1、第七章線性變換3 在 Px中，A f(x)二 f (x), B f(x)二xf(x)，證明:AB BA=E 解題提示直接根據變換的定義驗證即可.證明任取f(X) Px，則有(AB -BA )f (x) =AB f(x) - BA f(x) =A (xf (x) -B (f (x)=(xf (x) - xf (x) = f (x) = E f (x)，于是 AB -BA E 4 設A , B是線性變換，如果AB -BA*E，證明：kkk _1A B -BA = kA , k 1 解題提示利用數學歸納法進行證明.證明當k = 2時，由于A B - BA =E，可得A 2B -BA 2 =A (AB

2、 - BA ) (AB - BA )A = 2A ,因此結論成立.假設當k=s時結論成立，即 A sB -BAs=sAs .那么，當k = s，1時，有A s 1B _BA s 1 =A (A sB - BA s) (A B _BA )A s =sA s A s = (s 1)A s ,即對k = s 1結論也成立從而，根據數學歸納法原理，對一切 k 1結論都成立.特別提醒由A ° = E可知，結論對k =1也成立.5 證明：可逆映射是雙射.解題提示只需要說明可逆映射既是單射又是滿射即可.證明 設A是線性空間V上的一個可逆變換.對于任意的】7，如果 = A ,那么，用A _1 作用左

3、右兩邊，得到=A 4(A ：冷=A '(A，因此A是單射；另外，對于任意的7，存在= A"7，使得A、= A (A -)=- ?，即A是滿射于是 A是雙射.特別提醒由此結論可知線性空間 V上的可逆映射 A是V到自身的同構.6.設；1, ；2,川，；n是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換，證明A可逆當且僅當 A ；1,A ；2,|I(,A ；n線性無關.證法1若A是可逆的線性變換，設 k1Ak2A ；2knA ；n = 0，即A (ki；1 k2；2 II, kn ；n) = 0 .而根據上一題結論可知A是單射，故必有k1V k2；2 |1( - kn :n = 0 ,又由

4、于M, ；2,丨1(, ；n是線性無關的，因此ki二k2 =|(二kn =0 從而A ；1, A 2川，A ；n線性無關.反之，若A 1,A ；2,|I(,A ；n是線性無關的，那么 A ；1,A ；2,|I(,A ；n也是V的一組基.于是，根據 教材中的定理1,存在唯一的線性變換 B，使得B (A ；J = ；i , i =1,2川|, n .顯然BA ( Q，AB (A =A 打，i =1,2,川，n .再根據教材中的定理 1知，AB -BA -E .所以A是可逆的.證法2設A在基 ；2,丨1(, ；n下的矩陣為A，即A ( ；1, ；2,川，；n) =(A 1,A ；2,1山 A ；n)

5、=( ；1 , ；2,川，；n) A 由教材中的定理 2可知，A可逆的充要條件是矩陣 A可逆.因此，如果A是可逆的，那么矩陣 A可逆，從而A “A ；2,|I(,A ；n也是V的一組基，即是線性無關的.反之，如果A ；1,A ；2I(,A ；n是線性無關，從而是 V的一組基，且 A是從基；1, ；2川(，；n到A 1,A ；2,川，A ；n的過渡矩陣，因此 A是可逆的所以 A是可逆的線性變換.方法技巧方法1利用了上一題的結論及教材中的定理1構造A的逆變換；方法2借助教材中的定理2，將線性變換 A可逆轉化成了矩陣 A可逆.9.設三維線性空間 V上的線性變換 A在基；仆；2, ；3下的矩陣為fan

6、 a12 a13A = a21 a22 a23 .2 31 a32 a33 丿1 )求A在基3 ；2, ；1下的矩陣；-3 -2 ）求A在基；i,k；2, ；3下的矩陣，其中 k P且k=0 ；3）求A在基；1 ；2, ；2, ；3下的矩陣.解題提示可以利用定義直接寫出線性變換的矩陣，也可以借助同一個線性變換在兩組不同基下的 矩陣是相似的進行求解.解1）由于A ；3=ai3 ；1 a23 ；2 ' a33 ；3 = a33 ；3 ' a232 ' ai3 ；1 ，=*12 =1 a?2'玄32 ：3 =玄32：3 ' *22'耳2 "1

7、=a11 ；1 ' a21 ；2 ' a31 ；3=a31 ；3 ' a21 ；2 a11 ；1故A在基3 ；2, r下的矩陣為a33a32a31B1 =a23a22a21<a13a12a11 J2）由于A 刁=a“ "1 ' a21 -2 ' a31= an -11+ 821k 死十 a31 s， kA k-2ka =1ka?2ka32 七=ka12-1a?2kka32 =3 ，A '3 = a13 "1 ' a23 '2 ' a33 '3 = a13 '11* a23kS *

8、a333 k故A在基kp, ；3下的矩陣為3）由于從；1, 2 ；3 到 V ；2, ；2,'a11ka12a13B 2 =17a21ka221 -a， k 2、a31ka32a33電的過渡矩陣為q00X =110<001故A在基 ；2, ；2, 3下的矩陣為-4 -n00、1 a11a12a13廣100a11+ a12a12a13B3 =110a21a22a23110=321311+ a?2 a2a22 一 a12a23 a13<00b131a32a33)I00J1a31+ a32a32a33J方法技巧根據線性變換的矩陣的定義，直接給出了1)和2)所求的矩陣；3)借助了過

9、渡矩陣,利用相似矩陣得到了所求矩陣事實上，這三個題目都可以分別用兩種方法求解.10 設A是線性空間 V上的線性變換，如果 A kJ - 0，但A =0,求證：A：|(,Akn (k 0)線性無關.證明 由于A= 0 ,故對于任意的非負整數 i，都有A k二A ' (A)= 0 當k 0時，設Xix2A11 ( xnA kJ = 0,用A k丄作用于上式，得XiAkJ =0,但A k - 0，因此 = 0 .于是X2III XnA kJ = 0 ,再用A k_2作用上式，同樣得到 x2 = 0 .依此下去，可得 捲=x2 =|1(二xk = 0.從而，A ,|1(, A k，線性無關.1

10、6.證明:i2in相似，其中 2,in是1,2川l,n的一個排列.解題提示利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的或直接相似的定義.證法1設V是一個n維線性空間，且；1, ；21( , ；n是V的一組基.另外，記,B =i1扎i2Iji.Z J扎.n Jin丿于是，在基；仆；2,丨1(, ；n下，矩陣A對應V的一個線性變換 A ,即A (環川気)=(色，®,川,“ *=(翰，,川渥n)A -i-IAn丿從而A * =打；i , i =1,2jl I, n .又因為 喑，；i2,丨II, ；in也是V的一組基，且'1A ( 11 , ；i2, III ；in) =( ；il,

11、 ；i2, 111, ；in)-6 -# -故A與B相似.證法2 設對A交換i, j兩行，再交換i,j兩列，相當于對 A左乘和右乘初等矩陣P(i, j)J = P(i, j)和p(i,j)，而P(i,j)AP(i, j)即為將A中的'i和 j交換位置得到的對角矩陣于是，總可以通過這樣的一系列的對調變換，將A的主對角線上的元素'1, 2,川，n變成'ii, 'i2,川，'in，這也相當于存在一系列初等矩陣Ql,Q2l(, Q s ,使得QsllQQiAQ1Q2 川 Qs 二 B ,令Q= Q1Q JI (Qs,則有Q AQ二B，即A與B相似.方法技巧證法1

12、利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的這一性質；證法2利用了矩陣的相似變換，直接進行了證明.17.如果A可逆，證明 AB與BA相似.證明由于A可逆，故A 4存在.于是A 4(AB) A 二(A*A)BA 二 BA ,因此，根據相似的定義可知 AB與BA相似.19.求復數域上線性變換空間 V的線性變換 A的特征值與特征向量.已知 A在一組基下的矩陣為:-4K-2八 2 - 5- -14 = （，- 7）（；，2）34、廣563、001'1） A =；4） A =-101；5） A =010,52 2-bJ0°1 ）設A在給定基；仆；2下的矩陣為A 由于A的特征多項式為-7

13、-# -故A的特征值為=7 ,、2 = -2 .當=7時，方程組（ E - A） X =0 ,即為4為-4X2 =0,-5洛 5x2 = 0.解得它的基礎解系為.從而A的屬于特征值、=7的全部特征向量為-# -# -其中k為任意非零常數.當' 2 2時，方程組（2 EA） X =0 ,即為-5x<i - 4x? = 0,-5x1 -4x2 二 0.解得它的基礎解系為廣4、<-5>從而A的屬于特征值，2 - -2的全部特征響向量為-# -# -其中I為任意非零常數.4）設A在給定基；1, ；2, ；3下的矩陣為A，由于A的特征多項式為-# -# -人-5 _631 丸

14、_1 =（丸 _2）（丸 _1 _ V3）（丸 _1+V3）,12九 +1故A的特征值為=2 ,，2=1"、3 ,，3=1八、3 .當=2時，方程組1E - A)X = 0 ,即為I 3咅6x2 3x3 二 0,« 冶 +2x2 x3 = 0,一旨2x2 十 3x3 = 0.求得其基礎解系為1 ，故A的屬于特征值2的全部特征向量為、：1 = 2k-1 ki?.?其中k1為任意非零常數.當2 =1 、3時，方程組(七E -A)X = 0,即為丄(-4 、3岡 - 6x2 3x3 = 0,X! (1.3)X2 X3 =0,-X, -2X2(23)X3 =0.f 3、求得其基礎解

15、系為-1 ，故A的屬于特征值1+J3的全部特征向量為I2 -寸32 =3k2t - k2 ( _ 3) k 3 其中k2為任意非零常數.當'3 =1 -'-3時，方程組(3E A) X = 0 ,即為(_4 -3)X1 6X2 3x3 = 0, X (1-神3風-X3 =0,一為一2x2(2 - . 3)X3 =0. 3'求得其基礎解系為-1 ，故a的屬于特征值1-75的全部特征向量為<2+瓦3 性；1 譏"(2 G)k3；3 其中k3為任意非零常數.5）設A在給定基；1, 2 ；3下的矩陣為 A，由于A的特征多項式為乙0-1kE -A = 0 九一10

16、 =（扎一1）2（九+1）,-10丸故A的特征值為=1 （二重），21.當、=1時，方程組（”E A）X = 0 ,即為X1 X3 =0, -X1 x = 0.求得其基礎解系為故A的屬于特征值1的全部特征向量為-9 -# -其中k1, k2為任意不全為零的常數.當匕-1時，方程組2E - A）X = 0 ,即為-x<| - X3 = 0,-2X2 二 0,-X1 - X3 = 0.求得其基礎解系為0 ，故A的屬于特征值-1的全部特征向量為J丿-T ；1I ；3 ,其中I為任意非零常數.方法技巧求解一個線性變換的特征值即求其矩陣的特征多項式的根，再對每個根求得所對應的特 征向量，但一定要注

17、意表達成基向量的線性組合形式.24. 1 ）設'1, '2是線性變換A的兩個不同特征值，；1, ；2是分別屬于'1, ' 2的特征向量，證明：；1 ；2 不是A的特征向量；2）證明：如果線性空間 V的線性變換A以V中每個非零向量作為它的特征向量，那么A是數乘變換.證明1 ）反證法假設計 ；2是A屬于特征值的特征向量，即A （ ；1 2）- ' （ ；1 ；2）- ' ；1 /'2 而由題設可知A = 1 , A ；2 =，2 ；2，且、二2，故A （ y2 = A M A ；2 = ' "I r 亠；2 ；2 比較兩個等

18、式，得到（八1 i '）-1（ 2'）'' 2= 0 再根據；1, ；2是屬于不同特征值的特征向量，從而是線性無關性，因此，1 - ' - '2冬=0,即1 =黑2 這與1 = '2矛盾所以1；2不是A的特征向量.2）設1, ；2,川，；n是V的一組基，則它們也是A的n個線性無關的特征向量，不妨設它們分別屬于特征值1, '21, n，即A ；i =打；i , i =仁2,11）, n 根據1）即知二，2二川二冷二，否則，若' 2，那么V ；2 = 0，且不是A的特征向量，這與 V中每個非零向量都是它的特征向量矛盾所以，對于任意的V，都有A,即A是數乘變換.25設V是復數域上的n維線性空間，A , B是V上的線性變換，且 AB =BA 證明：1）