1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第八章 1設(shè)是從總體中抽出的樣本，假設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，未知，給定和顯著性水平，試求假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及否定域. 解 選統(tǒng)計(jì)量 記 則，對(duì)于給定的顯著性水平，查分布表求出臨界值，使 因 ，所以，從而 可見(jiàn)的否定域?yàn)? 2某種零件的尺寸方差為，對(duì)一批這類零件檢查6件得尺寸數(shù)據(jù)（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問(wèn)這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為是32.50毫米（）. 解 問(wèn)題是在已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)槠渲校颍苑穸ǎ床荒苷J(rèn)為平均尺寸是32.5毫米。 3設(shè)某產(chǎn)品的指標(biāo)服從正態(tài)分布，

2、它的標(biāo)準(zhǔn)差為，今抽了一個(gè)容量為26的樣本，計(jì)算平均值1580，問(wèn)在顯著性水平下，能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600。 解 問(wèn)題是在已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)椋渲?. . 因?yàn)椋越邮埽纯梢哉J(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600. 4一種元件，要求其使用壽命不低于1000小時(shí)，現(xiàn)在從這批元件中任取25件，測(cè)得其壽命平均值為950小時(shí)，已知該元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為小時(shí)的正態(tài)分布，問(wèn)這批元件是否合格？（） 解 設(shè)元件壽命為，則，問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè). 的否定域?yàn)椋渲?因?yàn)?所以否定，即元件不合格. 5某批礦砂的5個(gè)樣品中鎳含量經(jīng)測(cè)定為： 設(shè)測(cè)定值服從正態(tài)分布，問(wèn)能否認(rèn)為這批礦砂的鎳

3、含量為？ 解 問(wèn)題是在未知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)?因?yàn)?所以接受，即可以認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為3.25. 6糖廠用自動(dòng)打包機(jī)打包，每包標(biāo)準(zhǔn)重量為100公斤，每天開(kāi)工后要檢驗(yàn)一次打包機(jī)工作是否正常，某日開(kāi)工后測(cè)得9包重量（單位：公斤）如下： 問(wèn)該日打包機(jī)工作是否正常（；已知包重服從正態(tài)分布）？ 解 ， 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)?其中 因?yàn)?所以接受，即該日打包機(jī)工作正常. 7按照規(guī)定，每100克罐頭番茄汁中，維生素的含量不得少于21毫克，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中抽取17個(gè)，測(cè)得維生素的含量（單位：毫克）如下 已知維生素的含量服從正態(tài)分布，試檢驗(yàn)這批罐頭的維生素含量是否合格。 解 設(shè)為維生

4、素的含量，則，. 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) （1）. （2）選擇統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值： （3）對(duì)于給定的查分布表求出臨界值. （4）因?yàn)椤Ｋ越邮埽凑J(rèn)為維生素含量合格. 8某種合金弦的抗拉強(qiáng)度，由過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)知（公斤/厘米2），今用新工藝生產(chǎn)了一批弦線，隨機(jī)取10根作抗拉試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.問(wèn)這批弦線的抗拉強(qiáng)度是否提高了？（） 解 ，. 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) （1）. （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值. （3）對(duì)于，查分布表，得臨界值. （4）因，故否定即認(rèn)為抗拉強(qiáng)度提高了。 9從一批軸料中取15件

5、測(cè)量其橢圓度，計(jì)算得，問(wèn)該批軸料橢圓度的總體方差與規(guī)定的有無(wú)顯著差別？（，橢圓度服從正態(tài)分布）。 解 ，問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè). （1）. （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 （3）對(duì)于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因?yàn)樗越邮埽纯傮w方差與規(guī)定的無(wú)顯著差異。 10從一批保險(xiǎn)絲中抽取10根試驗(yàn)其熔化時(shí)間，結(jié)果為 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.問(wèn)是否可以認(rèn)為這批保險(xiǎn)絲熔化時(shí)間的方差不大于80？（，熔化時(shí)間服從正態(tài)分布）. 解 ， 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè). （1）； （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 （3）對(duì)于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因，故接受，即可以認(rèn)為方差不大于80。 11對(duì)兩種

6、羊毛織品進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，所得結(jié)果如下 第一種 138，127，134，125； 第二種 134，137，135，140，130，134.問(wèn)是否一種羊毛較另一種好？設(shè)兩種羊毛織品的強(qiáng)度都服從方差相同的正態(tài)分布。 解 設(shè)第一、二種織品的強(qiáng)度分別為和，則 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) （1） （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值. （3）對(duì)于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因?yàn)椋越邮芗僭O(shè)，即不能說(shuō)一種羊毛較另一種好。 12在20塊條件相同的土地上，同時(shí)試種新舊兩個(gè)品種的作物各十塊土地，其產(chǎn)量（公斤）分別為 舊品種 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7,

7、 77.3; 新品種 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，并都來(lái)自正態(tài)總體（方差相等），問(wèn)新品種的產(chǎn)量是否高于舊品種？（） 解 設(shè)為新品種產(chǎn)量，為舊品種產(chǎn)量；，問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) ， ， 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值： 對(duì)給定的，查分布表得臨界值. 因?yàn)楣式邮埽葱缕贩N高于舊品種. 13兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，分別取6個(gè)和9個(gè)零件，量其長(zhǎng)度得，假定零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，問(wèn)可否認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度的方差無(wú)顯著差異？ 解 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 對(duì)給定的查分布表得臨界值，. 因 故接受，即無(wú)

8、顯著差異. 13甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同樣產(chǎn)品，從它們加工的產(chǎn)品中各抽取若干，測(cè)得直徑（單位：mm）為 甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9; 乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2.問(wèn)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度有無(wú)顯著差異？（，產(chǎn)品直徑服從正態(tài)分布。） 解 設(shè)甲加工的直徑為，乙為. ，. ， ， ，問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 .對(duì)于給定的，查分布表得臨界值， 因，故接受，即精度無(wú)顯著差異. 14一顆骰子擲了120次，得下列結(jié)果：點(diǎn) 數(shù)123456出現(xiàn)次數(shù)232621201515問(wèn)骰子是

9、否勻稱？（） 解 用表示擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，其可能值為1，2，3，4，5，6。問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 這里， ，故 查分布表，得臨界值因?yàn)楣式邮埽戴蛔觿蚍Q。 15從一批滾珠中隨機(jī)抽取50個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：mm）為 15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.

10、714.614.2是否可以認(rèn)為這批鋼珠的直徑服從正態(tài)分布？（） 解 數(shù)據(jù)中最小的為14.2，最大者為15.9，設(shè)，欲把分成七個(gè)（相等的）區(qū)間，則區(qū)間長(zhǎng)度（組距）為得分點(diǎn)它們把實(shí)數(shù)軸分成七個(gè)不相交的區(qū)間，樣本值分成了七組：1325310416586672 設(shè)鋼珠的直徑為，其分布函數(shù)為，我們的問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè)：. 其中未知. 在成立之下，和的極大似然估計(jì)為，. 在上面的表中第1組和第7組的頻數(shù)過(guò)小，把它們并入相鄰的組內(nèi)，即分成5組，分點(diǎn)為，. 統(tǒng)計(jì)量 的值計(jì)算如下表：180.14927.460.540.29160.039092100.214010.70.70.490.045793160.273613

11、.682.325.38240.39345480.218010.92.98.410.77156580.14527.260.740.54760.0754350150015.12161.24997即，對(duì)于查分布表得臨界值. 因，故接受，即認(rèn)為鋼珠直徑服從正態(tài)分布. 16設(shè)，假設(shè)隨機(jī)變量在上是均勻分布的，今對(duì)進(jìn)行100次獨(dú)立觀察，發(fā)現(xiàn)其值落入的頻數(shù)分別為30，20，36，14，問(wèn)均勻分布的假設(shè)，在顯著性水平為0.05下是否可信。 解 檢驗(yàn)假設(shè)：檢驗(yàn)計(jì)算表如下：1302551220255133625114.8441425114.841001100011.68統(tǒng)計(jì)量對(duì)于，查得因?yàn)?所以不接受，即不能相信.

12、習(xí) 題 九 1一批由同樣原料織成的布，用五種不同的染整工藝處理，然后進(jìn)行縮水試驗(yàn)，設(shè)每種工藝處理4塊布樣，測(cè)得縮水率的結(jié)果如下表布樣號(hào)縮 水 率12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.8問(wèn)不同的工藝對(duì)布的縮水率是否有顯著的影響 解 ，查附表5得.序號(hào) 12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.821.821.731.635.337.5147.9475.24470.89998.561246.091406.254597.0

13、3131.82112.24252.34316.03358.491149.25131.82112.24252.34316.03358.491170.92方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方值工 藝誤 差55.5321.6741513.88251.44479.6095*總 和77.2019因?yàn)椋怨に噷?duì)縮水率有顯著影響. 2燈泡廠用4種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，今從中分別抽樣進(jìn)行使用壽命的試驗(yàn)，得到下表的結(jié)果（單位：小時(shí)），問(wèn)這幾種配料方案對(duì)使用壽命有無(wú)顯著影響？（）試驗(yàn)號(hào)壽 命123456781600161016501680170017201800185016401640170017

14、5014601550160016201640166017401820151015201530157016001680 解 ，查附表5得 為簡(jiǎn)化計(jì)算從上表的試驗(yàn)結(jié)果中都減去1600再除以10得下表壽命序號(hào)12345678015810122025441015145024614229873085658291912431363364841361448672.8105.12560.1671286.0927349829572642937 ， ， ， 方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F值配 料誤 差6.94716.5093222.3130.7273.18總 和23.45625 因?yàn)椋什伙@著. 3在單因素

15、試驗(yàn)方差分析模型式（9.2）中，是未知參數(shù)，求的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì). 解 因?yàn)椋缘狞c(diǎn)估計(jì)為. 由定理9.1知，再由定理6.1知與相互獨(dú)立，又由獨(dú)立，知與獨(dú)立，從而與獨(dú)立，又 由分布的定義知 其中 對(duì)于給定的，查分布表求出臨界值，使 在上式括號(hào)內(nèi)將暴露出來(lái)得在置信度下的置信區(qū)間 4在單因素試驗(yàn)方差分析模型式（9.2）中，是未知參數(shù)，試證是的無(wú)偏估計(jì)，且的下的置信區(qū)間為 證：因?yàn)椋裕从谑枪?是的無(wú)偏估計(jì)； 因?yàn)?所以對(duì)于給定的，查分布表求出臨界值和使得式中將暴露出來(lái)得故的置信度為下的置信區(qū)間為 證畢 5驗(yàn)證式（9.24）的解能使達(dá)到最小值. 證：是函數(shù)的駐點(diǎn). 而 由柯西不等式知，而所以是

16、的極小點(diǎn)，而存在最小值，故能使達(dá)到最小值. 6利用定理9.2證明，在假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量并利用它檢驗(yàn)9.2中例1所得的回歸方程的顯著性 證：因?yàn)?所以 在成立的條件下又由分布的定義知. 證畢 今利用統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)回歸方程的顯著性.對(duì)于給定的查分布表得臨界值. 因?yàn)椋曰貧w方程顯著. 7利用定理9.2證明回歸系數(shù)的置信區(qū)間為并利用這個(gè)公式求9.2中例1的回歸系數(shù)的置信區(qū)間（置信度為0.95）. 解 由定理9.2知對(duì)于給定的，查分布表求出臨界值，使在上式的大括號(hào)內(nèi)，將暴露出來(lái)得故的置信度為下的置信區(qū)間為 證畢在例1中 ， .所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為 8在鋼線碳含量對(duì)于電阻時(shí)，微歐）效

17、應(yīng)的研究中，得到以下的數(shù)據(jù)0.010.300.400.550.700.800.951518192122.623.826 設(shè)對(duì)于給定的為正態(tài)變量，且方差與無(wú)關(guān). （1）求線性回歸方程; （2）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性； （3）求的置信區(qū)間（置信度為0.95）； （4）求在處的置信度為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間. 解 我們用下表進(jìn)行計(jì)算序號(hào)12345670.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.8260.010.090.160.30250.490.640.9025225324361441510.76566.446761.55.47.611.5515.8219.042

18、4.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.77 , , , , （1） , ， 所以回歸方程為 （2）我們用方差分析表來(lái)檢驗(yàn)回歸方程的顯著性方 差 分 析 表方差來(lái)源平方和自由度均 方F值回 歸1剩 余5總 和6其中 . 查F分布表求出臨界值 因?yàn)?所以回歸方程高度顯著. （3）由第7題知，的置信度為下的置信區(qū)間為此處, . 所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為（11.112, 13.987） （4）, . 故在處的置信度為0.95的置信區(qū)間為 9在硝酸鈉的溶解度試驗(yàn)中，對(duì)不同的溫度測(cè)得溶解于100ml水中的硝酸鈉質(zhì)量的觀測(cè)值如下：041015212936516

19、866.771.076.380.685.792.999.6113.6125.1從理論知與滿足線性回歸模型式（9.20） （1）求對(duì)的回歸方程； （2）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性； （3）求在時(shí)的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信度為0.95）. 解 計(jì)算表如下序號(hào)123456789041015212936516866.771.076.380.685.792.999.9113.6125.10161002254418411296260146244448.895041.005821.696496.367344.498630.419980.0112904.9615560.01028476312091799.72694.13596.45793.68506.8234811.81014476317.8224646.6 , （1）對(duì)的回歸方程為 ； （2）方差分析表如下方差來(lái)源平方和自由度均 方F 值回 歸3086.2513086.25=2996.36剩 余7.2171.03總 和3093.468 查F分布表求出臨界值 因 ，故方程高度顯著. （3） 在時(shí)的置信度為0.95下的預(yù)測(cè)區(qū)間為. 10某種合金的抗拉強(qiáng)度與鋼中含碳量滿足線性回歸模型式（9.20）今實(shí)測(cè)了92組數(shù)據(jù)并算得 （1）求對(duì)的回歸方程； （2）對(duì)回歸方程作顯著性檢驗(yàn)； （3）當(dāng)含碳量時(shí)求的置信度為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間； （4）若要控制抗