1、第6講 與圓有關的定點、定值、最值與范圍問題一、填空題1已知實數x，y滿足則點(x，y)到圓(x2)2(y6)21上點的距離的最小值是_答案412已知x，y滿足x2y24x6y120，則x2y2最小值為_解析法一點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，故點(x，y)到原點距離的平方即x2y2最小值為(1)2142.法二設圓的參數方程為則x2y2144cos 6sin ，所以x2y2的最小值為14142.答案1423圓C的方程為(x2)2y24，圓M的方程為(x25cos )2(y5sin )21(R)過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F，則的最小值是_解析如圖所示，

2、連接CE，CF.由題意，可知圓心M(25cos ，5sin )，設則可得圓心M的軌跡方程為(x2)2y225，由圖，可知只有當M，P，C三點共線時，才能夠滿足最小，此時|PC|4，|EC|2，故|PE|PF|2，EPF60，則(2)2cos 606.答案64直線axby1與圓x2y21相交于A，B兩點(其中a，b是實數)，且AOB是直角三角形(O是坐標原點)，則點P(a，b)與點(0,1)之間的距離的最大值為_解析AOB是直角三角形等價于圓心(0,0)到直線axby1的距離等于，由點到直線的距離公式，得，即2a2b22，即a21且b，點P(a，b)與點(0,1)之間的距離為d ，因此當b時，d

3、取最大值，此時dmax1.答案15已知P是直線3x4y80上的動點，PA、PB是圓x2y22x2y10的切線，A、B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是_解析如圖所示，由題意，圓x2y22x2y10的圓心是C(1,1)，半徑為1，由PAPB易知四邊形PACB的面積(PAPB)PA，故PA最小時，四邊形PACB的面積最小由于PA，故PC最小時PA最小，此時CP垂直于直線3x4y80，P為垂足，PC3，PA2，所以四邊形PACB面積的最小值是2.答案26過圓x2y21上一點作圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，則AB的最小值為_解析設圓上的點為(x0，y0)，其中x00，y0

4、0，切線方程為x0xy0y1，分別令x0，y0，得A、B，所以AB2.答案27若圓C：(xa)2(y1)21在不等式xy10所表示的平面區域內，則a的最小值為_解析由題意，得解得a2.答案28過點P的直線l與圓C：(x1)2y24交于A、B兩點，當ACB最小時，直線l的方程為_解析因點P在圓C內，所以當AB長最小時，ACB最小，此時ABPC.由kPC2可得kAB.所以直線l的方程為2x4y30.答案2x4y309過直線xy20上一點P作圓O：x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標是_解析因為點P在直線xy20上，所以可設點P(x0，x02)，設其中一個切點為M.因為兩條切線

5、的夾角為60，所以OPM30.故在RtOPM中，有OP2OM2，所以OP24，即x(x02)24，解得x0.故點P的坐標是(，)答案(，)10若直線l：axby10始終平分圓M：x2y24x2y10的周長，則(a2)2(b2)2的最小值為_解析由題意，圓(x2)2(y1)24的圓心(2，1)在直線axby10上，所以2ab10，即2ab10.因為表示點(a，b)與(2,2)的距離，所以的最小值為，即(a2)2(b2)2的最小值為5.答案5二、解答題11已知以點C(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設直線y2x4與圓C

6、交于點M，N，若OMON，求圓C的方程(1)證明圓C過原點O，OC2t2.設圓C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOABOAOB|2t|4，即OAB的面積為定值(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC，直線OC的方程是y.t，解得t2或t2.當t2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC，此時圓心C到直線y2x4的距離d，圓C與直線y2x4相交于兩點當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，OC，此時圓心C到直線y2x4的距離d，圓C與直線y2x4相離，t2不符合題意舍去圓C的方程為(x2)2(y1)25.12已知圓C的方程為(x4)

7、2y216，直線l過圓心且垂直于x軸，其中G點在圓上，F點坐標為(6,0)(1)若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；(2)在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由解(1)由題意，設G(5，yG)，代入(x4)2y216，得yG，所以FG的斜率為k，FG的方程為y(x6)設圓心C(4,0)到FG的距離為d，由點到直線的距離公式得d.則直線FG被圓C截得的弦長為27.故直線FG被圓C截得的弦長為7.(2)設P(s，t)，G(x0，y0)，則由，得，整理得3(xy)(482s)x02ty0144s2t2

8、0.又G(x0，y0)在圓C：(x4)2y216上，所以xy8x00.將代入，得(2s24)x02ty0144s2t20.又由G(x0，y0)為圓C上任意一點可知，解得s12，t0.所以在平面上存在定點P(12,0)，使得結論成立13已知C過點P(1,1)，且與M：(x2)2(y2)2r2(r0)關于直線xy20對稱(1)求C的方程；(2)設Q為C上的一個動點，求的最小值；(3)過點P作兩條相異直線分別與C相交于A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由解(1)設圓心C(a，b)，則有 解得則圓C的方程為x2y2r2，將點P的坐標代入，得r

9、22.故圓C的方程為x2y22.(2)設Q(x，y)，則x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.所以的最小值為4.(也可由線性規劃或三角代換求得)(3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，故可設PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因為點P的橫坐標x1一定是該方程的解，故可得xA.同理，xB.所以kAB1kOP.所以直線AB和OP一定平行14. 如圖，橢圓E：1(ab0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e.過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且ABF2的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設動直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由解(1)|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，4a8，a2.又e，即，c1，b.故橢圓E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，P.由得Q(4