1、H DC立體幾何常考證明題匯總答案1、已知四邊形 ABCD 是空間四邊形, , , , E F G H 分別是邊 , , , AB BC CD DA 的中點 (1 求證:EFGH 是平行四邊形(2 若 BD=AC=2, EG=2。求異面直線 AC 、 BD 所成的角和 EG 、 BD 所成的角。 考點:證平行(利用三角形中位線 ,異面直線所成的角2、如圖,已知空間四邊形 ABCD 中, , BC AC AD BD =, E 是 AB 的中點。 求證:(1 AB 平面 CDE;(2平面 CDE 平面 ABC 。 證明:(1BC AC CE AB AE BE =同理,AD BD DE AB AE

2、BE =又 CE DE E = AB 平面 CDE (2由(1有 AB 平面 CDE又 AB 平面 ABC , 平面 CDE 平面 ABC考點:線面垂直,面面垂直的判定3、如圖,在正方體 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中點,求證: 1/AC 平面 BDE 。證明:連接 AC 交 BD 于 O ,連接 EO , E 為 1AA 的中點, O 為 AC 的中點 EO 為三角形 1A AC 的中位線 1/EO AC 又 EO 在平面 BDE 內, 1AC 在平面 BDE 外 1/AC 平面 BDE 。 考點:線面平行的判定4、已知 ABC 中 90ACB =, SA 面

3、 ABC , AD SC , 求證:AD 面 SBC . 考點:線面垂直的判定5、已知正方體 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 對角線的交點 .求證:(1 C1O 面 11AB D ; (21AC 面 11AB D . AD 1CBDCEDBCSCBAD 1DB AC 1B A 1CN M PC B A 考點:線面平行的判定(利用平行四邊形 ,線面垂直的判定6、正方體 ' ' ' ' ABCD A B C D -中,求證:(1 ' ' AC B D DB 平面 ; (2 ' ' BD ACB 平面 . 考

4、點:線面垂直的判定7、正方體 ABCD A 1B 1C 1D 1中. (1求證:平面 A 1BD 平面 B 1D 1C ; (2若 E 、 F 分別是 AA 1, CC 1的中點,求證:平面 EB 1D 1平面 FBD . 證明:(1由 B 1B DD 1,得四邊形 BB 1D 1D 是平行四邊形, B 1D 1 BD , 又 BD 平面 B 1D 1C , B 1D 1平面 B 1D 1C , BD 平面 B 1D 1C . 同理 A 1D 平面 B 1D 1C .而 A 1D BD =D ,平面 A 1BD 平面 B 1CD .(2由 BD B 1D 1,得 BD 平面 EB 1D 1.取

5、 BB 1中點 G , AE B 1G .從而得 B 1E AG , 同理 GF AD . AG DF . B 1E DF . DF 平面 EB 1D 1. 平面 EB 1D 1平面 FBD .考點:線面平行的判定(利用平行四邊形8、四面體 ABCD 中, , , AC BD E F =分別為 , AD BC 的中點, 且 2EF AC =, 90BDC = ,求證:BD 平面 ACD證明:取 CD 的中點 G ,連結 , EG FG , , E F 分別為 , AD BC 的中點, EG12/AC = 12/FG BD =,又 , AC BD = 12FG AC =,在 EFG 中, 222

6、212EG FG AC EF += EG FG , BD AC ,又 90BDC =,即 BD CD , AC CD C = BD 平面 ACD考點:線面垂直的判定 , 三角形中位線,構造直角三角形9、如圖 P 是 ABC 所在平面外一點, , PA PB CB =平面 PAB , M 是 PC 的中點, N 是 AB 上的點,3AN NB =(1求證:MN AB ; (2當 90APB =, 24AB BC =時,求 MN 的長。 證明:(1取 PA 的中點 Q ,連結 , MQ NQ , M 是 PB 的中點, /MQ BC , CB 平面 PAB , MQ 平面 PAB QN 是 MN

7、在平面 PAB 內的射影 , 取 AB 的中點 D , 連結 PD , , P A P B = PD AB ,又 3AN NB =, BN ND = /QN PD , QN AB ,由三垂線定理得 MN AB (2 90APB =, , PA PB = 122PD AB =, 1QN =, MQ 平面 PAB . MQ NQ ,且112MQ BC = , MN =考點:三垂線定理10、如圖,在正方體 1111ABCD A B C D -中, E 、 F 、 G 分別是 AB 、 AD 、 11C D 的中點 . 求證:平面 1D EF 平面 BDG .證明: E 、 F 分別是 AB 、 AD

8、 的中點, EF BD 又 EF 平面 BDG , BD 平面 BDG EF 平面 BDG 1D GEB 四邊形 1D GBE 為平行四邊形, 1D E GBA 1又 1D E 平面 BDG , GB 平面 BDG 1D E 平面 BDG1EF D E E=, 平面 1D EF 平面 BDG考點:線面平行的判定(利用三角形中位線 11、如圖,在正方體 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中點 . (1求證:1/AC 平面 BDE ; (2求證:平面 1A AC 平面 BDE . 證明:(1設 AC BD O =, E 、 O 分別是 1AA 、 AC 的中點, 1AC

9、EO又 1AC 平面 BDE , EO 平面 BDE , 1AC 平面 BDE (2 1AA 平面 ABCD , BD 平面 ABCD , 1AA BD 又 BD AC ,1AC AA A=, BD 平面 1A AC , BD 平面 BDE , 平面 BDE 平面 1A AC考點:線面平行的判定(利用三角形中位線 ,面面垂直的判定12、已知 ABCD 是矩形, PA 平面 ABCD , 2AB =, 4PA AD =, E 為 BC 的中點. (1求證:DE 平面 PAE ; (2求直線 DP 與平面 PAE 所成的角. 證明:在 ADE 中, 222AD AE DE =+, AE DE PA

10、 平面 ABCD , DE 平面 ABCD , PA DE 又 PA AE A =, DE 平面 PAE (2 DPE 為 DP 與平面 PAE 所成的角在 Rt PAD , PD =Rt DCE 中, DE =在 Rt DEP 中, 2PD DE =, 030DPE = 考點:線面垂直的判定 , 構造直角三角形13、如圖, 在四棱錐 P ABCD -中, 底面 ABCD 是 060DAB =且邊長為 a 的菱形, 側面 PAD 是等邊三角形, 且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1若 G 為 AD 的中點,求證:BG 平面 PAD ; (2求證:AD PB ;(3求二面角 A BC

11、P -的大小. 證明:(1 ABD 為等邊三角形且 G 為 AD 的中點, BG AD 又平面 PAD 平面 ABCD , BG 平面 PAD(2 PAD 是等邊三角形且 G 為 AD 的中點, AD PG 且 AD BG , PG BG G =, AD 平面 PBG ,PB 平面 PBG , AD PB (3由 AD PB , AD BC , BC PB 又 BG AD , AD BC , BG BC PBG 為二面角 A BC P -的平面角在 Rt PBG 中, PG BG =, 045PBG = A C考點:線面垂直的判定 , 構造直角三角形 , 面面垂直的性質定理,二面角的求法(定義

12、法14、如圖 1, 在正方體 1111ABCD A B C D -中, M 為 1CC 的中點, AC 交 BD 于點 O ,求證:1AO 平面 MBD . 證明:連結 MO , 1A M , DB 1A A , DB AC ,1A A AC A=, DB 平面 11A ACC ,而 1AO 平面 11A ACC DB 1AO . 設正方體棱長為 a ,則 22132AO a =, 2234MO a =. 在 Rt 11AC M 中,22194A M a =. 22211AO MO A M +=, 1A O O M . OM DB =O , 1AO 平面 MBD .考點:線面垂直的判定,運用勾

13、股定理尋求線線垂直 15、如圖2,在三棱錐 A -BCD 中, BC =AC , AD =BD ,作 BE CD , E 為垂足,作 AH BE 于 H .求證:AH 平面 BCD . 證明:取 AB 的中點 F ,連結 CF , DF . AC BC =, CF AB . AD BD =, DF AB .又 CF DF F = , AB 平面 CDF . CD 平面 CDF , CD AB . 又 CD BE , BE AB B =, CD 平面 ABE , CD AH . AH CD , AH BE , CD BE E =, AH 平面 BCD .考點:線面垂直的判定16、證明:在正方體 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1C 平面 BC 1D 證明:連結 ACB D A C AC 為 A 1C 在平面 AC 上的射影BD A CA C BC A C BC D11111同理可證 平面考點:線面垂直的判定,三垂線定理17、如圖,過 S 引三條長度相等但不共面的線段 SA 、 SB 、 SC ,且 ASB= ASC=60°, BSC=90°,求證:平面 ABC 平面 BSC .證明 SB=SA=SC, ASB=