1、目 錄摘 要I1引言12矩陣間的三種關系12.1 矩陣的等價關系12.2 矩陣的合同關系22.3. 矩陣的相似關系23 矩陣的等價、合同和相似之間的聯系與區別33.1矩陣的相似與等價之間的關系與區別.43.2 矩陣的合同與等價之間的關系與區別.53.2 矩陣的合同與等價之間的關系與區別.54矩陣的等價、合同和相似的應用.64.1矩陣等價的應用.74.2矩陣相似的應用.94.3矩陣合同的應用.94.4三種關系在概率統計中的應用.105結論.12結束語.12參考文獻.13摘 要:本文主要了解矩陣的三種的關系的性質、聯系、區別及應用，總結它們之間的結論和定理并應用到各個相應的領域。并且詳細說明了三者

2、的相同點和不同點。關鍵字：矩陣的等價關系及應用，矩陣的相似關系及應用，矩陣的合同關系及應用1.引言高等代數中我們討論了矩陣的三種不同關系，它們分別為矩陣的等價、矩陣的相似和矩陣的合同等關系那么為了更好的掌握它們，我們不僅要了解它們的定義、性質還要了解它們間的異同點，總結它們的規律，并且要了解它們在各個領域的應用，我們需要更好的知道在什么條件下等價、合同、相似是可以相互轉化的，加什么條件才可以相互轉化，如果不能相互轉化，那么你能找到相應的特例嗎？另外，三種矩陣的應用你知道它具體應用到什么領域嗎?是如何應用的？2.矩陣的三種關系2.1矩陣的等價關系定義2.1.1 : 兩個矩陣等價的充要條件為：存在

3、可逆的階矩陣與可逆的 階矩陣，使得矩陣與等價必須具備的兩個條件：（1）矩陣與必為同型矩陣（不要求是方陣）.（2）存在 階可逆矩陣和階可逆矩陣, 使.2.1.2矩陣等價的性質：（1）反身性：即.（2）對稱性：若，則.（3）傳遞性：若，則.(4)A等價于B的充要條件是秩（A）=秩（B）(5)設A為m×n矩陣，秩（A）=r，則A等價于，即存在m級可逆矩陣P，n級可逆矩陣Q，使.(6)(Schur定理) 任何n級復方陣A必相似于上三角形矩陣，即A相似于其中為矩陣A的特征值.定理2.2.1： 若為矩陣，并且，則一定存在可逆矩陣（階）和（ 階），使，其中為階單位矩陣.推論2.2.1：設是兩矩陣，

4、則當且僅當.2.2 矩陣的合同關系定義2.2.1 ：設均為數域上的階方陣，若存在數域上的階可逆矩陣，使得,則稱矩陣為合同矩陣（若數域上階可逆矩陣為正交矩陣），由矩陣的合同關系，得出矩陣與合同必須同時具備的兩個條件：(1) 矩陣與不僅為同型矩陣而且是方陣.(2) 存在數域上的階矩陣,2.2.2矩陣合同的性質：（1）反身性：任意矩陣都與自身合同.（2）對稱性：如果與合同，那么也與合同.（3）傳遞性：如果與合同，又與合同，那么與合同.(4) 合同的兩矩陣有相同的二次型標準型.(5) 在數域上，任一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣.(6) 矩陣合同與數域有關.因此矩陣的合同關系也是等價關系，而且由定義可

5、以直接推得：合同矩陣的秩等.定理2.2.1 ：數域F上兩個二次型等價的充要條件是它們的矩陣合同.定理2.2.1 ：復數域上秩為的二次型，可以用適當的滿秩線性變換化為標準形：2.3. 矩陣的相似關系定義2.3.1 設均為數域上階方陣，若存在數域上階可逆矩陣使,則稱矩陣與為相似矩陣（若級可逆矩陣為正交陣，則稱與為正交相似矩陣）.由矩陣的相似關系，不難得到矩陣與相似，必須同時具備兩個條件(1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣(2) 在數域上階可逆矩陣，使得2.3.2相似矩陣的性質(1)反身性 : ;(2)對稱性 :由即得;（3）傳遞性: 和即得 (4) （其中是任意常數）；(5）；(6）若與相似，

6、則與相似（為正整數）；(7) 相似矩陣有相同的秩，而且，如果為滿秩矩陣，那么.即滿秩矩陣如果相似，那么它們的逆矩陣也相似.(8）相似的矩陣有相同的行列式；即：如果，則有：(9）相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；并且當它們可逆時，它們的逆矩陣相似；設，若可逆，則從而可逆.且與相似.若不可逆，則不可逆，即也不可逆.下面這個性質是一個重要的結論，因此我們把它寫成以下定理定理2.3.1 相似矩陣的特征值相同.推論2.3.1 相似矩陣有相同的跡3.矩陣的等價、合同和相似之間的聯系與區別3.1 矩陣的相似與等價之間的關系與區別定理3.1.1相似矩陣必為等價矩陣，但等價矩陣未必為相似矩陣證明： 設階方陣相

7、似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價但對于矩陣,等價，與并不相似，即等價矩陣未必相似但是當等價的矩陣滿足一定條件時，可以是相似的，如下面定理定理 3.1.2：對于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(與等價)，且 (為階單位矩陣)，則與相似證明： 設對于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價又知,若記 ,那么,也即,則矩陣也相似3.2 矩陣的合同與等價之間的關系與區別定理3.2.1：合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣證明： 設階方陣合同，由定義2得，存在階可逆矩陣，使得， 若記,則有因此由定義1得到階方陣等價但對于矩陣,等價，與并不合同，即等

8、價矩陣未必合同什么時候等價矩陣是合同的？只有當等價矩陣的正慣性指數相同時等價矩陣是合同矩陣3.3 矩陣的合同與相似之間的關系與區別合同矩陣未必是相似矩陣 例 單位矩陣 E 與 2E.兩個矩陣的正負慣性指數相同故合同但作為實對稱矩陣的特征值不同, 故不相似相似矩陣未必合同例如A與B相似，則存在可逆矩陣P使B=PBP,如果P的逆矩陣與P的轉置矩陣不相等，則相似矩陣不是合同矩陣定理3.3.1： 正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣證明：若存在一個正交矩陣,即使得即，同時有，所以與合同.同理可知，若存在一個正交矩陣，使得即與合同，則有定理3.3.2：如果與都是階實對稱矩陣，且有相同的特征

9、根則與既相似又合同證明：設與的特征根均為，由于與階實對稱矩陣，一定存在一個階正交矩陣 Q使得同時，一定能找到一個正交矩陣使得，從而有將上式兩邊左乘和右乘,得由于，有，所以，是正交矩陣，由定理知與相似定理3.3.3：若階矩陣與中只要有一個正交矩陣，則與相似且合同證明：不妨設是正交矩陣，則可逆，取U=A，有，則與相似，又知是正交陣，由合同矩陣的定義知與既相似又合同定理3.3.4：若與相似且又合同，與相似也合同，則有與 既相似又合同證明: 因為與,與相似，則存在可逆矩陣,，使，令，則且，故與相似又因為與合同，與合同，故存在可逆矩陣，令而故與合同4. 矩陣的等價、合同和相似在實際問題中的應用4.1矩陣

10、等價的應用例4.4.1試從等價標準形的角度給出齊次線性方程組的一種解法解 設A的秩等于r，存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使，于是線性方程組可化為，記，則原方程組等價于，即令，容易驗證都是的解，從而它們構成的一基礎解系 下面是具體的操作過程首先構造矩陣，然后對矩陣B作如下的初等變換：對A（即B的前m行）作初等的行變換，對B作初等的列變換，則經過有限次上述的初等變換后，B可變為，此時Q的后個列向量構成的一基礎解系試從等價標準形的角度給出非齊次線性方程組的一種解法解 下面僅給出具體的操作過程，至于其原理可按例19的方式得到首先構造矩陣，然后對矩陣B作如下形式的初等變換：對B的前m行作行的初等變換，

11、對B的前n列作列的初等變換，則經過有限次上述變換后，B可變為，記，此時可得如下的結論：有解當且僅當；當時，是的一個特解，是所對應的齊次線性方程組的一基礎解系試從等價標準形的角度給出可逆矩陣的逆矩陣的一種求法解 設A是個n階可逆陣，A的秩等于n，存在可逆陣P和Q，使，進而這給出了求逆矩陣的一種方法首先構造矩陣，然后對B進行如下形式的初等變換：對B的前n行進行初等的行變換，對B的前n列進行初等的列變換，則經過有限次上述變換后，B可變為，由此求得4.2矩陣相似的應用例4.2.1判斷矩陣 ， 是否相似？解： 對，的特征矩陣，分別作初等變換可得：=所以，有相同的初等因子，所以，相似.4.3矩陣合同的應用

12、例4.3.1設，。不難驗證：即矩陣A，B合同，但A的特征值為和；B的特征值為 1和。相似矩陣與合同矩陣還有著一定的內在聯系，即相似或合同的兩矩陣分別有相同的秩。另外，在一定條件下，兩者是等價的。若矩陣A，B正交相似時，則它們既是相似的又是合同的。本題說明矩陣相似與合同在一定條件下是相通的。例4.3.2 已知，。試判斷A，B，C中哪些矩 陣相似，哪些矩陣合同？解：矩陣A的秩和矩陣B,C的秩不等，故A不可能與B，C相似或合同，只有討論B， C了；A的秩為3，而B，C的秩為2，故A和B，C既不相似又不合同，又B的跡是8，而C的跡是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是對稱矩陣，而B不是，所以，B和C

13、也不合同。所以，矩陣A，B，C相互之間既不相似又不合同。4.4三種關系在概率統計中的應用例4.4.1 某公司對所生產的產品通過市場營銷調查得到的統計資料表明，已經使用本公司的產品客戶中有60%表示仍回繼續購買該公司產品，在尚未使用該產品的被調查者中，25%的客戶表示將購買該產品，目前該產品在市場的占有率60%，能否預測n年后該產品市場占有狀況？解：設第i年購買該公司產品的客戶為，不購買該公司產品的客戶為，則有，寫成矩陣的形式：，其中，令，則有，由得P的特征值=1，=0.35，分別解0，i=1,2，得到相應的特征向量為，令，則，于是，則，當n=5時，計算。這說明該產品市場占有率將由0.6下降到0

14、.385，因此該公司應根據這份預測報告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市產場占有率。例4.4.2某公司對職工進行分批脫產培訓，現有在崗職工8000人，脫產培訓2000人，計劃每年從在崗職工中抽調30%的人參加脫產培訓，而在培訓人員中讓60%的人結業回到工作崗位上，設年后在崗職工于脫產培訓人數分別為，記為向量，若職工總人數不變.求與的關系式，并寫成矩陣形式=；求，且當充分大時，求在崗職工人數與脫產培訓人數之比.解 ： （1）得=. （:1）（2）由（1）式可得=，其中，為計算，先求.由，對于=0.1，解（0.1-）x=0，得基礎解系.對于解，得基礎解系，令P=，則，.則 所以當充分大時，.例

15、4.4.3某公司對所生產的產品通過市場營銷調查得到的統計資料表明，已經使用本公司的產品客戶中有60%表示仍回繼續購買該公司產品，在尚未使用該產品的被調查者中，25%的客戶表示將購買該產品，目前該產品在市場的占有率為 60%，能否預測年后該產品市場占有狀況？解： 設第年購買該公司產品的客戶為，不購買該公司產品的客戶為，則有，寫成矩陣的形式其中，令，則有由，得的特征值分別解得到相應的特征向量為，則，于是，則，當時，計算.這說明該產品市場占有率將由0.6下降到0.385，因此該公司應根據這份預測報告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市產場占有率.結 論關于矩陣的等價、合同、相似的關系和應用，我們得

16、知了：1. 合同矩陣一定是等價矩陣，等價矩陣不一定是合同矩陣2. 相似矩陣一定是等價矩陣，等價矩陣不一定是相似矩陣3. 對于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(與等價)，且 (為階單位矩陣)，則與相似4. 等價矩陣的正慣性指數相同時等價矩陣是合同矩陣5. 如果與都是階實對稱矩陣，且有相同的特征根則與既相似又合同6. 若階矩陣與中只要有一個正交矩陣，則與相似且合同7. 相似矩陣的特征值相同.8. 相似矩陣有相同的跡.9.若與相似且又合同，與相似也合同，則有與 既相似又合同參考文獻1 智婕.矩陣的等價、相似、合同的聯系J.甘肅：牡丹江師范學院學報（自然科學版），2011:2-32 王曉玲.侯建文，矩陣的三種關系J.山西：山西太谷師范學學報，2003:1-23 張禾瑞.高等代數M.北京：高等教育出版社，1983.4 廖玉懷.矩陣的等價關系探究J.云南，云南文山學院數理系，2009，卷期頁碼5Zhiwen Han.Micha