1、第1講 運動的描述運動學復習本講導學 物理學是用數學描述自然現象的學科。所以的描述中，運動是最基本最常見的。運動的描述，本質還是物體的描述與空間的描述，本講系統講述對描述的數學語言。知識模塊知識點睛一坐標系1.定坐標系：建立在固定參考物上的坐標系，簡稱定系。一般將定系固結在地面上。2.動坐標系：建立在相對于定系運動著的物體上的坐標系，簡稱動系。動系有平動系與轉動系之分，注意區分。注意質點不能成為一個參考系。二動點 動點是指相對于定系和動系均有運動的點，如圖車輪上的一點P作為動點。3 三種運動及三種速度與三種加速度1.運動定義：絕對運動：動點相對于定系的運動,如P相對于地面的運動。相對運動：動點

2、相對動系的運動,如P相對于車廂的運動。牽連運動：動系相對于定系的運動,如行駛的汽車相對于地面的運動。2. 關聯關系：1）動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。記為： 如圖：2） 加速度關聯比較復雜：A：如果牽連運動為平動：動點在某瞬時的絕對加速度等于它在該瞬時的牽連加速度與相對加速度的矢量和。記為： B：如果牽連運動為轉：動點在某瞬時的絕對加速度等于它在該瞬時的牽連加速度與相對加速度以及科氏加速度的矢量和。記為：其中科氏加速度如圖： 以上只是物理定義，具體到不同的坐標系中，方程的數學表達會有所不同。我們在以前的課程中介紹過直角坐標系，極坐標系，自然坐標系。這里再引入

3、另一個坐標系。附錄1.球坐標 在空間任取一點O作為極點,從O引兩條互相垂直的射線ox和oz作為極軸,再規定一個長度單位和射線ox繞oz軸旋轉所成角的正方向, 這樣就建立了一個球坐標系. 球坐標是一種三維坐標。分別有原點、方位角、仰角、距離構成。設P（x，y，z）為空間內一點，則點P也可用這樣三個有次序的數r，來確定，其中r為原點O與點P間的距離，為有向線段與z軸正向所夾的角，為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段在坐標平面xoy的投影所轉過的角，這里M為點P在xOy面上的投影。這樣的三個數r，叫做點P的球面坐標，這里r，的變化范圍為r0,+),0, 2,0, .2.立體角定義:一個任意形

4、狀椎面所包含的空間稱為立體角。符號： 單位：Sr （球面度）如圖所示，A是半徑為R的球面的一部分，A的邊緣各點對球心O連線所包圍的那部分空間叫立體角。立體角的數值為部分球面面積A與球半徑平方之比，即 單位立體角：以O為球心、R為半徑作球，若立體角截出的球面部分的面積為R2，則此球面部分所對應的立體角稱為一個單位立體角，或一球面度。對于一個給定頂點O 和一個隨意方向的微小面積dS ，它們對應的立體角為其中為dS 與投影面積 dA的夾角，R為O 到dS中心的距離。 例題精講第一部分：數學描述能力訓練【例1】（1）某人不喜歡吃蘋果皮，但是更懶得削蘋果皮。假設蘋果是球形的，他將蘋果切成等厚度的薄片，求

5、證他在每片蘋果上吃到的蘋果皮的量是一樣多的（2）某個國家的范圍是北緯30度到北緯31度，經度范圍是東經65度到66度，這個國家的領土占地球的比例大約為多少？近似計算,精確到2位有效數字。)【例2】一位盲人將槍端平，開始打靶。由于看不見，他將隨機向平面中任意一個方向打出子彈。一面墻在離他的距離為d。從人到墻做垂線，將垂足記為原點，計算從x到x+dx的范圍內墻面被子彈擊中的概率。【例3】上一題中的盲人跑到了太空站中，向隨機的方向打出子彈，墻和他的間距為d，原點保持不變，建立平面直角坐標系x-y，從x到x+dx，y到y+dy的范圍內，墻面被子彈擊中的概率為多少？【例4】建立極坐標，在上定義發向與切向

6、的單位向量。（1） 寫出從極點到點的位移矢量，用，表達。（2） 假設一個質點以角速度做勻速原周運動，那么和一樣都是時間的函數。求出。（3） 用和（及其導數）表達質點的運動速度（4） 用和（及其導數）表達質點運動的加速度（5） 用以上的方法寫出極坐標下的牛頓第二定律的表達形式第二部分 物理應用【例5】在勻強磁場B中，有一個帶點量為q，質量為m的粒子，在垂直于的磁場的平面內運動。粒子初速度為。（1） 利用上一題中的表達牛頓第二定律，并求出。（2） 如果粒子受到恒定的于粒子速度方向相反的阻力，寫出牛頓第二定律，并計算出粒子的速度隨時間的關系。（3） 接(2)計算出粒子運動的軌跡（用參數方程描述）（4

7、） 如果粒子受到的阻力為，求出粒子從開始運動到停下來走過的路程。【例6】一個半徑為的鋼球固定在空間中，一束以速度為運動的質量為的小粒子撞向鋼球，單位時間單位面積上通過的粒子數為。粒子和鋼球之間發成完全彈性碰撞。（1）某個粒子的初速度的延長線與球心的距離為，則這個粒子碰撞后的速度方向改變的夾角為多少？（2）在距離很遠的地方有一堵垂直于粒子束的墻面，在粒子出射角為的方向，單位墻面上單位時間內單位方向上接受到粒子的數量為多少？【例7】如圖所示，桿AB擱置在半徑為R的半圓柱上，A端沿水平面以等速V作直線運動，圖示瞬間，桿與水平面夾角為，桿上C點與半圓柱體D點相切，（1） 此時桿上C點的速度大小為多少？

8、（2） 此時在圓柱體上D點的速度的大小又為多少？（3） C點加速度多少？【例8】如圖所示，桿長為，可繞過點的水平軸在豎直平面內轉動，其端點系著一跨過定滑輪、的不可伸長的輕繩，繩的另一端系一物塊，滑輪的半徑可忽略，在的正上方，之間的距離為。某一時刻，當繩的段與之間的夾角為時，桿的角速度恒定為，求此時物塊的速率以及加速度aM【例9】桿AC沿槽以勻速向上運動，并帶動桿AB及滑塊B。若AB，且初瞬時.求當時，滑塊B沿滑槽滑動的速度。 解答：對時間求一階導數，有在坐標系中，A點的坐標為代入上式，得代入，則有滑塊B的速度為其方向沿軸正向。【例10】半徑為R的半圓形凸輪D，已知其運動的速度為、加速度為，方向

9、如圖（a）所示。凸輪推動桿AB沿鉛直方向運動。試求當時，桿AB移動的速度和加速度以及A相對凸輪的速度。確答:取桿AB上的A點為動點，動系為凸輪D，定系為地面。動點的絕對運動軌跡為鉛垂線，相對運動軌跡為凸輪的輪廓線，即半徑為R的圓曲線、牽連運動為平動。（1）求速度動點A的速度矢量圖如圖（c）所示。根據速度合成定理，有 （1）取投影軸如圖（c）所示。將式（1）分別在軸上投影，則有（2） （3）于是，桿AB移動的速度也即動點A的絕對速度為 桿AB相對于凸輪的相對速度為 （2）求加速度加速度矢量圖如圖（d）所示。由動系作平動時的加速度合成定理，有 （4）取投影軸如圖（d）所示。將式（4）分別在軸方向投

10、影，有上式中，由式（6），有 所以 由式（5），有 于是桿AB移動的加速度也即動點A的絕對加速度為 AB相對于凸輪的加速度為 課后小練習1.考慮點電荷產生周圍的靜電場（1） 假設平方反比率不再成立，而是，那么高斯定律是否還會成立？在這種情況下一個金屬球殼的內部是否一定沒有電荷分布？電場是否一定為0？（2） 假設三維空間變成了二維，要求高斯定律依然成立，則電場分布的形式滿足什么形式？一個“金屬球殼”（實際上是圓環）內部是否一定沒有電荷分布？電場是否一定為0？趣味物理 量子力學史量子理論的主要創立者都是年輕人。1925年，泡利25歲，海森堡和恩里克·費米（Enrico Fermi）24歲

11、，狄拉克和約當23歲。薛定諤是一個大器晚成者，36歲。玻恩和玻爾年齡稍大一些，值得一提的是他們的貢獻大多是闡釋性的。愛因斯坦的反應反襯出量子力學這一智力成果深刻而激進的屬性：他拒絕自己發明的導致量子理論的許多關鍵的觀念，他關于玻色-愛因斯坦統計的論文是他對理論物理的最后一項貢獻，也是對物理學的最后一項重要貢獻。1923年路易·德布羅意（Louis de Broglie）在他的博士論文中提出光的粒子行為與粒子的波動行為應該是對應存在的。他將粒子的波長和動量聯系起來：動量越大，波長越短。這是一個引人入勝的想法，但沒有人知道粒子的波動性意味著什么，也不知道它與原子結構有何聯系。然而德布羅意

12、的假設是一個重要的前奏，很多事情就要發生了。1924年夏天，出現了又一個前奏。薩地揚德拉·N·玻色（Satyendra N. Bose）提出了一種全新的方法來解釋普朗克輻射定律。他把光看作一種無（靜）質量的粒子（現稱為光子）組成的氣體，這種氣體不遵循經典的玻耳茲曼統計規律，而遵循一種建立在粒子不可區分的性質（即全同性）上的一種新的統計理論。愛因斯坦立即將玻色的推理應用于實際的有質量的氣體從而得到一種描述氣體中粒子數關于能量的分布規律，即著名的玻色-愛因斯坦分布。然而，在通常情況下新老理論將預測到原子氣體相同的行為。愛因斯坦在這方面再無興趣，因此這些結果也被擱置了10多年。然

13、而，它的關鍵思想粒子的全同性，是極其重要的。突然，一系列事件紛至沓來，最后導致一場科學革命。從1925年元月到1928年元月：·沃爾夫剛·泡利（Wolfgang Pauli）提出了不相容原理，為周期表奠定了理論基礎。·韋納·海森堡（Werner Heisenberg）、馬克斯·玻恩（Max Born）和帕斯庫爾·約當（Pascual Jordan）提出了量子力學的第一個版本，矩陣力學。人們終于放棄了通過系統的方法整理可觀察的光譜線來理解原子中電子的運動這一歷史目標。·埃爾溫·薛定諤（Erwin Schrodinge

14、r）提出了量子力學的第二種形式，波動力學。在波動力學中，體系的狀態用薛定諤方程的解波函數來描述。矩陣力學和波動力學貌似矛盾，實質上是等價的。·電子被證明遵循一種新的統計規律，費米-狄拉克統計。人們進一步認識到所有的粒子要么遵循費米-狄拉克統計，要么遵循玻色-愛因斯坦統計，這兩類粒子的基本屬性很不相同。·海森堡闡明測不準原理。·保爾·A·M·狄拉克（Paul A. M. Dirac）提出了相對論性的波動方程用來描述電子，解釋了電子的自旋并且預測了反物質。·狄拉克提出電磁場的量子描述，建立了量子場論的基礎。·玻爾提出互

15、補原理（一個哲學原理），試圖解釋量子理論中一些明顯的矛盾，特別是波粒二象性。創立量子力學需要新一代物理學家并不令人驚訝，開爾文爵士在祝賀玻爾1913年關于氫原子的論文的一封書信中表述了其中的原因。他說，玻爾的論文中有很多真理是他所不能理解的。開爾文認為基本的新物理學必將出自無拘無束的頭腦。1928年，革命結束，量子力學的基礎本質上已經建立好了。后來，Abraham Pais以軼事的方式記錄了這場以狂熱的節奏發生的革命。其中有一段是這樣的：1925年，Samuel Goudsmit和George Uhlenbeck就提出了電子自旋的概念，玻爾對此深表懷疑。10月玻爾乘火車前往荷蘭的萊頓參加亨德里

16、克·A·洛倫茲（Hendrik A. Lorentz）的50歲生日慶典，泡利在德國的漢堡碰到玻爾并探詢玻爾對電子自旋可能性的看法；玻爾用他那著名的低調評價的語言回答說，自旋這一提議是“非常，非常有趣的”。后來，愛因斯坦和Paul Ehrenfest在萊頓碰到了玻爾并討論了自旋。玻爾說明了自己的反對意見，但是愛因斯坦展示了自旋的一種方式并使玻爾成為自旋的支持者。在玻爾的返程中，遇到了更多的討論者。當火車經過德國的哥挺根時，海森堡和約當接站并詢問他的意見，泡利也特意從漢堡格趕到柏林接站。玻爾告訴他們自旋的發現是一重大進步。量子力學的創建觸發了科學的淘金熱。早期的成果有：1927年海森堡得到了氦原子薛定諤方程的近似解，建立了原子結構理論的基礎；John Slater，Douglas Rayner Hartree，和Vladimir Fock隨后又提出了原子結構的一般計算技巧；Fritz London和Walter Heitler解決了氫分子的結構，在此基礎上，Linus Pauling建立了理論化學；Arnold Sommerfeld和泡利建立了金屬電子理論的基礎，Felix Bloch創立了能帶結構理論；海森堡解釋了鐵磁性的起因。1928年George Gamow解釋了放射性衰變的隨機本性之謎，他表