1、動(dòng)力學(xué)中臨界與極值問題一、分離問題相互接觸的物體間可能存在彈力，在接觸面間彈力變?yōu)榱銜r(shí)，它們將要分離.抓 住相互接觸物體分離的這一條件，就可順利解答相關(guān)問題.例1: 一彈簧秤的秤盤質(zhì)量 m1=1. 5kg,盤內(nèi)放一質(zhì)量為 m2=10. 5kg的物體巳彈簧質(zhì)量不計(jì)，其勁度系數(shù)為 k=800N/m,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖9所示。現(xiàn)給P施加一個(gè)豎直向上的力F,使P從靜止開始向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知 在最初0. 2s內(nèi)F是變化的，在0. 2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是 多少？3.如圖a所示，一輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上，上端放置一物體(物體與彈 簧不連接)。初始時(shí)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)用豎

2、直向上的拉力F作用物體上，使物體開始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，拉力 F與物體位移x的關(guān)系如圖b所示(g- 10m/s2),則正確的結(jié)論是()A.物體與彈簧分離時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)B.彈簧的勁度系數(shù)為7.5N/cm C.物體的質(zhì)量為3kgD.物體的加速度大小為5m/s24.如圖所示，在光滑的水平面上放著緊靠在一起的A、B兩物體，B的質(zhì)量是A的2倍，B受到向右的恒力FB=2 N, A受到的水平力FA = (9 2t)N(t單位是s).從t=0開始計(jì)時(shí)，則()A. A物體在3 s末時(shí)刻的加速度是初始時(shí)刻的 倍B. t>4 s后，B物體做勻加速 直線運(yùn)動(dòng)C. t = 4.5 s時(shí)，A物體的速度為零D.

3、t>4.5 s后，A、B的加速度方向相反5、在一正方形小盒內(nèi)裝一小圓球，盒與球一起沿傾角為8的光滑斜面下滑，如圖所 示.若不計(jì)摩擦，當(dāng)8角增大時(shí)，下滑過程圓球?qū)Ψ胶星氨趬毫?及對(duì)方盒底面的壓力 將如何變化()A.N變小,N變小B.N'變小,N為零C.N'變小,N變大D.N'不變,N變 大二、相對(duì)滑動(dòng)問題存在摩擦的物體產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是靜摩擦力取最大靜摩擦力，例2.如圖所示，A、B兩物塊的質(zhì)量分別為2m和m,靜止疊放在水平思考：1何時(shí)分離時(shí)？2分離時(shí)物體是否處于平衡態(tài)。彈簧是否處于原長(zhǎng)？3.如何求從開始到分離的位移？ 4.盤對(duì)物體的支持力如何變化。練習(xí)1.如圖

4、3-3-2所示，質(zhì)量都為m的A、B兩物體疊放在豎直彈簧上并保 持靜止，用大小等于 mg的恒力F向上拉B,運(yùn)動(dòng)距離h時(shí)B與A分離.則下列 說法中正確的是()A. B和A剛分離時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)B. B和A剛分離時(shí)，它們的加速度為gC.彈簧的勁度系數(shù)等于 mg/h D.在B與A分離之前，它們做勻加速運(yùn)動(dòng)2、如圖1所示，在傾角為8的光滑斜面上端系有一勁度系數(shù)為 k的彈簧，彈簧下 端連一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球被一垂直斜面的擋板 A擋住，此時(shí)彈簧沒有形 變.若擋板A以加速度a （a<gsin »沿斜面向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，求：（1）從擋板開始運(yùn)動(dòng)到小球與板分離所經(jīng)歷的時(shí)間；（2）從擋板開始運(yùn)動(dòng)到

5、小球速度最大時(shí)，小球的位移.Ip地面上。A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 內(nèi)B與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為 go現(xiàn)對(duì)A施加一水平拉力F,則51pmgp g23A當(dāng)F < 2仙mgt A、B都相對(duì)地面靜止 B.當(dāng)F二時(shí)，A的加速度1 N gC .當(dāng)F > 3 mg, A相對(duì)B滑動(dòng)D.無論F為何值，B的加速度不會(huì)超過26 .如圖，在光滑水平面上有一質(zhì)量為 ml的足夠長(zhǎng)的木板，具上疊放一質(zhì)量為 m2 的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等。現(xiàn)給木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F=kt （k是常數(shù)），木板和木塊加速度的大小分別為圖 3-3-2E|a

6、l和a2,下列反映al和a2變化的圖線中正確的是（7 .如圖甲所示，在光滑水平面上疊放著 A、B兩物體.現(xiàn)對(duì)A施加水平向右的拉 力F,通過傳感器可測(cè)得A的加速度a隨拉力F變化的關(guān)系如圖乙所示.已知重 力加速度g= 10 m/s2,由圖線可知（）力。（1）要把長(zhǎng)木板從小木塊下拉出，拉力 F應(yīng)滿足的條件；（2）若拉力F = 5 n （m + M）g求從開始運(yùn)動(dòng)到木板從小木塊下拉出經(jīng)歷的時(shí)間。10 .如圖3 3 7所示，在光滑水平面上疊放著 A、B兩物體，已知mA = 6 kg、 mB= 2 kg, A、B間動(dòng)摩擦因數(shù) 以=0.2,在物體A上系一細(xì)線，細(xì)線所能承受的 最大拉力是20 N,現(xiàn)水平向右拉

7、細(xì)線，g取10 m/s2,則（）A.當(dāng)拉力F<12 N 時(shí)，A靜止不動(dòng)B.當(dāng)拉力F>12 N時(shí)，A相對(duì)B滑動(dòng)C.當(dāng)拉力F=16 N時(shí)，B受A的摩擦力等于4 N D.無論拉力F多大，A相對(duì)B 始終靜止11 .如圖所示，在光滑的桌面上疊放著一質(zhì)量為mA = 2.0kg的薄木板A和質(zhì)量為mB = 3kg的金屬塊B.A的長(zhǎng)度L = 2.0m.B上有輕線繞過定滑輪與質(zhì)量為 mC = 1.0kg的物塊C相連.B與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù) 尸0.10,最大靜摩擦力可視為等 于滑動(dòng)摩擦力.忽略滑輪質(zhì)量及與軸間的摩擦.起始時(shí)令各物體都處于靜止?fàn)?態(tài)，繩被拉直，B位于A的左端（如圖），然后放手，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)

8、間 B從A的右 端脫離（設(shè)A的右端距離滑輪足夠遠(yuǎn)，取g=10m/s2）.A .甲的質(zhì)量 mA = 2 kg B.甲的質(zhì)量 mA = 6 kgC.甲、乙間的動(dòng)摩擦因數(shù) 尸0.2 D.甲、乙間的動(dòng)摩擦因數(shù) 呼0.68 .如圖3-51所示，把長(zhǎng)方體切成質(zhì)量分別為 m和M的兩部分，切面與底面 的夾角為8長(zhǎng)方體置于光滑的水平地面，設(shè)切面亦光滑，問至少用多大的水平力 推m, m才相對(duì)M滑動(dòng)？9 .如圖所示，質(zhì)量為M,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板放在水平桌面上，木板右端放有一質(zhì) 量為m長(zhǎng)度可忽略的小木塊，木塊與木板之間、木板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均 為件開始時(shí)木塊、木板均靜止，某時(shí)刻起給木板施加一大小為F方向水平向右的

9、恒定拉力，若最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦12 .質(zhì)量為m=1.0 kg的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))放在質(zhì)量為m=3.0 kg的長(zhǎng)木板的右端, 木板上表面光滑，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為仙=0.林板長(zhǎng)L=1.0 m開始時(shí)兩者都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)對(duì)木板施加水平向右的恒力F=12 N,如圖3-12所示,為使小 滑塊不掉下木板，試求：(g取10 m/s2)圖3-12(1)水平恒力F作用的最長(zhǎng)時(shí)間；水平恒力F做功的最大值.13 .如圖所示，一夾子夾住木塊，在力 F作用下向上提升。夾子和木塊的質(zhì)量分別 為m和M,夾子與木塊兩側(cè)間的最大靜摩擦力均為 f。若木塊不滑動(dòng)，力F的最 大值是圖3-3M2f(M+m)2f(M+

10、m)MmA14.如圖3 47,質(zhì)量， M=2kg,斜面與物塊 的動(dòng)摩擦因數(shù) 尸0.2,.B. 2f(M+m)2f(M+m)MmC . -(m+M)g D.+(m+M)gm = lkg的物塊放在傾角為8的斜面上，斜面體質(zhì)量地面光滑，8 =37；現(xiàn)對(duì)斜面體施一水平推力F,要使物體m相對(duì)斜面靜止，力F應(yīng)為多大？(設(shè)物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g 取 10m/s2)三、繩的臨界問題：純連接體臨界條件伸直與松馳臨界條件是張力為零，拉斷臨界條件是張力為最大 例3、一個(gè)質(zhì)量為m的小球B,用兩根等長(zhǎng)的細(xì)繩1、2分別固定在車廂的A、C 兩點(diǎn)，已知兩繩拉直時(shí)，如圖所示，兩繩與車廂前壁的夾角均為 45&

11、#176;試求：當(dāng) 車以加速度a1= g向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)1、2兩繩的拉力.(2)當(dāng)車以加速度a2= 2g向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2兩繩的拉力.15 .如圖所示,傾角為a的光滑斜面體上有一個(gè)小球 m被平行于斜面的細(xì)純系于斜 面上,斜面體放在水平面上.(1)要使小球?qū)π泵鏌o壓力，求斜面體運(yùn)動(dòng)的加速度范圍，并說明其方向.(2)要使小球 對(duì)細(xì)繩無拉力，求斜面體運(yùn)動(dòng)的加速度范圍，并說明其方向.若已知a =60° ,m=2附斜面體以a=10 m/s2向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩對(duì)小球拉 力多大？(g取10 m/s2)四、速度最大和加速度最大的臨界條件：當(dāng)物體受到變化的外力作用而運(yùn)動(dòng)時(shí)， 當(dāng)合

12、外力最大時(shí)加速度最大，當(dāng)加速度為零時(shí)，往往對(duì)應(yīng)速度最大或最小的臨界 條件。例4.如圖所示，一輕彈簧豎直固定在水平地面上，彈簧正上方有一個(gè)小球自由下 落。從小球接觸彈簧上端。點(diǎn)到將彈簧壓縮到最短的過程中，小球的加速度a隨時(shí)間t或者隨距。點(diǎn)的距離x變化的關(guān)系圖線是16 .如圖甲所示，靜止在水平地面的物塊A,受到水平向右的拉力F作用，F(xiàn)與時(shí)間t的關(guān)系如圖乙所示。設(shè)物塊與地面的 靜摩擦力最大值f m與滑動(dòng)摩擦大小相等，則()(A) 0-t1時(shí)間內(nèi)物塊A的速 度逐漸增大(B) t2時(shí)刻物塊A的加速度最大(C) t2時(shí)刻后物塊A做反向運(yùn)動(dòng) (D) t3時(shí)刻物塊A的速度最大(E) 0t1時(shí)間內(nèi)F的功率逐漸增大 五、數(shù)學(xué)表達(dá)式解得臨界條件例5、如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在水平桌面上，物體與桌面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為內(nèi)對(duì)物體施加一個(gè)與水平方向成8角的力F。 (1)求物體在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)力F的取值范圍。(2)力F一定，8角取什么值時(shí)，物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的加速度最大？(3)求物體在水平面上運(yùn)動(dòng)所獲得的最大加速度的數(shù)值。17. (15分)如圖所