1、第三章 函數的應用3.1函數與方程3.1.1方程的根與函數的零點1.理解函數零點的定義以及函數零點與方程根的關系,會求函數的零點.2.掌握函數零點的判定方法.3.會用函數零點的判定定理判斷函數是否存在零點.1.函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸的交點和相應方程ax2+bx+c=0(a0)的根的關系【做一做1】 二次函數y=x2-x-1,那么使y=0成立的實數x有()A.0個B.1個C.2個 D.無數個解析:判別式=1+4=50,那么方程x2-x-1=0有兩個不相等的實數根,即使y=0成立的實數x有2個.答案:C2.函數的零點(1)定義:對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數

2、x叫做函數y=f(x)的零點.(2)幾何意義:函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標就是函數y=f(x)的零點.(3)結論:方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸有交點函數y=f(x)有零點.名師點撥名師點撥并非所有的函數都有零點.例如,函數f(x)=x2+1,由于方程x2+1=0無實數根,故該函數無零點.A.(1,0)B.0C.1D.0和1 答案:C【做一做2-2】 函數f(x)=x2+x-b2的零點個數是()A.0B.1C.2D.無數解析:關于x的一元二次方程x2+x-b2=0的根的判別式=1+4b20,函數f(x)=x2+x-b2有2個零點.答案:C3.函數零點的判定定

3、理名師點撥名師點撥判斷函數y=f(x)是否存在零點的方法:(1)方程法:判斷方程f(x)=0是否有實數解.(2)圖象法:判斷函數y=f(x)的圖象與x軸是否有交點.(3)定理法:利用零點的判定定理來判斷.【做一做3-1】 函數f(x)的圖象是連續不斷的,有如下x,f(x)的對應值表:那么函數f(x)在區間3,8內的零點至少有()個個個個解析:根據零點的判定定理可知,函數f(x)在區間(4,5),(6,7)內至少各存在一個零點,故函數f(x)在區間3,8內至少有2個零點.答案:A【做一做3-2】 假設f(x)=x+b的零點在區間(0,1)內,那么b的取值范圍為. 解析:f(x)=x+b是增函數,

4、又f(x)=x+b的零點在區間(0,1)內,-1b0.答案:(-1,0)1.對零點判定定理的理解對零點判定定理的理解剖析剖析:(1)當函數當函數y=f(x)同時滿足同時滿足:函數的圖象在閉區間函數的圖象在閉區間a,b上是上是連續曲線連續曲線;f(a)f(b)0,那么可以判斷函數那么可以判斷函數y=f(x)在區間在區間(a,b)內至內至少有一個零點少有一個零點,但是不能明確說明有幾個零點但是不能明確說明有幾個零點.(2)當函數當函數y=f(x)的圖象在閉區間的圖象在閉區間a,b上不是連續曲線上不是連續曲線,或不滿足或不滿足f(a)f(b)0,所以所以f(3)f(4)=0,但但x=3是函數是函數f

5、(x)的一個零點的一個零點.函數函數f(x)=x2在區間在區間-1,1上有上有f(-1)f(1)=10,但是它存在零點但是它存在零點0.2.函數的零點不是點剖析:我們把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)的零點,因此函數的零點不是點,是函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標,即零點是一個實數.當函數的自變量取這一實數時,其函數值為零.函數f(x)的零點是方程f(x)=0的實根,方程f(x)=0有幾個實根,函數f(x)就有幾個零點.例如,函數f(x)=x+1,當f(x)=x+1=0成立時,x=-1,所以函數f(x)=x+1有一個零點-1,由此可見,函數f(x)=x+1的零點是一個實

6、數,而不是一個點.題型一題型二題型三題型四求函數的零點【例1】 判斷以下函數是否存在零點.如果存在,請求出零點.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;分析:可通過解方程f(x)=0求得函數的零點. 題型一題型二題型三題型四(3)存在零點令4x-16=0,那么4x=42,解得x=2.所以函數的零點為x=2.題型一題型二題型三題型四反思1.求函數f(x)的零點時,可考慮解方程f(x)=0,方程f(x)=0無實數根,那么函數f(x)無零點,方程f(x)=0有實數根,那么方程的實數根是函數f(x)的零點.2.本例(4)容易錯寫成函數的零點是x=-6和x=2,其原因是沒有驗

7、根.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】 函數f(x)=x2+ax+b的零點是-1和-2,那么函數g(x)=bx-a的零點為. 解析:由得-1和-2是方程x2+ax+b=0的根,a=3,b=2,g(x)=2x-3.令g(x)=2x-3=0,解得x=log23,故函數g(x)的零點為log23.答案:log23題型一題型二題型三題型四判斷函數零點的個數題型一題型二題型三題型四反思當無法解方程f(x)=0時,常用圖象法判斷函數f(x)的零點個數.對于函數f(x),如果能化為f(x)=g(x)-h(x)的形式,其中函數g(x)和h(x)的圖象能夠畫出來,那么在同一平面直角坐標系中畫出函數g(x)和

8、h(x)的圖象,它們圖象交點的個數就是函數f(x)的零點的個數.題型一題型二題型三題型四A.0B.1C.2D.3 答案:C 題型一題型二題型三題型四判斷函數零點所在的大致區間【例3】 方程log3x+x=3的解所在的區間為()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:構造函數,轉化為確定函數的零點所在的區間.令f(x)=log3x+x-3,答案:C反思判斷方程的解所在的區間常轉化為函數的零點問題,當無法解方程f(x)=0時,常用函數零點的判定定理來解決.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】 根據表格中的數據,可以斷定方程ex-2x-5=0的一個根所在的區間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:設f(x)=ex-2x-5,此函數的圖象是連續不斷的,由表可知f