象法(即通過畫出函數圖象,觀察圖象,確定單調區間);(3)定義法;(4)求導法.注意:單調區間一定要在定義域內.3含有參量的函數的單調性問題,可分為兩類:一類是由參數的范圍判定其單調性;一類是給定單調性求參數范圍,其解法是由定義或導數法得到恒成立的不等式,結合定義域求出參數的取值范圍.第4課時 函數的奇偶性基礎過關1奇偶性: 定義:如果對于函數f (x)定義域內的任意x都有 ,則稱f (x)為奇函數;若 ,則稱f (x)為偶函數. 如果函數f (x)不具有上述性質,則f (x)不具有 . 如果函數同時具有上述兩條性質,則f (x) . 簡單性質:1) 圖象的對稱性質:
28、一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于 對稱;一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于 對稱.2) 函數f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于 對稱.2與函數周期有關的結論:已知條件中如果出現、或(、均為非零常數,),都可以得出的周期為 ;的圖象關于點中心對稱或的圖象關于直線軸對稱,均可以得到周期 典型例題例1. 判斷下列函數的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解:(1)x2-10且1-x20,x=±1,即f(x)的定義域是-1,1.f(1)=0,f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故
29、f(x)既是奇函數又是偶函數.(2)方法一 易知f(x)的定義域為R,又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函數.方法二 易知f(x)的定義域為R,又f(-x)+f(x)=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數.(3)由|x-2|0,得x2.f(x)的定義域x|x2關于原點不對稱,故f(x)為非奇非偶函數.變式訓練1:判斷下列各函數的奇偶性:(1)f(x)=(x-2);(2)f(x)=;(3)f(x)=解:(1)由0,得定義域為-2,2),關于原點不對稱,故f(x)為非奇非偶函數.(2)由得定義域
30、為(-1,0)(0,1).這時f(x)=.f(-x)=-f(x)為偶函數.(3)x-1時,f(x)=x+2,-x1,f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).x1時,f(x)=-x+2,-x-1,f(-x)=x+2=f(x).-1x1時,f(x)=0,-1-x1,f(-x)=0=f(x).對定義域內的每個x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函數.例2 已知函數f(x),當x,yR時,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求證:f(x)是奇函數;(2)如果xR+,f(x)0,并且f(1)=-,試求f(x)在區間-2,6上的最值.(1)證明: 函數定義域為R,其定義域關于原點對稱
31、.f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數.(2)解:方法一 設x,yR+,f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+y)-f(x)=f(y).xR+,f(x)0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在(0,+)上是減函數.又f(x)為奇函數,f(0)=0,f(x)在(-,+)上是減函數.f(-2)為最大值,f(6)為最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)
32、=2f(1)+f(2)=-3.所求f(x)在區間-2,6上的最大值為1,最小值為-3.方法二 設x1x2,且x1,x2R.則f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上單調遞減.f(-2)為最大值,f(6)為最小值.f(1)=-, f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f(1)+f(2)=-3.所求f(x)在區間-2,6上的最大值為1,最小值為-3.變式訓練2:已知f(x)是R上的奇函數,且當x(-,0)時,f(x)=-xlg(2-x),求f(x)
33、的解析式. 解:f(x)是奇函數,可得f(0)=-f(0),f(0)=0.當x0時,-x0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f(x)=xlg(2+x),即f(x)=-xlg(2+x) (x0).f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).例3 已知函數f(x)的定義域為R,且滿足f(x+2)=-f(x).(1)求證:f(x)是周期函數;(2)若f(x)為奇函數,且當0x1時,f(x)=x,求使f(x)=-在0,2 009上的所有x的個數.(1)證明: f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),f(x)是以4為周期的周期函數.(2)解: 當
34、0x1時,f(x)=x,設-1x0,則0-x1,f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函數,f(-x)=-f(x),-f(x)=-x,即f(x)= x. 故f(x)= x(-1x1) 又設1x3,則-1x-21,f(x-2)=(x-2), 又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-f(-x)=-f(x),-f(x)=(x-2),f(x)=-(x-2)(1x3). f(x)=由f(x)=-,解得x=-1.f(x)是以4為周期的周期函數.故f(x)=-的所有x=4n-1 (nZ). 令04n-12 009,則n,又nZ,1n502 (nZ),在0,2 009上共有502個x使f(x)
35、=-.變式訓練3:已知函數f(x)=x2+|x-a|+1,aR.(1)試判斷f(x)的奇偶性;(2)若-a,求f(x)的最小值.解:(1)當a=0時,函數f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時,f(x)為偶函數.當a0時,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此時,f(x) 為非奇非偶函數.(2)當xa時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函數f(x)在(-,a上單調遞減,從而函數f(x)在(-,a上的最小值為f(a)=a2+1.當xa時,函數f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-,故函數f(x
36、)在a,+)上單調遞增,從而函數f(x)在a,+)上的最小值為f(a)=a2+1. 綜上得,當-a時,函數f(x)的最小值為a2+1.小結歸納1奇偶性是某些函數具有的一種重要性質,對一個函數首先應判斷它是否具有這種性質. 判斷函數的奇偶性應首先檢驗函數的定義域是否關于原點對稱,然后根據奇偶性的定義判斷(或證明)函數是否具有奇偶性. 如果要證明一個函數不具有奇偶性,可以在定義域內找到一對非零實數a與a,驗證f(a)±f(a)0.2對于具有奇偶性的函數的性質的研究,我們可以重點研究y軸一側的性質,再根據其對稱性得到整個定義域上的性質.3函數的周期性:第一應從定義入手,第二應結合圖象理解.
37、第5課時 指數函數基礎過關1根式:(1) 定義:若,則稱為的次方根 當為奇數時,次方根記作_; 當為偶數時,負數沒有次方根,而正數有兩個次方根且互為相反數,記作_(a>0).(2) 性質: ; 當為奇數時,; 當為偶數時,_ 2指數:(1) 規定: a0 (a0); a-p ; .(2) 運算性質: (a>0, r、Q) (a>0, r、Q) (a>0, r、Q)注:上述性質對r、R均適用.3指數函數: 定義:函數 稱為指數函數,1) 函數的定義域為 ;2) 函數的值域為 ;3) 當_時函數為減函數,當_時為增函數. 函數圖像:1) 過點 ,圖象在 ;2) 指數函數以
38、為漸近線(當時,圖象向 無限接近軸,當時,圖象向 無限接近x軸);3)函數的圖象關于 對稱. 函數值的變化特征: 典型例題例1. 已知a=,b=9.求: (1) (2).解:(1)原式=.÷a·= =a.a=,原式=3.(2)方法一 化去負指數后解. a=a+b=方法二 利用運算性質解.a=a+b=變式訓練1:化簡下列各式(其中各字母均為正數):(1)(2)解:(1)原式=(2)原式=-例2. 函數f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關系是 ( )A.f(bx)f(cx) B.f(bx)f(cx)C.f(bx)
39、f(cx) D.大小關系隨x的不同而不同解:A變式訓練2:已知實數a、b滿足等式,下列五個關系式:0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的關系式有 ( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解:B例3. 求下列函數的定義域、值域及其單調區間:(1)f(x)=3;(2)g(x)=-(.解:(1)依題意x2-5x+40,解得x4或x1,f(x)的定義域是(-,14,+).令u=x(-,14,+),u0,即0,而f(x)=330=1,函數f(x)的值域是1,+).u=,當x(-,1時,u是減函數,當x4,+)時,u是增函數.而31,由復合函數的單調性可知,f(x)=3在(-,1上是
40、減函數,在4,+)上是增函數.故f(x)的增區間是4,+),減區間是(-,1.(2)由g(x)=-(函數的定義域為R,令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等號成立的條件是t=2,即g(x)9,等號成立的條件是(=2,即x=-1,g(x)的值域是(-,9.由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是減函數,要求g(x)的增區間實際上是求g(t)的減區間,求g(x)的減區間實際上是求g(t)的增區間.g(t)在(0,2上遞增,在2,+)上遞減,由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g(x)在-1,+)上遞減
41、,在(-,-1上遞增,故g(x)的單調遞增區間是(-,-1,單調遞減區間是-1,+).變式訓練3:求下列函數的單調遞增區間:(1)y=(;(2)y=2.解:(1)函數的定義域為R.令u=6+x-2x2,則y=(.二次函數u=6+x-2x2的對稱軸為x=,在區間,+)上,u=6+x-2x2是減函數,又函數y=(u是減函數,函數y=(在,+)上是增函數.故y=(單調遞增區間為,+).(2)令u=x2-x-6,則y=2u,二次函數u=x2-x-6的對稱軸是x=,在區間,+)上u=x2-x-6是增函數.又函數y=2u為增函數,函數y=2在區間,+)上是增函數.故函數y=2的單調遞增區間是,+).例4設
42、a0,f(x)=是R上的偶函數.(1)求a的值;(2)求證:f(x)在(0,+)上是增函數.(1)解: f(x)是R上的偶函數,f(-x)=f(x),(a-=0對一切x均成立,a-=0,而a0,a=1. (2)證明 在(0,+)上任取x1、x2,且x1x2, 則f(x1)-f(x2)= +-= ( x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, -10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,+)上是增函數. 變式訓練4:已知定義在R上的奇函數f(x)有最小正周期2,且當x(0,1)時,f(x)=. (1)求f(x)在-1,1上的解析式;(2)證明:f(x)在(0,
43、1)上是減函數.(1)解: 當x(-1,0)時,-x(0,1).f(x)是奇函數,f(x)=-f(-x)=-由f(0)=f(-0)=-f(0),且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在區間-1,1上,有f(x)=(2)證明 當x(0,1)時,f(x)=設0x1x21,則f(x1)-f(x2)=0x1x21,0,2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,1)上單調遞減.小結歸納1 a,abN,logaNb(其中N>0,a>0,a1)是同一數量關系的三種不同表示形式,因此在許多問題中需要熟練進行
44、它們之間的相互轉化,選擇最好的形式進行運算.在運算中,根式常常化為指數式比較方便,而對數式一般應化為同底.2處理指數函數的有關問題,要緊密聯系函數圖象,運用數形結合的思想進行求解.3含有參數的指數函數的討論問題是重點題型,解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.4含有指數的較復雜的函數問題大多數都以綜合形式出現,與其它函數(特別是二次函數)形成的函數問題,與方程、不等式、數列等內容形成的各類綜合問題等等,因此要注意知識的相互滲透或綜合.第6課時 對數函數基礎過關1對數:(1) 定義:如果,那么稱 為 ,記作 ,其中稱為對數的底,N稱為真數. 以10為底的對數稱為常用對數,記作
45、_ 以無理數為底的對數稱為自然對數,記作_(2) 基本性質: 真數N為 (負數和零無對數); ; ; 對數恒等式: (3) 運算性質: loga(MN)_; loga_; logaMn (nR). 換底公式:logaN (a>0,a1,m>0,m1,N>0) .2對數函數: 定義:函數 稱為對數函數,1) 函數的定義域為( ;2) 函數的值域為 ;3) 當_時,函數為減函數,當_時為增函數;4) 函數與函數 互為反函數. 1) 圖象經過點( ),圖象在 ;2) 對數函數以 為漸近線(當時,圖象向上無限接近y軸;當時,圖象向下無限接近y軸);4) 函數ylogax與 的圖象關于
46、x軸對稱 函數值的變化特征: 典型例題例1 計算:(1)(2)2(lg)2+lg·lg5+;(3)lg-lg+lg.解:(1)方法一 利用對數定義求值設=x,則(2+)x=2-=(2+)-1,x=-1.方法二 利用對數的運算性質求解= =(2+)-1=-1.(2)原式=lg(2lg+lg5)+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.(3)原式=(lg32-lg49)-lg8+lg245= (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)= lg10=.變式訓練1:化
47、簡求值.(1)log2+log212-log242-1;(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(3)(log32+log92)·(log43+log83).解:(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.(3)原式=(例2 比較下列各組數的大小.(1)log3與log5;(2)log1.10.7與log1.20.7;(3)已知logblogalogc,比較2b,2a,2c的大小關系.解:(1)log3log31=0,而log5log51=0,log3log5.(2)方法一 00.71,1.11.2,0,即由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二 作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象.如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)y=為減函數,且,bac,而y=2x是增函數,2b2a2c.變式訓
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