1、§7-2剪力與彎矩一、剪力和彎矩根據作用在梁上的已知載荷，求出靜定梁的支座反力以后，梁橫截面上的內力可利用前面講過的“截面法”來求解，如圖7-8a所示簡支梁在外力作用下處于平衡狀態，現在討論距支座距離為的截面上的內力。圖 7-8簡支梁指定截面的剪力、彎矩計算根據截面法計算內力的基本步驟“切、代、平”，計算梁的內力的步驟為：、首先根據靜力平衡方程求支座反力和，為推導計算的一般過程，暫且用和代替。、用截面假想沿處把梁切開為左、右兩段，如圖7-8b、7-8c所示，取左段梁為脫離體，因梁原來處于平衡狀態，所以被截取的左段梁也同樣保持平衡狀態。從圖7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力、

2、向下的已知力作用，要使左段梁不發生豎向移動，則在截面上必定存在一個豎直方向的內力與之平衡；同時，、對截面形心點有一個力矩，會引起左段梁轉動，為了使其不發生轉動，在截面上必須有一個力偶矩與之平衡，才能保持左段梁的平衡。和即為梁橫截面上的內力，其中內力使橫截面有被剪開的趨勢，稱為剪力；力偶矩將使梁發生彎曲變形，稱為彎矩。由于外載荷的作用線垂直于梁的軸線，所以軸力為零，通常不予考慮。剪力和彎矩的大小可由左段梁的靜力平衡方程來求解。由得：，得由得： 得如圖7-8c所示，如果取右段梁為脫離體，同樣可求得截面的剪力和彎矩1 / 5。根據作用力與反作用力原理，右段梁在截面上的剪力和彎矩與左段梁在截面上的剪力

3、和彎矩應大小相等，方向相反。二、剪力與彎矩的正負號規定從上面的分析可知，用截面法將梁切開分成兩段，同一截面上的內力，取左段梁為脫離體和取右段梁為脫離體所得結果雖然數值相等，但方向卻是相反的，為此根據剪力和彎矩引起梁的變形情況來規定它們的正負號。圖 7-9剪力、彎矩的符號規定、剪力正負號的規定 如圖7-9a、7-9b所示，在橫截面處，從梁中取出一微段，若剪力使微段順時針方向轉動，則該截面上的剪力為正；反之為負。、彎矩正負號的規定 如圖7-9c、7-9d所示，在橫截面處，從梁中取出一微段，若彎矩使微段產生向下凸的變形，即上部受壓，下部受拉，則該截面上的彎矩為正；反之為負。為方便起見，在計算時通常將

4、剪力和彎矩假設成正方向，它的實際方向根據最后計算結果的正負號來確定，如果計算結果為正，則說明實際方向與假設方向相同；否則，相反。三、用截面法求指定截面上的內力下面舉例說明用截面法求梁指定截面上的內力。例7-1 如圖7-10a所示外伸梁，試計算1-1、2-2和3-3截面上的剪力和彎矩。圖 7-10外伸梁指定截面的內力計算解：、求梁的支座反力和，根據梁的整體平衡方程：由，得 由，得 、求1-1截面上的內力在1-1截面處將梁切開成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖7-10b所示，將剪力、彎矩的方向都按規定的正方向標出。根據脫離體的平衡方程得：由，得 由所有外力對1-1截面的形心取矩：，得求得1-1

5、截面的剪力及彎矩均為正值，表示所假設的及的方向與實際方向相同，在脫離體上，剪力和彎矩的方向一律設為正向，計算結果為正則內力就為正，計算結果為負則內力就為負。、求2-2截面上的內力在2-2截面處將梁切開成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖7-10c所示，將剪力、彎矩的方向都按規定的正方向標出。根據脫離體的平衡方程得：由，得 由所有外力對2-2截面的形心取矩：，得求得2-2截面的剪力為負值，表示所假設的方向與實際方向相反。、求3-3截面上的內力在3-3截面處將梁切開成左右兩段，如果取左段為脫離體進行計算，則作用在左段上的載荷較多，計算要麻煩一些，為方便起見，通常取受力較簡單的右段進行計算，受力圖

6、如圖7-10d所示，將剪力、彎矩的方向都按規定假設成正方向，根據脫離體的平衡方程得：由，得 由所有外力對3-3截面的形心取矩：，得求得3-3截面的彎矩為負值，表示所假設的方向與實際方向相反。由上面例題看出，截面上的剪力和彎矩與梁上外力之間存在著下列關系：、梁內任一橫截面上的剪力，在數值上等于該截面左側（或右側）梁上所有外力的代數和。、梁內任一橫截面上的彎矩，在數值上等于該截面左側（或右側）梁上所有外力對該截面形心力矩的代數和。從上面例題看出，剪力和彎矩的正負號還可以由外力方向直接來確定：、截面左側向上的外力與截面右側向下的外力引起該截面的剪力為正，反之為負。、截面左側與截面右側向上的外力引起該

7、截面上的彎矩為正，反之為負。當取左段進行分析時，任意截面的剪力等于所有向上的載荷減去所有向下的載荷，即：（7-1）如果取右段進行分析時，則有：，（也即）；當取左段（或右段）進行分析時，任意截面的彎矩等于所有產生向上的線位移的力對該點之矩減去所有產生向下的線位移的力對該點之矩，即：（7-2）利用式、可以直接寫出指定截面的剪力和彎矩。四、計算剪力、彎矩的簡便方法利用上面的關系，可以直接根據作用在梁上的外力計算出任意截面的剪力、彎矩，從而省去取脫離體列平衡方程的步驟，使計算過程簡化。例7-2 計算圖7-11所示梁1-1和2-2截上的內力。解：、求支座反力由梁的整體平衡方程:：，得 如果每次取左段進行分析，則可以不必計算右端的支座反力。圖 7-11一簡支梁的計算簡圖利用式、，可以直接得到1-1、2-2截面的剪力、彎矩：特別注意：當取左段進行分析時，支座反力向上，取正號，均布載荷向下，取負號。支座反力使左段梁產生向上的線位移，所以其