1、17、（2013牡丹江）如圖，在ABC中A=60°，BMAC于點M，CNAB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：PM=PN；PMN為等邊三角形；當ABC=45°時，BN=PC其中正確的個數是（）A1個B2個C3個D4個考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線3718684分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；先證明ABMACN，再根據相似三角形的對應邊成比例可判斷正確；先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出ABM=ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出BCN+CBM=60°，然后根據

2、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出BPN+CPM=120°，從而得到MPN=60°，又由得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確；當ABC=45°時，BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷正確解答：解：BMAC于點M，CNAB于點N，P為BC邊的中點，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正確；在ABM與ACN中，A=A，AMB=ANC=90°，ABMACN，正確；A=60°，BMAC于點M，CNAB于點N，ABM=ACN=30°，在ABC中，BCN+

3、CBM180°60°30°×2=60°，點P是BC的中點，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=2×60°=120°，MPN=60°，PMN是等邊三角形，正確；當ABC=45°時，CNAB于點N，BNC=90°，BCN=45°，BN=CN，P為BC邊的中點，PNBC，BPN為等腰直角三角形BN=PB=PC，正確故選D點評：本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，

4、相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，仔細分析圖形并熟練掌握性質是解題的關鍵39、（2013成都市）如圖，點在線段AC上，點D,E在AC同側，AD=BC.（1）求證：AC=AD+CE;（2）若AD=3,CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作，交直線BE于點Q.i)若點P與A,B兩點不重合，求的值；ii)當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長。（直接寫出結果，不必寫出解答 ）。解析：（1）證明：A=C=90°DBBE有ADB+ABD=90°以及ABD+EBC=90°ADB=EBC 又AD

5、=BCRtADBRtEBC AB=ECAC=AB+BC=EC+AD（2） ）連結DQ, DPQ=DBQ=90°, D,PB,Q四點共圓.且DQ為該圓直徑，那么就有DQP=DBPRtDPQRtDAB)P到AC中點時，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5 由. 又 即為中點運動軌跡。41、（2013徐州）如圖，在RtABC中，C=90°，翻折C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）（1）若CEF與ABC相似當AC=BC=2時，AD的長為；當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5；（2）當點D是AB的中點時，CEF與ABC相似嗎？

6、請說明理由考點：相似三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）分析：（1）若CEF與ABC相似當AC=BC=2時，ABC為等腰直角三角形；當AC=3，BC=4時，分兩種情況：（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時EFAB，CD為AB邊上的高；（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示由相似三角形角之間的關系，可以推出A=ECD與B=FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點；（2）當點D是AB的中點時，CEF與ABC相似可以推出CFE=A，C=C，從而可以證明兩個三角形相似解答：解：（1）若CEF與ABC相似當AC=BC=2時，ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示此時D為AB邊

7、中點，AD=AC=當AC=3，BC=4時，有兩種情況：（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示CE：CF=AC：BC，EFBC由折疊性質可知，CDEF，CDAB，即此時CD為AB邊上的高在RtABC中，AC=3，BC=4，BC=5，cosA=AD=ACcosA=3×=1.8；（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示CEFCAB，CEF=B由折疊性質可知，CEF+ECD=90°，又A+B=90°，A=ECD，AD=CD同理可得：B=FCD，CD=BD，此時AD=AB=×5=2.5綜上所述，當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5（2）當點D是AB

8、的中點時，CEF與ABC相似理由如下：如答圖3所示，連接CD，與EF交于點QCD是RtABC的中線，CD=DB=AB，DCB=B由折疊性質可知，CQF=DQF=90°，DCB+CFE=90°，B+A=90°，CFE=A，又C=C，CEFCBA點評：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質第（1）問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意46、（2013蘇州）如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G（1）求證：APBAPD；（2）已知DF：FA=

9、1：2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y求y與x的函數關系式；當x=6時，求線段FG的長考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；菱形的性質3718684分析：（1）根據菱形的性質得出DAP=PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出APBAPD；（2）首先證明DFPBEP，進而得出=，=，進而得出=，即=，即可得出答案；根據中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進而得出=，求出即可解答：（1）證明：點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，DAP=PAB，AD=AB，在APB和APD中，APBAPD（SAS）；（2）解：APBAPD，DP=PB，ADP=ABP，在DFP和

10、BEP中，DFPBEP（ASA），PF=PE，DF=BE，GDAB，=，DF：FA=1：2，=，=，=，=，即=，y=x；當x=6時，y=×6=4，PF=PE=4，DP=PB=6，=，=，解得：FG=5，故線段FG的長為5點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據平行關系得出=，=是解題關鍵47、（2013衢州）【提出問題】（1）如圖1，在等邊ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊AMN，連結CN求證：ABC=ACN【類比探究】（2）如圖2，在等邊ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條

11、件不變，（1）中結論ABC=ACN還成立嗎？請說明理由【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMN=ABC連結CN試探究ABC與ACN的數量關系，并說明理由考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質分析：（1）利用SAS可證明BAMCAN，繼而得出結論；（2）也可以通過證明BAMCAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣（3）首先得出BAC=MAN，從而判定ABCAMN，得到=，根據BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，得到BAM=CAN，從而判定BAMCAN，得出

12、結論解答：（1）證明：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解：結論ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，頂角ABC=AMN，底角BAC=MAN，ABCAMN，=，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN點評：本

13、題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質證明結論48、（2013紹興）在ABC中，CAB=90°，ADBC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上（1）如圖1，AC：AB=1：2，EFCB，求證：EF=CD（2）如圖2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質3718684分析：（1）根據同角的余角相等得出CAD=B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明ACDBEF，即可得出EF=C

14、D；（2）作EHAD于H，EQBC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出QEH=90°，則FEQ=GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明EFQEGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ=BE，在AEH中，根據余弦函數的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值解答：（1）證明：如圖1，在ABC中，CAB=90°，ADBC于點D，CAD=B=90°ACBAC：AB=1：2，AB=2AC，點E為AB的中點，AB=2BE，AC=BE在ACD與BEF中，ACDBEF，CD=EF，即EF=CD；（2）解：如圖2，作EHA

15、D于H，EQBC于Q，EHAD，EQBC，ADBC，四邊形EQDH是矩形，QEH=90°，FEQ=GEH=90°QEG，又EQF=EHG=90°，EFQEGH，EF：EG=EQ：EHAC：AB=1：，CAB=90°，B=30°在BEQ中，BQE=90°，sinB=，EQ=BE在AEH中，AHE=90°，AEH=B=30°，cosAEH=，EH=AE點E為AB的中點，BE=AE，EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，解直角三角形，綜合

16、性較強，有一定難度解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形50、(2013年廣東省9分、25壓軸題)有一副直角三角板,在三角板ABC中,BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,FDE=90°,DF=4,DE=.將這副直角三角板按如題25圖(1)所示位置擺放,點B與點F重合,直角邊BA與FD在同一條直線上.現固定三角板ABC,將三角板DEF沿射線BA方向平行移動,當點F運動到點A時停止運動. (1)如題25圖(2),當三角板DEF運動到點D與點A重合時,設EF與BC交于點M,則EMC=_度；(2)如題25圖（3），在三角板DEF運動過程中,

17、當EF經過點C時,求FC的長;(3)在三角板DEF運動過程中,設BF=,兩塊三角板重疊部分面積為,求與的函數解析式,并求出對應的取值范圍.解析：（1）15；（2）在RtCFA中,AC=6,ACF=E=30°,FC=6÷(3)如圖(4),設過點M作MNAB于點N,則MNDE,NMB=B=45°,NB=NM,NF=NB-FB=MN-xMNDEFMNFED,即，當時,如圖(4) ,設DE與BC相交于點G ,則DG=DB=4+x即;題25圖(4)當時,如圖(5),即;題25圖(5)當時, 如圖(6) 設AC與EF交于點H，AF=6x，AHF=E=30°AH=綜上

18、所述，當時，當，當時，51、（2013遵義）如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0t2.5）（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與ABC相似？（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由考點：相似形綜合題3718684分析：根據勾股定理求得AB=5cm（1）分類討論：AMPABC和APMABC兩種情況利用相似三角形

19、的對應邊成比例來求t的值；（2）如圖，過點P作PHBC于點H，構造平行線PHAC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據“S=SABCSBPH”列出S與t的關系式S=（t）2+（0t2.5），則由二次函數最值的求法即可得到S的最小值解答：解：如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm根據勾股定理，得=5cm（1）以A，P，M為頂點的三角形與ABC相似，分兩種情況：當AMPABC時，=，即=，解得t=；當APMABC時，=，即=，解得t=0（不合題意，舍去）；綜上所述，當t=時，以A、P、M為頂點的三角形與ABC相似；（2）存在某一時刻t，使四邊形APN

20、C的面積S有最小值理由如下：假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值如圖，過點P作PHBC于點H則PHAC，=，即=，PH=t，S=SABCSBPH，=×3×4×（3t）t，=（t）2+（0t2.5）0，S有最小值當t=時，S最小值=答：當t=時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例，二次函數最值的求法以及三角形面積公式解答（1）題時，一定要分類討論，以防漏解另外，利用相似三角形的對應邊成比例解題時，務必找準對應邊52、（2013泰州）如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D

21、不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，M為PQ中點（1）求證：ADPABQ；（2）若AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設DP=x，BM2=y，求y與x的函數關系式，并求線段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍考點：相似形綜合題分析：（1）由對應兩角相等，證明兩個三角形相似；（2）如解答圖所示，過點M作MNQC于點N，由此構造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數關系式，這是一個二次函數，求出其最小值；（3）如解答圖所示，當點M落在矩形ABCD外部時，須滿

22、足的條件是“BEMN”分別求出BE與MN的表達式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍解答：（1）證明：QAP=BAD=90°，QAB=PAD，又ABQ=ADP=90°，ADPABQ（2）解：ADPABQ，即，解得QB=2xDP=x，CD=AB=20，PC=CDDP=20x如解答圖所示，過點M作MNQC于點N，MNQC，CDQC，點M為PQ中點，點N為QC中點，MN為中位線，MN=PC=（20x）=10x，BN=QCBC=（BC+QB）BC=（10+2x）10=x5在RtBMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10x）2+（x5）2=x220x+125，y=x220

23、x+125（0x20）y=x220x+125=（x4）2+45，當x=4即DP=4時，y取得最小值為45，BM的最小值為=（3）解：設PQ與AB交于點E如解答圖所示，點M落在矩形ABCD外部，須滿足的條件是BEMNADPABQ，即，解得QB=aABCD，QBEQCP，即，解得BE=MN為中位線，MN=PC=（a8）BEMN，（a8），解得a12.5當點M落在矩形ABCD外部時，a的取值范圍為：a12.5點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、中位線、勾股定理、二次函數的最值、解一元一次不等式等知識點，涉及考點較多，有一定的難度解題關鍵是：第（2）問中，由BM2=y，容易聯想到直角三角形與勾

24、股定理；由最值容易聯想到二次函數；第（3）問中需要明確“點M落在矩形ABCD外部”所要滿足的條件54、（2013泰安）如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90°，E為AB的中點，（1）求證：AC2=ABAD；（2）求證：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值考點：相似三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線分析：（1）由AC平分DAB，ADC=ACB=90°，可證得ADCACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=ABAD；（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得DAC=

25、ECA，得到CEAD；（3）易證得AFDCFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值解答：（1）證明：AC平分DAB，DAC=CAB，ADC=ACB=90°，ADCACB，AD：AC=AC：AB，AC2=ABAD；（2）證明：E為AB的中點，CE=AB=AE，EAC=ECA，DAC=CAB，DAC=ECA，CEAD；（3）解：CEAD，AFDCFE，AD：CE=AF：CF，CE=AB，CE=×6=3，AD=4，點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用55、（2013蘇州）如圖，點O為矩形ABCD

26、的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動在運動過程中，EBF關于直線EF的對稱圖形是EBF設點E、F、G運動的時間為t（單位：s）（1）當t=2.5s時，四邊形EBFB為正方形；（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；（3）是否存在實數t，使得點B與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由考點：相似形綜合題3718684分析

27、：（1）利用正方形的性質，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）EBF與FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；（3）本問為存在型問題假設存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在解答：解：（1）若四邊形EBFB為正方形，則BE=BF，即：10t=3t，解得t=2.5；（2）分兩種情況，討論如下：若EBFFCG，則有，即，解得：t=2.8；若EBFGCF，則有，即，解得：t=142（不合題意，舍去）或t=14+2當t=2.8s或t=（14+2）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似（3）假設存在實數t，使得點B與點O重合如

28、圖，過點O作OMBC于點M，則在RtOFM中，OF=BF=3t，FM=BCBF=63t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（63t）2=（3t）2解得：t=；過點O作ONAB于點N，則在RtOEN中，OE=BE=10t，EN=BEBN=10t5=5t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5t）2=（10t）2解得：t=3.93.9，不存在實數t，使得點B與點O重合點評：本題為運動型綜合題，考查了矩形性質、軸對稱、相似三角形的判定性質、勾股定理、解方程等知識點題目并不復雜，但需要仔細分析題意，認真作答第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問

29、是存在型問題，可以先假設存在，然后通過推導出互相矛盾的結論，從而判定不存在56、（2013包頭）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F（1）如圖，當時，求的值；（2）如圖當DE平分CDB時，求證：AF=OA；（3）如圖，當點E是BC的中點時，過點F作FGBC于點G，求證：CG=BG考點：相似形綜合題3718684分析：（1）利用相似三角形的性質求得EF于DF的比值，依據CEF和CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理證得ADF=AFD，可以證得AD=AF，在直角AOD中，利用勾股定理可以

30、證得；（3）連接OE，易證OE是BCD的中位線，然后根據FGC是等腰直角三角形，易證EGFECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得解答：（1）解：=，=四邊形ABCD是正方形，ADBC，AD=BC，CEFADF，=，=，=；（2）證明：DE平分CDB，ODF=CDF，又AC、BD是正方形ABCD的對角線ADO=FCD=45°，AOD=90°，OA=OD，而ADF=ADO+ODF，AFD=FCD+CDF，ADF=AFD，AD=AF，在直角AOD中，根據勾股定理得：AD=OA，AF=OA（3）證明：連接OE點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點點O是BD的中點又點E

31、是BC的中點，OE是BCD的中位線，OECD，OE=CD，OFECFD=，=又FGBC，CDBC，FGCD，EGFECD，=在直角FGC中，GCF=45°CG=GF，又CD=BC，=，=CG=BG點評：本題是勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，理解正方形的性質是關鍵57、（2013哈爾濱）如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，A點的坐標為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C動點P從0點出發沿0C向C點運動，動點Q從B點出發沿BA向A點運動，P,Q兩點同時出發，速度均為1個單位秒。設運動時間為t秒

32、(1)求線段BC的長； (2)連接PQ交線段OB于點E，過點E作x軸的平行線交線段BC于點F。設線段EF的長為m，求m與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍： (3)在(2)的條件下，將BEF繞點B逆時針旋轉得到BE1F1,使點E的對應點E1落在線段AB上，點F的對應點是F1，E1F1交x軸于點G，連接PF、QG，當t為何值時，2BQ-PF= QG?考點：等邊三角形判定與性質、相似三角形判定與性質、直角三角形的判定、三角形內角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析：（1）由AOB為等邊三角形得ACB=OBC=300， 由此CO=OB=AB=OA=3，在RTABC中，AC為6 ，從而B

33、C= （2）過點Q作QN0B交x軸于點N，先證AQN為等邊三角形，從而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=tPN=t+t=2t，再由POEPNQ后 對應邊成比例計算得再由EF=BE易得出m與t之間的函數關系式(3)先證AEG為等邊三角形，再證QGA=900通過兩邊成比例夾角相等得FCPBCA 再用含t的式子表示BQ、PF、QG通過解方程求出解答：(1)解：如圖lAOB為等邊三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=900 ACB=300OBC=300ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3AC=6 BC=AC= (2)解：如圖l過點Q作QN0B交x軸于點NQNA=BOA

34、=600=QAN QN=QAAQN為等邊三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQ EFx軸BFE=BCO=FBE=300EF=BEm=BE=OB-OE(0<t<3)(3)解：如圖2 AEG=600=EAG GE1=GA AEG為等邊三角形l=2 3=4l+2+3+4=18002+3=900即QGA=900 EFOC FCP=BCA FCPBCA2BQPF=QG t=1當t=1 時，2BQPF=QG59、（2013咸寧）閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四

35、邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點解決問題：（1）如圖1，A=B=DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E；拓展探究：（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處若點E恰好是四邊形ABC

36、M的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系考點：相似形綜合題分析：（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明ADEBEC，所以問題得解（2）根據兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現，根據相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數量關系，從而可求出解解答：解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點理由：A=55°，ADE+DEA=125°DEC=55°，BEC+DEA=125°ADE=BEC（2分

37、）A=B，ADEBEC點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點（2）作圖如下：（3）點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，AEMBCEECM，BCE=ECM=AEM由折疊可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，BCE=BCD=30°，BE=CE=AB在RtBCE中，tanBCE=tan30°，點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，梯形的性質以及理解相似點和強相似點的概念等，從而可得到結論60、(2013年黃石)如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點。某數學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出

38、“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線.（1）如圖2，在中，°，的平分線交于點，請問點是否是邊上的黃金分割點，并證明你的結論；（2）若在（1）的條件下，如圖（3），請問直線是不是的黃金分割線，并證明你的結論；（3）如圖4，在直角梯形中，對角線、交于點，延長、交于點，連接交梯形上、下底于、兩點，請問直線是不是直角梯形的黃金分割線，并證明你的結論.EACBADBCACDHABBFCD圖1圖2圖3圖4···解析：解：（1）點是邊上的黃金分割點，理由如下：°，°平分

39、°°， 又是邊上的黃金分割點（3分）（2）直線是的黃金分割線，理由如下：設的邊上的高為，則，是的黃金分割點是的黃金分割線（3分）（3）不是直角梯形的黃金分割線 ， 由、 得 即 同理，由 ， 得 即 由、得 梯形與梯形上下底分別相等，高也相等梯形梯形梯形不是直角梯形的黃金分割線（3分）61、（2013天津）在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），點B（0，4），點E在OB上，且OAE=0BA（）如圖，求點E的坐標；（）如圖，將AEO沿x軸向右平移得到AEO，連接AB、BE設AA=m，其中0m2，試用含m的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值時點E的坐標；

40、當AB+BE取得最小值時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）考點：相似形綜合題3718684分析：（）根據相似三角形OAEOBA的對應邊成比例得到=，則易求OE=1，所以E（0，1）；（）如圖，連接EE在RtABO中，勾股定理得到AB2=（2m）2+42=m24m+20，在RtBEE中，利用勾股定理得到BE2=EE2+BE2=m2+9，則AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27所以由二次函數最值的求法知，當m=1即點E的坐標是（1，1）時，AB2+BE2取得最小值解答：解：（）如圖，點A（2，0），點B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90°，O

41、AEOBA，=，即=，解得，OE=1，點E的坐標為（0，1）；（）如圖，連接EE由題設知AA=m（0m2），則AO=2m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2m）2+42=m24m+20AEO是AEO沿x軸向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90°，EE=m又BE=OBOE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27當m=1時，AB2+BE2可以取得最小值，此時，點E的坐標是（1，1）如圖，過點A作ABx，并使AB=BE=3易證ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA當點B、A、B在同

42、一條直線上時，AB+BA最小，即此時AB+BE取得最小值易證ABAOBA，=，AA=×2=，EE=AA=，點E的坐標是（，1）點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平移的性質以及勾股定理等知識點此題難度較大，需要學生對知識有一個系統的掌握63、（2013淮安壓軸題）如圖，在ABC中，C=90°，BC=3，AB=5點P從點B出發，以每秒1個單位長度沿BCAB的方向運動；點Q從點C出發，以每秒2個單位沿CAB方向的運動，到達點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設運動時間為秒（1）當=7時，點P與點Q相遇；（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當為何值

43、時，PCQ為等腰三角形？（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設PCQ的面積為s平方單位求s與之間的函數關系式；當s最大時，過點P作直線交AB于點D，將ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的APD與PCQ重疊部分的面積考點：相似形綜合題3718684分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的長度，點P與點Q相遇一定是在P由B到A的過程中，利用方程即可求得；（2）分Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒，則可以分當0t2時，若PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，和當2t3時，若PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC兩種情況進行討論求得t的值；（3）在點Q從點B返回點

44、A的運動過程中，P一定在AC上，則PC的長度是t3，然后利用相似三角形的性質即可利用t表示出s的值，然后利用二次函數的性質即可求得t的值，從而求解解答：解：（1）在直角ABC中，AC=4，則Q從C到B經過的路程是9，需要的時間是4.5秒此時P運動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+54.5=7.5根據題意得：（t4.5）+2（t4.5）=7.5，解得：t=7（2）Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒則當0t2時，若PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3t=2t，解得：t=1當2t3時，若PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC（如圖1）則Q在PC的中垂線上，作QHAC，

45、則QH=PCAQHABC，在直角AQH中，AQ=2t4，則QH=AQ=PC=BCBP=3t，×（2t4）=3t，解得：t=；（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC=t3，BQ=2t9，即AQ=5（2t9）=142t同（2）可得：PCQ中，PC邊上的高是：（142t），故s=（2t9）×（142t）=（t2+10t2）故當t=5時，s有最大值，此時，P在AC的中點（如圖2）沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，PD一定是AC的中垂線則AP=AC=2，PD=BC=，則SAPD=APPD=×2×=AQ=142t=142×5=4

46、則PC邊上的高是：AQ=×4=則SPCQ=PC=×2×=故答案是：7點評：本題是相似三角形的性質，勾股定理、以及方程的綜合應用，正確進行分類討論是關鍵64、（2013婁底壓軸題）如圖，在ABC中，B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H（1）求證：；（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動（當矩形的邊PQ到達A點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與ABC重

47、疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍考點：相似形綜合題分析：（1）由相似三角形，列出比例關系式，即可證明；（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達式，然后利用二次函數求其最大面積；（3）本問是運動型問題，要點是弄清矩形EFPQ的運動過程：（I）當0t2時，如答圖所示，此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；（II）當2t4時，如答圖所示，此時重疊部分是一個三角形解答：（1）證明：矩形EFPQ，EFBC，AHFADC，EFBC，AEFABC，（2）解：B=45°，BD=AD=4，CD=BCBD=54=1EFBC，AEHABD，EFBC，AFHACD，即，EH=4HF，已知E

48、F=x，則EH=xB=45°，EQ=BQ=BDQD=BDEH=4xS矩形EFPQ=EFEQ=x（4x）=x2+4x=（x）2+5，當x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5（3）解：由（2）可知，當矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為，寬為4×=2在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：（I）當0t2時，如答圖所示設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H1，D1此時DD1=t，H1D1=2，HD1=HDDD1=2t，HH1=H1D1HD1=t，AH1=AHHH1=2t，KNEF，即，得KN=（2t）S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=（KN+EF）HH1

49、+EFEQ1= （2t）+×t+（2t）=t2+5；（II）當2t4時，如答圖所示設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D2此時DD2=t，AD2=ADDD2=4t，KNEF，即，得KN=5tS=SAKN=KNAD2=（5t）（4t）=t25t+10綜上所述，S與t的函數關系式為：S=65、（2013溫州壓軸題）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（6，0），B（0.8），點C的坐標為（0，m），過點C作CEAB于點E，點D為x軸上的一動點，連接CD，DE，以CD，DE為邊作CDEF（1）當0m8時，求CE的長（用含m的代數式表示）；（2）當m=3時，

50、是否存在點D，使CDEF的頂點F恰好落在y軸上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點D在整個運動過程中，若存在唯一的位置，使得CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值考點：相似形綜合題分析：（1）首先證明BCEBAO，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得；（2）證明EDABOA，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得；（3）分m0，m=0和m0三種情況進行討論，當m=0時，一定不成立，當m0時，分0m8和m8兩種情況，利用三角函數的定義即可求解當m0時，分點E與點A重合和點E與點A不重合時，兩種情況進行討論解答：解：（1）A（6，0），B（0，8）OA=6，OB=8AB=10，CEB=AOB=90°，又OBA=EBC，BCEBAO，=，即=，CE=m；（2）m=3，BC=8m=5，CE=m=3BE=4，AE=ABBE=6點F落在y軸上（如圖2）DEBO，EDABOA，=即=OD=，點D的坐標為（，0）（3）取CE的中