1、三十九章 猜想求證型問(wèn)題23（2013山東省濱州中考，23，9分）我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”類似的，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，那么EF就是梯形ABCD的中位線通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論【解析】連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，證明ADFGCF，容易看出EF為ABG的中位線，所以，EF=（AD+BC）。解：結(jié)論為：EFADBC，EF=（AD+BC）理由如下：連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)GAD

2、BCDAF=G，在ADF和GCF中，ADFGCF，AF=FG，AD=CG又AE=EB，即EFADBC，EF=（AD+BC）【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理正確的添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵，梯形的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解決26（2013黑龍江省綏化市，26，8分）已知，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BC上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P為EC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PQBC于點(diǎn)Q，PRBD于點(diǎn)R 如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時(shí)，易證：PR+PQ=； 如圖（乙），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時(shí)，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否

3、仍然成立？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； 如圖（丙），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想【解析】解：（2）圖2中結(jié)論P(yáng)R+PQ=仍成立證明：連接BP，過(guò)C點(diǎn)作CKBD于點(diǎn)K四邊形ABCD為矩形，BCD=90，又CD=AB=3，BC=4，BD=SBCD=BCCD=BDCK，即34=5CK，CK=SBCE=BECK，SBEP=PRBE，SBCP= PQBC，且SBCE=SBEP+SBCP，BECK=PRBE+PQBC又BE=BC，CK=PR+PQ，PR+PQ=（3）圖3中的結(jié)論是PR-PQ=【答案】結(jié)論P(yáng)R+PQ=

4、仍然成立，理由見解析；圖（丙）中的結(jié)論是PR-PQ=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及直角三角形的重要定理：勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握好矩形的性質(zhì)及以圖形面積的和差為平臺(tái)構(gòu)造出的等式關(guān)系難度中等23. （2013山東省青島市，23，10）（10分）問(wèn)題提出：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？問(wèn)題探究：為了解決上面的問(wèn)題，我們將采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從簡(jiǎn)單和具體的情形入手：探究一：以ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)P，共4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？如圖，顯然，此時(shí)可把ABC分割成3個(gè)互不重

5、疊的小三角形.探究二：以ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)P、Q，共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖ABC的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會(huì)有兩種情況：一種情況，點(diǎn)Q在圖分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部，不妨假設(shè)點(diǎn)Q在PAC內(nèi)部，如圖；另一種情況，點(diǎn)Q在圖分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨假設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖；顯然，不管哪種情況，都可把ABC分割成5個(gè)互不重疊的小三角形.探究三：以ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R，共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可把ABC分割成 個(gè)互不重疊的小三角形，并在圖畫出一種分割示意圖.探究四：以ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的

6、m個(gè)點(diǎn)，共（m+3）個(gè)頂點(diǎn)可把ABC分割成 個(gè)互不重疊的小三角形。探究拓展：以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+4）個(gè)頂點(diǎn)，可把四邊形分割成 個(gè)互不重疊的小三角形。問(wèn)題解決：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)頂點(diǎn)，可把ABC分割成 個(gè)互不重疊的小三角形。實(shí)際應(yīng)用：以八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2013個(gè)點(diǎn)，共2020個(gè)點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？（要求列式計(jì)算）23. 【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：內(nèi)部每多一個(gè)點(diǎn)，則多2個(gè)三角形，從而得到一般規(guī)律為n+2(m-1)或2m+n-2.根據(jù)根據(jù)規(guī)律逐一解答.【答案】探究三：7分割示意圖.（答案不唯一）.探究四：3+2（

7、m-1）或2m+1 探究拓展：4+2（m-1）或2m+2問(wèn)題解決：n+2(m-1)或2m+n-2實(shí)際應(yīng)用：把n=8,m=2013代入上述代數(shù)式，得2m+n-2=22013+8-2=4024+8-2=4030.【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問(wèn)題，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形，探尋其規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律才能順利解題，體現(xiàn)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想16（2013貴州遵義，16,4分）猜數(shù)字游戲中，小明寫出如下一組數(shù)：，小亮猜想出第六個(gè)數(shù)字是，根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是解析：根據(jù)分?jǐn)?shù)的分子是2n，分母是2n+3，進(jìn)而得出答案即可解：分?jǐn)?shù)的分子分別是：2 2=4，23=8，24=16，分?jǐn)?shù)的分母分別是：2 2+3=7，23+

8、3=11，24+3=19，第n個(gè)數(shù)是故答案為：答案：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出分子與分母的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵26. （2013年吉林省，第26題、10分）問(wèn)題情境如圖，在x軸上有兩點(diǎn)A（m,0）,B(n, 0)(nm0).分別過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線y=x于點(diǎn)C，點(diǎn)D.直線OC交直線BD于點(diǎn)E，直線OD交直線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)分別記為,.特例探究填空：當(dāng)m=1,n=2時(shí)，=_,=_.當(dāng)m=3,n=5時(shí)，=_,=_.歸納證明對(duì)任意m, n（nm0）,猜想與的大小關(guān)系，并證明你的猜想拓展應(yīng)用.（1） 若將“拋物線y=x”改為“拋物線y=ax（a0）”,其它

9、條件不變，請(qǐng)直接寫出與的大小關(guān)系.（2） 連接EF， AE當(dāng)時(shí)，直接寫出m和n的關(guān)系及四邊形OFEA的形狀【解析】【特例探究】【歸納證明】都是【拓展應(yīng)用】（1）的特殊情況，因此以【拓展】（1）為例說(shuō)明前三小問(wèn)的思路：已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可最后一小題也比較簡(jiǎn)單：總結(jié)前面的結(jié)論，能得出EFx軸的結(jié)論，那么直角梯形OFEB的面積和OFE的面積比例關(guān)系，能判斷出EF、OA的比例關(guān)系，進(jìn)而得出m、n的關(guān)系，再對(duì)四邊形OFEA的形狀進(jìn)行判定【答案】解：特例探究當(dāng)m=1，n=2時(shí)，A（1，0）、B

10、（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；則：直線OC的解析式為：y=x；直線OD解析式為：y=2x；F（1，2）、E（2，2）；即同理：當(dāng)m=3，n=5時(shí)，歸納證明猜想：證明：則，C， DOD的解析式為y=nxOC的解析式為y=mxE在OC上，橫坐標(biāo)為n，當(dāng)x=n時(shí)，F(xiàn)在OD上，橫坐標(biāo)為m當(dāng)x=m時(shí)，拓展應(yīng)用（1） 設(shè)則OD的解析式為當(dāng)x=n時(shí)，；當(dāng)x=m時(shí)(2)四邊形OFEB是直角梯形，EF=n-m,OB=n, BE=mn又可得， EF=m, OA=mEFOA且EF=OA.四邊形OFEA是平行四邊形【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是一次函數(shù)解析式的確定和二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形面積的解法、平行四邊形的判定

11、等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，本題由特殊到一般、由淺入深的引導(dǎo)方式進(jìn)一步降低了題目的難度，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握是解題的關(guān)鍵28（2013黑龍江省綏化市，28，10分）如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD和AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4） 求G點(diǎn)坐標(biāo)； 求直線EF的解析式； 點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】解：由已知得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1四邊形ABCD為矩形B=9

12、00BG=點(diǎn)G坐標(biāo)為（3，4 -）設(shè)：直線EF的解析式是在RtBFG中，cosBFG=BFG=600，AFE=EFG=600AE=AFtanAFE=2tan600=2E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）又F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,4）解得直線EF的解析式是；存在：、【答案】 G點(diǎn)坐標(biāo)（3，）；、【點(diǎn)評(píng)】 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求直線解析式、三角函數(shù)及特殊角的三角函數(shù)值、平行四邊形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)還考查了考生數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等多個(gè)常見的初中數(shù)學(xué)思想對(duì)考生在知識(shí)、方法及能力方面均有較高的要求難度較大21（2013四川省資陽(yáng)市，21，8分）已知、是正實(shí)數(shù)，那么，是恒成立的（1）(3分)由

13、恒成立，說(shuō)明恒成立；（2）(3分)填空：已知、是正實(shí)數(shù)，由恒成立，猜測(cè)： 也恒成立；（3）(2分)如圖，已知AB是直徑，點(diǎn)P是弧上異于點(diǎn)A和點(diǎn)B的一點(diǎn)，PCAB，垂足為C，AC，C，由此圖說(shuō)明恒成立（第21題圖）【解析】（1）由完全平方的非負(fù)性及完全平方公式展開再運(yùn)用不等式性質(zhì)1即可證得.（2）由（1）得出：“兩正實(shí)數(shù)的平均數(shù)不小于這兩正實(shí)數(shù)積的算術(shù)平方根”，挖掘規(guī)律得出答案.（3）由“點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線段中垂線段最短”的性質(zhì)及相似構(gòu)造出不等式的形式.【答案】（1）由得，1分于是 2分3分（2）6分（3）連結(jié)OP，AB是直徑，APB=90，又PCAB，RtAPCRtPBC，7分又，由垂線段

14、最短，得，8分【點(diǎn)評(píng)】本題主要是將高中不等式知識(shí)通過(guò)初中的知識(shí)去理解證明，主要考查了考生觀察、類比、歸納的能力.解決此種題型的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用初數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)及了解初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接.難度較大.（2013浙江省衢州，19，6分）如圖，在ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，連接AE、CF.請(qǐng)你猜想：AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明.【解析】AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，可從AE與CF所在的ABE和CDF是否全等來(lái)考慮，先由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，ABE=CDF，再加上已知BE=DF，可推出ABECDF，得證【答案】猜想：AECF四邊形ABCD是平行四邊形，

15、 ABCD，ABCD 2分 ABECDF 3分 又BE=DF ABECDF 5分 AECF 6分【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明AF與CF所在的三角形全等全等三角形的判定，常見的判斷方法有5種，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊24（2013湖南湘潭，24，8分）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，將沿直線向右平移,使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，連結(jié)，交于.（1）猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

16、（2）求線段的長(zhǎng).【解析】用平行四邊形和菱形的判斷方法和性質(zhì)進(jìn)行推理，將沿直線向右平移,CDAB，且CD=AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，又有AB=BC，則四邊形ABCD是菱形，菱形的對(duì)角線互相垂直平分。（2）用勾股定理或三角函數(shù)求出等邊三角形的高BF=，由菱形的性質(zhì)得BD=2BF=。【答案】（1）猜想與的位置關(guān)系是互相垂直平分，證明如:下：因是等邊三角形，則AB=BC=AC=3，將沿直線向右平移后,CDAB，且CD=AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，又有AB=BC，則四邊形ABCD是菱形，菱形ABCD的對(duì)角線與互相垂直平分。（2）BC=3，CF=，BFC=900，BF=，由菱形的性質(zhì)得BD=2BF=。【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形和平行四邊形的性質(zhì)和判斷方法，對(duì)角線互相垂直平分，是菱形的性質(zhì)。來(lái)17. （2013安徽，17，8分）在由mn（mn1）個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f，（1）當(dāng)m、n互質(zhì)（m、n除1外無(wú)其他公因數(shù)）時(shí)，觀察下列圖形并完成下表：123213432354247357 猜想：當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，在mn的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的