1、三角形等高模型與鳥頭模型模型二鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角) 兩夾邊的乘積之比如圖在 ABC 中， D , E 分別是 AB , AC 上的點如圖(或 D 在 BA的延長線上，E在AC上如圖 2)，則 SABC : S ADE ( ABAC): (ADAE )ADADEEBCBC圖圖【例 1】 如圖在 ABC 中， D ,E 分別是 AB , AC 上的點，且 AD : AB 2:5， AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面積AADDEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE :

2、 S ABEAD:AB2 :5(24): (54) ，S ABE : S ABCAE: AC4:7 (45) :(75) ，所以 S ADE : S ABC(24) :(75) ，設 S ADE8 份，則 35份， 16 平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米， ABC的S ABCS ADE面積是 70平方厘米 由此我們得到一個重要的定理，共角定理： 共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE 的面積等于1，那么三角形ABC 的面積是多少？AAD

3、EDEBCBC【解析】 連接 BE EC3AESV ABC3SVABE又 AB5ADSV ADESVABE5 SVABC 15 ， SVABC 15SV ADE 15 【鞏固】如圖，三角形ABC 被分成了甲 ( 陰影部分 ) 、乙兩部分， BDDC 4， BE3， AE6 ，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？AAEB甲【解析】 連接 AD BE3， AE6 AB3BE ， SV ABD又 BDDC4 ，乙E乙甲CBCDD3SV BDESV ABC2 SV ABD ， SVABC 6 SV BDE ， S乙5S甲 【例 2】 如圖在 ABC 中， D 在 BA 的延長線上， E 在 AC 上，且 A

4、B : AD 5: 2，AE:EC3: 2 ， SADE12 平方厘米，求 ABC 的面積DDAAEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2 :5(23): (53)S ABE : S ABC AE : AC3: (32)(35): (32) 5，所以 S ADE : S ABC(32): 5(32)6 : 25 ，設 SADE6 份，則 S ABC25 份， S ADE 12 平方厘米，所以 1 份是 2平方厘米，25份就是50 平方厘米， ABC 的面積是 50 平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角

5、) 兩夾邊的乘積之比【例 3】 如圖所示，在平行四邊形ABCD 中， E 為 AB 的中點， AF2CF ，三角形 AFE( 圖中陰影部分 ) 的面積為 8 平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？DCFAEB【解析】 連接 FB三角形 AFB 面積是三角形CFB 面積的2 倍，而三角形AFB 面積是三角形AEF 面積的 2倍，所以三角形ABC 面積是三角形AEF 面積的 3 倍；又因為平行四邊形的面積是三角形ABC 面積的2 倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的（3 2）6 倍因此，平行四邊形的面積為8 6 48( 平方厘米 ) 【例 4】 已知 DEF 的面積為 7 平方厘米，BE

6、CE, AD2 BD, CF3AF ，求 ABC 的面積AFDBCE【解析】 S BDE : S ABC(BDBE) : (BA BC)(11): (23)1: 6，S CEF : S ABC(CECF ) : (CB CA)(13) :(24)3:8S ADF : S ABC( ADAF ): (ABAC)(21) :(34) 1:6設 ABC24 份，則BDE4份， 4份， CEF9份， 2444 9 7 份，恰好是7SSS ADFSS DEF平方厘米，所以S ABC24 平方厘米【例 5】 如圖，三角形ABC 的面積為3 平方厘米，其中AB : BE 2:5， BC :CD3: 2，三角

7、形 BDE 的面積是多少？ABEABECCDD【解析】 由于ABCDBE180 ，所以可以用共角定理，設AB 2份， BC3份，則 BE 5 份，BD 3 2 5 份，由共角定理S ABC : S BDE( ABBC):(BEBD) (23):(55) 6:25，設S ABC 6 份，恰好是3平方厘米，所以1份是 0.5 平方厘米， 25 份就是 250.512.5平方厘米，三角形 BDE 的面積是 12.5平方厘米【例 6】 ( 2007 年”走美”五年級初賽試題 ) 如圖所示，正方形 ABCD 邊長為 6 厘米， AE1 AC ，CF1BC 三角形 DEF 的面積為 _ 平方厘米33ADE

8、BFC【解析】 由題意知 AE1AC、CF123BC ，可得 CEAC 根據”共角定理”可得，33S CEF : S ABC (CF CE) : (CB AC )12: (33) 2:9；而 S ABC6 6 2 18；所以 SCEF 4 ；同理得， S CDE : S ACD2 :3 ;， SCDE183 212 ， SCDF 6故 S DEF S CEFS DECS DFC 412610 (平方厘米 )【例 7】 如圖，已知三角形ABC 面積為 1，延長 AB 至 D ，使 BDAB；延長 BC 至 E ，使 CE2BC ；延長CA至 F ，使 AF3AC ，求三角形 DEF 的面積FFA

9、CEAEBBCDD【解析】 ( 法 1) 本題是性質的反復使用連接 AE、 CD SV ABC11 ， SV ABCSVDBC1SVDBC1 同理可得其它，最后三角形DEF 的面積 18( 法 2 ) 用共角定理在 VABC 和 VCFE 中，ACB 與 FCE 互補，SVABCACBC111SVFCEFCCE428又 SV ABC1 ，所以 SVFCE8 同理可得 SVADF6， SVBDE3 所以 SV DEFSVABCSV FCESV ADFSVBDE186318【例 8】 如圖，平行四邊形ABCD ， BEAB， CF2CB ， GD3DC ， HA4AD ，平行四邊形ABCD 的面積

10、是2 ， 求平行四邊形ABCD 與四邊形EFGH 的面積比HHABEABEGDCGDCFF【解析】 連接 AC 、 BD 根據共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 與FBE 互補，S ABCABBC111BEBF133S FBE又 S ABC1 ，所以 S FBE3 同理可得 S GCF8 ， SDHG15 ， S AEH8 所以 SEFGHS AEHS CFGS DHGS BEFSABCD88 15+3+236 所以 SABCD21 SEFGH36 18【例 9】 如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EAAB，DA，求四邊形ABCDCBBFDCCG HD的面積HHDCGDCGABF

11、ABFEE【解析】 連接 BD 由共角定理得S BCD : S CGF(CD CB ) : (CGCF )1: 2 ，即 SCGF2S CDB同理 S ABD : S AHE1: 2 ，即 S AHE 2 S ABD所以 S AHESCGF2( SCBDS ADB )2S四邊形 ABCD連接 AC ，同理可以得到S DHGS BEF2S四邊形 ABCDS四邊形 EFGHS AHES CGFS HDGS BEFS四邊形 ABCD5S四邊形 ABCD所以 S四邊形 ABCD66513.2平方米【例 10】如圖，將四邊形ABCD 的四條邊 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分別延長兩倍至點E、F、

12、G、H，若四邊形 ABCD 的面積為5，則四邊形 EFGH 的面積是FFEBAEBACDGCGDHH【解析】 連接 AC 、 BD 由于 BE2AB， BF2BC ，于是 S BEF4S ABC ，同理 S HDG4S ADC 于是 S BEFS HDG4S ABC4S ADC4 SABCD 再由于 AE3AB ，AH3AD ，于是 S AEH9S ABD ，同理 S CFG9S CBD 于是 S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD 那么 SEFGHS BEFS HDGS AEHS CFGSABCD4SABCD9SABCDSABCD 12SABCD60 【例 11】如圖，在

13、ABC 中，延長 AB 至 D ，使 BDAB，延長 BC 至 E，使 CE1BC，F是AC的中點，若 ABC 的面積是2 ，則 DEF 的面積是多少？2AFBCED【解析】 在 ABC 和 CFE 中，ACB 與 FCE 互補，S ABCACBC224FCCE111S FCE又 SV ABC2 ，所以 SV FCE0.5 同理可得 S ADF2 ， SBDE3 所以S DEFS ABCS CEFS DEBS ADF20.5323.5【例 12】如圖， S ABC1， BC5BD ， AC4EC ， DGGS SE， AFFG 求 SV FGS AFGSEBCD【解析】 本題題目本身很簡單，但

14、它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3種情況 最后求得 SFGS 的面積為 S FGS432111 5432210【例 13】如圖所示，正方形ABCD邊長為 8 厘米， E 是 AD 的中點， F 是 CE 的中點， G 是 BF 的中點，三角形 ABG的面積是多少平方厘米？AEDAEDFFGCGCBB【解析】 連接 AF 、 EG 因為S BCFS CDE1216，根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積48比等于夾這個角

15、的兩邊長度的乘積比”SVAEF8 ， SVEFG8 ，再根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時， 這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到 SVBFC 16 ， SABFE32 ，SVABF24 ，所以 SVABG12 平方厘米【例 14】四個面積為 1 的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積FHAEBGCD【解析】 如圖，將原圖擴展成一個大正三角形DEF ，則AGF 與CEH 都是正三角形假設正六邊形的邊長為為a ，則AGF 與CEH 的邊長都是4a ，所以大正三角形DEF 的邊長為4217 ，那么它的面積為單位小正三角形面積的49 倍而一個正六邊形是由6 個單位小正三角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為1 ，三角形 DEF 的面積為 49 66由于 FA4a ， FB 3a ，所以 AFB 與三角形 DEF 的面積之比為4312 7749同理可知BDC 、 AEC 與三角形 DEF 的面積之比都為12 ，所以ABC 的面積占三角形DEF 面積49的 112313 ，所以ABC 的面積的面積為491313 4