1、理論力學沖刺班義北京理工大學2015年北京理工大學0 / 43理論力學考研復習講義沖刺部分目 錄第一講2第二講13第三講27第四講34第一講進入沖刺階段已然說明我們至少開始了第二遍的復習，在此部分我們應注意把握總體。進行此次復習應抓住重點部分，結合第一遍的復習仔細回顧并且重點記憶薄弱部分。對于掌握部分要通過做題更加的得到鞏固，對于基本概念和做題過程的掌握要進一步加強。此階段課程的安排是首先對列舉重點難點部分，結合題來回顧，然后講述各章的重點部分，注意基本知識的掌握。最后通過習題的講解加深認識。理論力學靜力學 剛體在力系作用下平衡規律運動學 運動特性之間的幾何關系動力學 物體變化規律與其所受力之

2、間的關系理論力學上半部分重點運動學點的運動學：直角坐標法 弧坐標法剛體運動學：平動 定軸轉動 一般平面運動運動學剛體一般平面運動平面圖形上任意兩點的速度關系平面圖形上任意兩點的加速度關系平面圖形上點的速度分析方法1. 基點法2. 速度投影定理 不能求出剛體的角速度！3. 速度瞬心法 確定速度瞬心 P 點位置的方法1.已知平面圖形上A,B兩點的速度方向 a.兩點速度不相平行 b.兩點速度平行，AB連線不垂直于速度 2.已知平面圖形上A,B兩點的速度方向，且AB連線垂直于兩點上的速度方向 a.兩點速度大小不相同 b.兩點速度大小相同 3.平面圖形沿某固定曲線作純滾動運動學點的合成運動基本概念絕對運

3、動、牽連運動；動點、動系點的速度合成定理牽連運動為平動時的加速度合成定理(1) 動點的選擇-兩部件之間的接觸點（明確指明是哪個部件上的哪個點）-圓輪的圓心 -相交點(2) 動系的選擇 a.動點對動系一定要有相對運動(故動系不能固結于動點所在的剛體上) b.相對運動的軌跡要清楚2. 分析動點的絕對運動軌跡、相對運動軌跡及動系相對于定系的牽連運動狀態3. 對動點寫出速度合成關系 分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程選取合適的動點，動系(a) (b) (c) (d) (e)(f)(g)(h)靜力學基本概念力偶、約束和約束反力、受力分析；力系平衡與等效的基本性質，二力體（桿）力系的簡化主矢、主矩，

4、平面平行力系的簡化分布載荷力系的平衡平衡的充分必要條件平面任意力系平衡方程的形式（3 個獨立方程）(x , y 互不平行) （ x 不垂直于AB） （A、B、C 三點不共線）物系平衡（a）（b）（c）特殊的空間力系及獨立平衡方程個數（1） 空間匯交力系 3個獨立方程 （3） 空間力偶系 3個獨立方程 （3） 空間平行力系 3個獨立方程 平面任意力系的獨立平衡方程為3個 一矩式 二矩式 三矩式 對于單個剛體，在平面力系作用下的平衡問題，只能寫出3個獨立的平衡方程，求解3個未知量；當未知量超過3個時，問題無法求解。 特殊平面力系的平衡方程（1）平面匯交力系 2個獨立方程 （2）平面力偶系 1個獨立

5、方程 （3）平面平行力系 2個獨立方程理論力學上半部分各章重點回顧§1.關于點的速度、加速度3. 均為矢量有大小，有方向速度： 加速度：速度的大小： 加速度的大小：速度、加速度的方向：可畫圖用箭頭表示或（h）（i）（g）（f）（2）直角坐標表示方法：，（3）自然軸系表示方法（僅作為了解）§2 剛體的平面運動3. 剛體平面運動的形式剛體平面平動：剛體上各點的速度，加速度矢量相同剛體定軸轉動：剛體一般平面運動：滿足兩點速度關系，兩點加速度關系 剛體的整體運動學量：角位移角速度角加速度2.矢量法求解剛體平面運動3. 兩點速度關系， 矢量法即為應用兩點的速度關系求解任一瞬時剛體作平

6、面運動時的速度問題 一般的求解步驟 1.運動分析 2.速度分析 3.求解矢量方程： A.通過所作速度矢量圖的幾何關系求解未知量 B.建立坐標軸，對矢量方程進行投影求解未知量 (2)速度投影定理(3)速度瞬心法若剛體瞬時平動，則注意：速度瞬心點的加速度一般都不為零（如圓輪與地面的接觸點）(4)兩點加速度關系方向AB，與角加速度轉向一致 方向由B指向A求解平面圖形上某點的加速度（或剛體角加速度）的步驟：（1）分析系統中各剛體的運動狀態（平動？定軸轉動？一般平面運動？）。 （2）速度分析（求各有關點的速度及剛體角速度）。（3）加速度分析：選定基點A（常為加速度已知的點），由兩點加速度關系求未知點的加

7、速度或剛體角加速度。（4）也可利用定義 求角加速度。(5)當C為同一剛體上的A，B兩點的中點時：純滾動圓輪角速度、角加速度與輪心速度、加速度3. 在固定平面上純滾動若圓輪的角速度 w ，角加速度 a 則輪心O的速度、加速度：輪緣上任意M點的速度、加速度：方向 ，與 轉向一致 M，O兩點加速度關系注意速度瞬心P點的加速度：注意速度瞬心點 P 的加速度不為零。(2)在固定凸圓面上純滾動 (3)在固定凹圓面上純滾動輪心O點的速度、加速度 輪緣上任意M點的速度、加速度：方向 ，與 轉向一致 M，O兩點加速度關系§3 復合運動3. 動點動系的正確選擇兩條：1、動點相對于動系有相對運動2、動點的

8、相對運動軌跡應清楚2.點的復合運動基本關系速度合成關系其中牽連速度 的物理意義為：該瞬時動系上與動點M重合的點m（牽連點）的絕對速度。加速度合成關系加速度合成關系式中各量的物理意義：絕對加速度 -定系中動點的加速度相對加速度 - 動系中動點的加速度牽連加速度 -動系中與動點M重合的m點（牽連點）相對于定系的絕對加速度科氏加速度 -為動點的相對速度與動系的牽連角速度共同引起的附加加速度科氏加速度的大小科氏加速度的方向：由 的方向隨 we 的轉動方向旋轉90º后得到剛體的復合運動§5 靜力學基本概念 §6 力系的簡化3. 基本概念力，力偶，力偶矩，力矩：力對點之矩，力

9、對軸之矩2.取分離體畫受力圖注意(1)明確研究對象，將其取為分離體，畫出其上全部主動力和約束力。(2)要根據約束的特點畫出約束力，不要根據自己對物體運動狀態或平衡的想象畫約束力。(3)不要漏畫約束力或約束力偶（如固支端約束），(4)系統內部各物體間的相互作用力要體現出作用力與反作用力。3.力系向某一點簡化（該點為簡化中心）力系的主矢力系的主矩力系的第二不變量判斷力系的最簡形式平衡力系，合力，合力偶，螺旋（右手/左手）力系向不同的點簡化后的主矢為相同的矢量力系對不同點的主矩之間的關系：特別注意連續分布平行力系的簡化結果：連續分布平行力系合力的大小為分布圖形的面積合力的方向為平行力的方向合力的作用

10、線過圖形的形心第二講上述內容經典題圓盤純滾動， =常矢量求此時輪心O的速度和加速度如何選擇動點動系？（a）（b）注意兩種情形區別：桿與輪接觸相切還是僅為相接觸(c)(d)(e)(f)取分離體，畫分離體的受力圖選定研究對象，作為分離體從系統中分離出來；受力圖上包括該分離體所受的全部力（主動力、約束力）；約束力一定要根據約束條件本身的特點畫出；已知：求固支端的全部約束力及約束力偶圖示各機構均作平面運動，(1)找出各圖中每個剛體在圖示位置的速度瞬心；(2)指出各剛體角速度的轉向；(3)畫出M點的速度方向。直角折桿OAB可繞O軸轉動，OB=a，BM=b，試求圖示位置桿上M點的速度，加速度，并在圖中標出

11、其方向。如圖所示機構，桿OA角速度為 ，板ABC和桿OA及DC鉸接，問圖中OA 和AB線上各點的速度分布規律是否正確？以下圖示各個機構，試為其選擇適當的動點、動系，并說明你選擇的動系的牽連運動及動點的絕對運動軌跡和相對運動軌跡， 根據選擇的動點動系畫出動點速度合成關系、加速度合成關系中各矢量的方向。 圖示凸輪擺桿機構中，凸輪繞O軸轉動，角速度為 ，角加速度為 ，方向如圖，擺桿為直角彎桿，可繞B軸轉動，取桿上A點為動點，動系固連于凸輪。（1）畫出動點A的速度合成關系式中各速度矢量的方向。（2）畫出動點A的加速度合成關系式中各加速度矢量的方向。試畫出圖示結構各部分的分離體受力圖。圖示結構，A處為固

12、支端，D處為鉸支座，C處為光滑接觸，F=400N，C，B為各桿的中點，DE桿長為l=1m，不計各桿自重，求固支端A及鉸支座D處的約束力。一、圖示平面機構，半徑為r的圓盤C以勻角速度 沿水平地面向左作純滾動；桿AB的長度為 ，其A端與圓盤邊緣相鉸接，B端與可沿鉛垂滑道滑動的物塊B相鉸接。試求圖示位置物塊B的速度和加速度。 二、圖示平面機構，半徑為r的圓盤以勻角速度w 繞軸O逆時針轉動，桿BD的長度為 ，試求圖示位置桿BD的角速度和角加速度。三、圖示平面結構，由直桿AB、BC和直角彎桿CD相鉸接而成，其所受載荷及幾何尺寸如圖所示，且 ， ，若不計自重和各接觸處摩擦，試求固定端A及活動鉸支座C和D對

13、系統的約束力。 第三講力系的平衡和動能定理1 取分離體，畫分離體的受力圖選定研究對象，作為分離體從系統中分離出來；受力圖上包括該分離體所受的全部力（主動力、約束力）；約束力一定要根據約束條件本身的特點畫出；2 所取的分離體能夠提供的獨立平衡方程個數根據該分離體上所作用的力系的特點：平面任意力系：3個平面匯交力系：2個平面平行力系：2個平面力偶系：1個盡量利用矩方程，使得1個方程中只出現1個未知數靈活選取分離體：整體，單個剛體， 或幾個剛體的組合(當系統中有多個剛體時)3 物體系統的平衡問題正確分析受力，列平衡條件, 若有摩擦存在,判斷摩擦力可能的方向及是否為臨界狀態。求固支端的全部約束力及約束

14、力偶CABFa/2a/2MCD4 關于存在摩擦力（重點是靜滑動摩擦力）時的平衡問題1)根據主動力和其他約束力判斷運動趨勢；定出摩擦接觸點的靜滑動摩擦力方向；2)判斷是否為臨界平衡狀態，只有臨界狀態才有等式成立時必須判斷出摩擦力的正確方向。3)若為非臨界平衡狀態，則：當靜摩擦力的方向能夠判斷時有：當靜摩擦力的方向有兩種可能時：§7 作業補充題OA=r，已知力偶矩M，物塊B與地面摩擦因數為fs，不計自重，求系統平衡時F=？AOBMAOMBAB水平桿AB長為2r ,滑輪重Q=6P，半徑為 r ，重物E重P, 滑輪與CD間的摩擦系數為，各桿重不計，求滑輪受到的摩擦力及固定端O處的約束力。1.

15、力系的平衡方程特殊力系，獨立平衡方程個數的判斷；平面任意力系：3個獨立方程平面匯交力系：2個獨立方程平面平行力系：2個獨立方程2.物體系統的平衡問題求解靜定結構的約束力帶摩擦時剛體系統的平衡剛體系統平衡時的位置或主動力之間的關系桁架的內力3.利用平衡方程求解系統的平衡問題：(3)列投影平衡方程時注意各力或力矩的正負號。(4)有摩擦時，注意根據運動趨勢判斷摩擦力的方向,若有兩處摩擦，各處摩擦力方向應使運動趨勢相容；剛體處于臨界平衡狀態時，才有剛體僅處于平衡狀態時，或(當摩擦力的方向有兩種可能性時)剛體系統平衡問題的求解步驟1.求解思路（1）根據所求的未知約束力，先對待求未知力所涉及的剛體進行受力

16、分析(可先找出系統中的二力體,三力匯交體),畫出分離體所受的已知主動力、未知約束力(其中有些是待求的、有些是不必求的),分析未知力個數及每個分離體的獨立平衡方程個數。（2）若缺少方程，再對系統中的其他剛體（或幾個剛體一起）取分離體，引入新的未知力并分析增加的平衡方程個數。直到未知力個數與平衡方程個數相等。（3）對涉及的各分離體列出適當的平衡方程（注意各方程的獨立性,充分利用矩形式的方程），求出全部待求未知力。2.關于獨立的平衡方程個數一般，若列出的方程保證每個方程中只有一個未知力，則全部方程一定是相互獨立的。注意：剛體系統中如果每個剛體的平衡方程全部列出，則整體的平衡方程就成為恒等式，不再提供

17、獨立的方程。3.注意利用矩形式的平衡方程，可通過選擇適當的矩心使得方程中盡量少出現未知力。力系的平衡條件: 力系的主矢為零，對任意一點的主矩為零即 （7.1）對空間一般力系6個獨立的標量方程對平面一般力系3個獨立的標量方程力系的平衡問題要求重點掌握的內容平面力系作用下物體系統的平衡問題動能定理動能定理質點或質點系的動能改變量與作用力的功之間的數量關系。1. 質點的動能定理由牛頓第二定律有，兩邊點乘，左端右端（作用于質點上的合力 的元功）質點動能的微分等于作用于質點上的合力的元功質點動能定理的微分形式或寫為若質點從，沿路徑L從位置1位置2，則有：質點動能定理的積分形式質點在某一運動過程中動能的改

18、變量等于作用于質點上的合力在同一運動過程中所作的功。2. 質點系的動能定理質點系動能的微分等于作用于質點系上的全部力（外力和內力）的元功的代數和設在時間的過程中，質點系發生了某一運動，為運動過程中質點系的所有外力所作的功；為運動過程中質點系的所有內力所作的功，對式(19.23)積分得到：質點系動能定理的積分形式質點系的動能在某一運動過程中的改變量等于作用于質點系的所有外力和內力在同一運動過程中所作的功的代數和以上式中右端的功是全部外力和全部內力的功一般，系統的內力總是成對（大小相等，方向相反）出現，故內力作功之和為零；但也有成對的內力作功之和不為零，如：系統內的彈簧力，摩擦力等。3. 質點系的

19、力之功的計算（復習上冊§8.3）（1）重力的功重力的元功：從位置1 到位置2 重力作的有限功：（2）彈性力的功彈性力的元功：從位置1 到位置2 ， 彈性力作的有限功： （3）約束力的功對于理想約束，約束力均不作功（如：固定光滑曲面約束，不可伸長柔繩的約束，光滑固定鉸支座，光滑的中間鉸，純滾動時接觸點的摩擦力和法向反力）。DOA（4）作用在剛體上的主動力系的功設剛體受力系作用，作平面運動元功和有限功的計算方法 1 ： 元功和有限功的計算方法 任選A點力系的主矢 力系對A點的主矩 若選擇某時刻剛體的速度瞬心P則有：注意：由于速度瞬心不固定，上式一般不可積分得出有限功。若剛體平移，有：若剛

20、體繞某垂直于運動平面的 z 軸定軸轉動，有：（5）系統只受有勢力作功時只受有勢力（重力、彈性力），系統存在勢能 V ：動能定理的微分形式：故有勢系統的機械能守恒常數注意：系統的勢能數值與勢能零點有關，故寫出系統的勢能時應指明所選取的勢能零點。§19.4 動能定理的應用可解問題：已知全部作功的力求速度，角速度已知全部作功的力求加速度，角加速度（1）分析系統受力時，重點分析系統中全部作功的力（不要忘記彈性力），略去不作功的力（如理想約束的約束力）。（2）動能定理的積分形式中，動能改變量只與系統初終兩個狀態的速度、角速度有關，但力的功是一個積分計算，與中間過程有關。（3）若求系統中某點的加

21、速度或某剛體的角加速度，必須用動能定理的微分形式（4）系統的動能是系統相對于慣性系的動能，動能定理式中各速度、角速度量均為絕對速度、絕對角速度。§I9 動能定理 圖示滑輪系統的動、定滑輪均為半徑R的均質圓盤，重為P。滑輪上繞有質量忽略不計且不可伸長的細繩，其一端固定在A處，另一端接在一剛性系數為k的彈簧上。設系統開始處于靜止，彈簧并未變形。求：動滑輪質心c下落距離s 時，動滑輪輪心的速度。（滑輪軸心摩擦忽略不計）ABcokIIIsPP解：研究對象為滑輪系統，所受的約束為理想約束作功的力：重力，彈性力運動狀態：動滑輪作一般平面運動，定滑輪作定軸轉動應用動能定理，計算動能第四講動量原理和

22、達朗貝爾原理§20 動量原理 動量定理：系統的動量變化與外力的沖量之關系質心運動定理：系統質心的運動與外力系的主矢之關系動量矩定理：系統的動量矩變化與外力系的主矩之關系速度變化：大小變化（動能變化）力的功大小、方向變化（動量變化）力的沖量剛體的運動：質心平動力系的主矢繞質心轉動 力系的主矩20.1 動量1.質點的動量質點動量的本質：表示質點機械運動的強弱程度，是一個矢量，與速度的方向一致。當質點之間存在力的相互作用時，動量可描述質點之間機械運動的傳遞關系。2.質點系動量定義為各質點動量的矢量和：(質點系質心的矢徑公式)對時間求導得到：質點系動量等于想象地將質點系的質量都集中于質心時質

23、心的動量。3. 剛體與剛體系統的動量剛體的動量：剛體系統的動量：第i個剛體的質量；：第i個剛體的質心的速度；質點系的動量的特點：質點系動量是表示其質心運動的一個特征量，而質心運動只是質點系整體運動的一個部分。§20.2 沖量力的沖量度量力在一段時間內的積累效果。元沖將定義為任意力在微小時間間隔內的元沖量，并用表示，即：力的沖量：力系的沖量：將作用于質點系上各力 的沖量的矢量和定義為力系的沖量，其表達式為力系的沖量沖量的特點：（1）力系的沖量等于力系的主矢在同一時間間隔內的沖量。（2）由于內力系和力偶系的主矢均為零，故這兩種力系的沖量均為零。§20 動量原理owoMwLM(

24、)例 題 20-2OyxABD均質桿OD長l，質量為m1，均質桿AB長2l，質量為2m1，滑塊A，B質量均為m2，D為AB的中點，OD桿繞O軸以角速度轉動，當OD桿與水平方向的夾角為時，求系統的動量。OyxABD例 題 20-2P解： 系統包括四部分：滑塊A，B，桿AB，OD，1.求各剛體質心的速度OD桿定軸轉動：（方向垂直于OD）（方向垂直于OD）AB桿一般平面運動，速度瞬心為P：2.求系統的動量 p注意：為各剛體動量的矢量和 §20.3 動量定理1. 質點的動量定理當質點質量不變時，牛頓第二定律可寫為：物理意義：質點的動量的微分等于作用于其上的合力的元沖量，稱為質點動量定理的微分

25、形式。在時間間隔內積分：物理意義：質點在至時間間隔內動量的改變量等于作用于其上的合力在同一時間間隔內的沖量，稱為質點動量定理的積分形式。2.質點系動量定理物理意義：質點系動量的微分等于作用于其上的外力系主矢的元沖量，稱為質點系動量定理的微分形式。對上式積分質點系在至時間間隔內動量的改變量等于作用于其上的外力系的主矢在同一時間間隔內的沖量，稱為質點系動量定理的積分形式。3.動量定理的投影式動量定理的表達式(20.11)，(20.12)都是矢量式，它們可以向固連于慣性參考空間的固定直角坐標軸如x軸上投影，得到相應的投影式4.質點系的動量守恒定律若質點系的外力系的主矢 由此得到則質點系的動量守恒：常

26、矢量若質點系的外力系的主矢在某一固連于慣性參考空間的直角坐標軸如x軸上的投影 由此得到則質點系的動量在該軸上的投影守恒：以上結論統稱為質點系的動量守恒定律。20.4 質心運動定理1. 質點系的質心運動定理 對不變質點系 物理意義：質點系的質量與其質心加速度的乘積等于作用于其上外力系的主矢，稱為質心運動定理。質點系質心的運動不僅與質點系的內力無關，而且與作用于質點系上各外力的作用點位置也無關。若質點系由n個剛體組成，則由質心矢徑公式知，其質心運動定理可表示為：式中：為第i個剛體的質量；為第i個剛體的質心加速度。質心運動定理的投影式為：2. 質心運動守恒定律當一個質點系由n個剛體組成時，若作用于其

27、上的外力系主矢：且初始時系統的質心速度為零，則根據式(20.15)容易知道，系統的質心相對于某固定點O的矢徑：常矢量設系統中各剛體的質心在同一時間間隔內產生有限位移，則由上式及系統的質心矢徑公式可得： 若外力系的主矢在固連于慣性參考空間的直角坐標軸如x軸上的投影為零，即,且初始時系統質心速度在該軸上的投影等于零，則假設各剛體的質心對該軸的坐標值在同一時間間隔產生有限改變量： 以上結論稱為質心運動的守恒定律。 §21 達朗貝爾原理 §21.1 慣性力的概念慣性力人為引入的假想力，無施力者，與觀察者有關，與真實力同樣有運動、變形效應。2.第二類慣性力在慣性系中引入，使動力學形式上轉化為靜力學問題:達朗貝爾慣性力§21.2 達朗貝爾原理1.質點的達朗貝爾原理達朗貝爾慣性力共