1、高中數學-4.2.1直線與圓的位置關系課件-新人教A版必修2 直線與圓有三種位置關系直線與圓有三種位置關系: (1)直線與圓直線與圓_,有兩個公共點有兩個公共點. (2)直線與圓直線與圓_,有一個公共點有一個公共點. (3)直線與圓直線與圓_,沒有公共點沒有公共點. 相交相交相切相切相離相離名名 師師 講講 解解 1.判斷直線與圓的位置關系的兩種方法判斷直線與圓的位置關系的兩種方法 (1)利用圓心到直線的距離利用圓心到直線的距離d與半徑與半徑r的大小判斷的大小判斷: dr相離相離. (2)聯立直線與圓的方程聯立直線與圓的方程,轉化為一元二次方程轉化為一元二次方程,利用判別式利用判別式“”進行判

2、斷進行判斷: 0相交相交,=0相切相切,r;圓圓C與與直線直線l相切相切d=r;圓圓C與直線與直線l相交相交d4,點點Q在圓外在圓外. 設切線方程為設切線方程為y=k(x-3),即即kx-y-3k=0. 直線與圓相切直線與圓相切, 圓心到直線的距離等于半徑圓心到直線的距離等于半徑. k= 所求切線方程為所求切線方程為y= 即即2| 3 |2.1kk25.525(3),5x2560.xy (3)設圓的切線方程為設圓的切線方程為y=-x+b,代入圓的方程代入圓的方程, 整理得整理得2x2-2bx+b2-4=0. 直線與圓相切直線與圓相切, =(-2b) 2-4 2(b2-4)=0. 解得解得b=

3、所求切線方程為所求切線方程為x+y 2 2.2 20. 規律技巧規律技巧:(2)也可由判別式法和求切點坐標的方法求切線也可由判別式法和求切點坐標的方法求切線方方 程程.(3)也可利用圓心到直線的距離等于半徑求切線方程也可利用圓心到直線的距離等于半徑求切線方程. 題型三題型三 弦長問題弦長問題 例例3:直線直線l經過點經過點P(5,5),且和圓且和圓C:x2+y2=25相交相交,截得弦長為截得弦長為 求求l的方程的方程. 分析分析:若直線若直線l的斜率不存在的斜率不存在,l:x=5與圓與圓C相切相切,可可知直線知直線l的斜率存在的斜率存在,設直線設直線l的方程為的方程為 y-5=k(x-5),再

4、根據弦長再根據弦長 得方程求得方程求k.4 5,4 5,AB 解法解法1:設直線設直線l的方程為的方程為y-5=k(x-5)且與圓且與圓C相相交于交于A(x1,y1),B(x2,y2), 兩邊平方,整理得2k2-5k+2=0. 解得 或k=2. 代入(1)知,0. 故直線l的方程為x-2y+5=0,或2x-y-5=0.1,2k 解法2:如右圖所示,OH是圓心到直線l的距離,OA是圓的半徑,AH是弦長AB的一半, 在RtAHO中,OA=5, 規律技巧規律技巧:關于弦長問題關于弦長問題,通常有兩種方法通常有兩種方法,其一稱其一稱為代數法為代數法,即將直線方程代入圓的方程即將直線方程代入圓的方程,消

5、去一個變消去一個變量量y(或或x),利用韋達定理利用韋達定理,代入兩點間距離公式求解代入兩點間距離公式求解.其二稱為幾何法其二稱為幾何法,即半弦長弦心距半徑組成直角即半弦長弦心距半徑組成直角三角形三角形,利用直角三角形求解利用直角三角形求解.本例說明幾何法比代本例說明幾何法比代數法簡便數法簡便. 變式訓練變式訓練3:求直線求直線l:3x+y-6=0被圓被圓x2+y2-2y-4=0截得的弦長截得的弦長. 消去消去y得得x2-3x+2=0, 解得解得x1=1,x2=2,y1=3,y2=0. 兩交點坐標兩交點坐標A(1,3),B(2,0), 弦長弦長22|(30)(2 1)10.AB 易錯探究 例4

6、:求過點P(6,-8)與圓C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直線方程. 錯解:將圓的方程配方,得(x-1) 2+(y-2) 2=25, 圓心C(1,2),半徑r=5. 易知點P(6,-8)在圓C外部,設切線方程為y+8=k(x-6),即kx-y-6k-8=0. 由圓心到切線的距離等于半徑得 解得 切線方程為 即3x+4y+14=0.2|268|5,1kkk3.4k 336 ()80,44xy錯因分析:事實上,從圓外一點作圓的切線有兩條錯解中只考慮了斜率存在的情況,忽略了斜率不存在時的切線,造成錯解. 正解:在錯解中補充上,另一條切線x=6即可.技技 能能 演演 練練基礎強化基礎強化1.

7、若直線若直線x+y+m=0與圓與圓x2+y2=m相切相切,則則m為為( ) A.0或或2 B.2 C. D.無解無解解析解析:依題意得依題意得 m2=2m,m0,m=2.答案答案:B2|,2mm 2.直線直線y=x-1上的點到圓上的點到圓x2+y2+4x-2y+4=0的最近距的最近距離為離為( ) 解析解析:圓心圓心(-2,1)到直線到直線y=x-1的距離是的距離是 直線上的點到圓的最近距離是直線上的點到圓的最近距離是 答案答案:C.2 2. 21.2 21.1ABCD| 2 1 1|2 2.2d 2 21. 3.若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交,則點P(a,b)的位置是( ) A.

8、在圓上B.在圓外 C.在圓內D.以上都有可能 解析:由題意可得 .點P(a,b)在圓外. 答案:B2211,ab221ab 4.設直線過點設直線過點(0,a),其斜率為其斜率為1,且與圓且與圓x2+y2=2相切相切,則則a的值為的值為( ) A. 4B. C. 2D. 解析解析:直線方程為直線方程為y-a=x,即即x-y+a=0.該直線與圓該直線與圓x2+y2=2相切相切, a= 2. 答案答案:C2 22|2,2a5.直線3x+4y-5=0與圓2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置關系是( ) A.相離 B.相切 C.相交且過圓心 D.相交不過圓心解析解析:將圓的方程配方得將圓的方程配方得

9、直線與圓相交且通過圓心直線與圓相交且通過圓心.答案答案:C 6.過點 的直線l將圓(x-2)2+y2=4分成兩段弧,當劣弧所對的圓心角最小時,直線l的斜率k=_. 解析:當直線l與過圓心(2,0)和點 的直線垂直時,直線l截得的劣弧最短,此時其對的圓心角最小,可求得(1,2)(1,2)2.2k 22 7.若直線y=x+k與曲線 恰有一個公共點,則k的取值范圍是_. 解析:利用數形結合法.21xy2( 1,1kk 或 8.求與直線y=x+3平行且與圓(x-2)2+(y-3) 2=8相切的直線方程. 解:方法1:設直線的方程為y=x+m, 即x-y+m=0. 圓(x-2) 2+(y-3) 2=8的

10、圓心坐標為(2,3),半徑為 由 得m=5或m=-3. 所以直線方程為y=x+5或y=x-3.2 2.|23|2 2,2m 方法2:設直線的方程為y=x+m,和圓的方程聯立 消去y得2x2+(2m-10)x+m2-6m+5=0, 由直線與圓相切, =(2m-10) 2-8(m2-6m+5)=0, 即m2-2m-15=0,解得m=5或m=-3, 所以直線的方程為y=x+5或y=x-3. 能力提升 9.在直線 上求一點P,使P到圓x2+y2=1的切線長最短,并求出此時切線的長. 解:設P(x0,y0),則切線長 故當P為 時,切線長最短,其值為2 20 xy22222000001(2 2)12(2

11、)3,Sxyxxx (2,2)3.10.求經過點P(6,-4),且被定圓x2+y2=20截得弦長為 直線的方程. 分析:充分利用半徑弦弦心距之間的關系. 解:如下圖所示, 作OCAB于C,6 2的6 2,2 5,ABOA 在RtOAC中,OC= 設所求直線的斜率為k,則直線的方程為 y+4=k(x-6), 即kx-y-6k-4=0. 圓心到直線的距離為 即17k2+24k+7=0. k1=-1,k2= 所求直線方程為x+y-2=0或7x+17y+26=0.220(3 2)2.2,2|64|2,1kk7.17品品 味味 高高 考考11.已知圓已知圓C與直線與直線x-y=0及及x-y-4=0都相切都相切,圓心在直線圓心在直線x+y=0上上,則圓則圓C的方程為的方程為( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析解析:圓心在直線圓心在直線x+y=0上知上知,排除排除C D.驗證當圓心驗證當圓心(1,-1)時時,適合題意適合題意,故選故選B答案答案:B12. 已