1、關(guān)節(jié)二編輯版word充分發(fā)揮方程的工具性作用方程是重要的數(shù)學(xué)工具，它可以干什么用呢？結(jié)論是：凡是有關(guān)“求值”的問(wèn)題，不管是怎樣的背景下和情境中，絕大多數(shù)情況都可以借助構(gòu)造方程來(lái)解決。一、方程用于實(shí)際問(wèn)題中的求值這方面的題目，同學(xué)們做的已經(jīng)很多，這里只舉一例。例1秋末，由于冷空氣入侵，某地區(qū)地面氣溫急劇下降到0c以下的天氣稱為“霜凍”。由霜凍所導(dǎo)致的植物生長(zhǎng)受到影響或破壞的現(xiàn)象稱為霜凍災(zāi)害。秋末某天，氣象臺(tái)發(fā)布了該地區(qū)如下的降溫預(yù)報(bào)：午夜。時(shí)至次日5時(shí)氣溫將勻速地由3降降到一3C,然后從次日5時(shí)至次日8時(shí)，氣溫將又勻速地由一3c升到5C,一種農(nóng)作物在0c以下持續(xù)超過(guò)3小時(shí)就會(huì)造成霜凍災(zāi)害，根據(jù)氣

2、象臺(tái)的預(yù)報(bào)信息，你認(rèn)為是否有必要對(duì)該農(nóng)作物采取防凍措施？并說(shuō)明理由。【觀察與思考】第一，這實(shí)際是要求出兩個(gè)數(shù)值：一是0時(shí)至次日5時(shí)氣溫下降過(guò)程中在哪個(gè)時(shí)刻達(dá)到0C；二是在次日5時(shí)至次日8時(shí)氣溫上升過(guò)程中，在哪個(gè)時(shí)刻達(dá)到0C,顯然是求值總問(wèn)題。應(yīng)分別構(gòu)造方程來(lái)解決。第二，可以用“勻速”所包含的“相等關(guān)系”來(lái)導(dǎo)出方程，即時(shí)刻1對(duì)應(yīng)的溫度時(shí)刻2對(duì)應(yīng)的溫度時(shí)刻3對(duì)應(yīng)的溫度時(shí)刻2對(duì)應(yīng)的溫度時(shí)刻1時(shí)亥IJ2時(shí)亥U3時(shí)亥U2（事實(shí)上，只要把本問(wèn)題的“溫度差”看作“路程”，它就相當(dāng)于行程問(wèn)題了。）簡(jiǎn)解：設(shè)在0時(shí)至次日5時(shí)之間的x時(shí)，氣溫降到0C,則依題意有：衛(wèi)V0A解得x2.5（時(shí)）50x0設(shè)在次日5時(shí)至次日

3、8時(shí)之間的y時(shí)氣溫升到0C,依題意有：5 ( 3)8 550.一,解得y6.125(時(shí))8y6.1252.53.625。氣溫在0c以下的時(shí)間為3.625小時(shí)（大于3小時(shí)）因此，會(huì)對(duì)該農(nóng)作物造成霜凍災(zāi)害，所以應(yīng)對(duì)它采取防凍措施。二、方程用于數(shù)學(xué)問(wèn)題中的價(jià)值數(shù)學(xué)問(wèn)題中有形形色色或顯或隱的求值問(wèn)題，大都可借助方程來(lái)解決。1、借助方程，解決某些“數(shù)與式”的問(wèn)題例1如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么，稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”。如：42202,124222,206242,因此4,12,20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)，(1) 28和2008這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？(2)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù)

4、)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？【觀察與思考】根據(jù)題中規(guī)定知道，若m(2x2)2(2x)2()，(其中x是整數(shù)，m為正整數(shù))，則m就是“神秘?cái)?shù)”。正整數(shù)m是不是“神秘?cái)?shù)”，就看使(X)式成立的整數(shù)x是不是存在，存在時(shí)m就是“神秘?cái)?shù)”；不存在，m就不是“神秘?cái)?shù)”。這就是說(shuō)，研究m是不是“神秘?cái)?shù)”的問(wèn)題，就變成了研究(X)這個(gè)關(guān)于x的方程有無(wú)整數(shù)解的問(wèn)題。解：(1)方程(2x2)2(2x)228,有非負(fù)整數(shù)解3。即28(232)2(23)2826228是神秘?cái)?shù)。22方程(2y2)(2y)2008,沒(méi)有整數(shù)解，2008不是神秘?cái)?shù)。(2) (2n3)2(2n1)28n8(n為非負(fù)整數(shù)),1111L令(2z2)2

5、(2z)28n8解得zn萬(wàn)，顯然z不是整數(shù)。兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))不是神秘?cái)?shù)。656,則滿足條件的x的不同值最多2按下面的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值x為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為A、輸入xB、是一 輸出結(jié)果C、 4個(gè)D、5個(gè)【觀察與思考】本題相當(dāng)于按如下規(guī)律構(gòu)造的方程:5x1656,5(5x1)656,55(5x1)11656,555(5x1)111656有正整數(shù)解的共有多少個(gè)。可驗(yàn)證只有上述4個(gè)方程有正數(shù)解。解：選Co對(duì)于許多有關(guān)特定要求的數(shù)，式問(wèn)題，常需要借助方程來(lái)解決。2、借助方程，解決某些幾何圖形的求值問(wèn)題例3圖1是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,則

6、六邊形的周長(zhǎng)是【觀察與思考】拼成六邊形的9個(gè)等邊三角形按大小共分為5類，從大到小邊長(zhǎng)逐減小a,因此，可通過(guò)構(gòu)造最大的等邊三角形的邊長(zhǎng)的方程來(lái)求得它的值。從圖2中可以看到最大三角形的邊長(zhǎng)是第四大三角形邊長(zhǎng)的2倍，易如：設(shè)最大的等邊三角形的邊長(zhǎng)為X,則有x2(x3a),解得x6a。圖中六邊形的六條邊依次為：6a,5a,5a4a,(4a3a),3a.解：30aA的一條直線和 CD, ED分別相交于點(diǎn) M ,例4如圖，這是由五個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的圖形，過(guò)頂點(diǎn)No假若直線MN繞過(guò)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中存在某一位置,使得MN將圖形分成的兩部分面積恰好相等，求這時(shí)線段EN的長(zhǎng)。【觀察與思考】可借助S MND來(lái)構(gòu)

7、造關(guān)于2EN的方程求其長(zhǎng)。 一 1 一 斛：SRt ANG AG NG 2Rt MND s Rt AGN,且12 ND NG(1 EN)2 EN1 ENS MND(2_JN)2 S(1 EN)ANG2(2 EN)2(1 EN)2得關(guān)于EN_2的方程已422(1 EN)2解得EN115,EN221 EN2EN2EN 12(2 EN)22(1 EN)1. 5._ 人1一5 (不合題意，舍去)。2EN的長(zhǎng)為許多圖形的求值問(wèn)題，可借助方程來(lái)解決，事實(shí)上，包括解直角三角形和用相似三角形的性質(zhì)求邊長(zhǎng)，也是特定形式的方程，是方程思想的一種具體化表現(xiàn)。3、借助方程，解決函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題例5如圖，在平面直角坐標(biāo)系

8、中，直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)E和F。從點(diǎn)A(1,0)和解：設(shè)直線l的解析式為ykxb,易知:OFb,ACkb,BD3kb.OA1,AB2,依題意有方程組:11119kb)解得2412(kb3kb)12一，1直線l的解析式為：y-x2早晨，小麗與媽媽同時(shí)從家出發(fā)，步行與騎自行車到方向相反的兩地上學(xué)與上班，圖中所示是她們離家10分鐘接到小麗的電話，即以原速度騎車前往小麗的路程y（米）與時(shí)間x（分）的函數(shù)圖象。媽媽騎自行車走了的學(xué)校，并與小麗同時(shí)到達(dá)學(xué)校。已知小麗步行速度為每分50米，求小麗家與學(xué)校的距離及小麗早晨上學(xué)需要的時(shí)間。(分)解方程組Jy50xy250x5000x25y

9、1250小麗家與學(xué)校的距離為1250米，小麗早晨上學(xué)需要25分鐘。【說(shuō)明】本題是將方程的思想和函數(shù)圖象的意義緊密結(jié)合，才有如此簡(jiǎn)明的解決方法。許多和函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，只要涉及到求值，常需要考慮借助方程。4、和運(yùn)動(dòng)有關(guān)的圖形問(wèn)題，凡屬運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特定形狀，特定數(shù)量以及特定位置關(guān)系的,大都需要借助構(gòu)造方程來(lái)解決例7如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,B90,AB14cm,AD15cm,BC21cm,點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始與古AD邊向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為1厘米/秒，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2厘米/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。（1） 當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MNCD是平行四邊形？（2） 當(dāng)t為何值時(shí)，四邊

10、形MNCD是等腰梯形？【觀察與思考】對(duì)于（1）,當(dāng)四邊形MNCD是平行四邊形時(shí),MD=NC,就以這一相等關(guān)系構(gòu)造關(guān)于t的方程。對(duì)于（2）,畫出四邊形MNCD是等腰梯形的草圖，如圖（2）,作MGBC,垂足為G,作DHBC,垂足為H,此時(shí)應(yīng)有NG=CH,也即CN=MD+2CH。可以用這一相等關(guān)系的構(gòu)造關(guān)于t的方程來(lái)求解。解：（1）MD=15t,CN=2t,令MD=NC,得t的方程15t2t。解得t=5即t=5（秒）時(shí)四邊形MNCD是平行四邊形。（2）CBAD6cm,令CNMD2（CBAD）,得關(guān)于t的方程2t15t26解得t9即t9（秒）時(shí)，四邊形MNCD是等腰梯形。例8如圖，在DABCD中，AB

11、=4,AD=3,DAB60，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿AD-DC-CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線AB的方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)同時(shí)結(jié)束。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。令當(dāng)t(2)若有PQ/BD ,則四邊形DBQP為平行四邊形，即PD=BQ，如圖(1),也即t 3 t 4 ,該方程無(wú)解。(1)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使DPQ成為以DQ為底邊的等腰三角形的時(shí)刻t;(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在時(shí)刻t,使線段PQ和對(duì)角線BD互相平行？若存在，請(qǐng)求出t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PBQ可能成為直角三角形嗎？寫出你的判斷，并說(shuō)明理

12、由；【觀察與思考】以上三個(gè)問(wèn)題，實(shí)際都?xì)w于建立關(guān)于t的方程來(lái)解決。解：(1)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t3。總有PAQ為等邊三角形，即PQAPAQt。3PD=PQ,即3tt,解得t一。23 (秒)時(shí)，DPQ是以DQ為底邊的等腰三角形。2當(dāng)點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，3t7。A不存在這們的時(shí)刻t,使PQ/BD(3)點(diǎn)P在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，7t10若令當(dāng)t(2)BQ。5、借助方程解決某些探索性問(wèn)題例9如圖，每個(gè)正方形點(diǎn)陣均被一直線分成兩個(gè)三角形點(diǎn)陣,根據(jù)圖中提供的信息，用含n的等式表示第n個(gè)正方形點(diǎn)陣中的規(guī)律是1121 3 223 6 926 1042【觀察與思考】 不難發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：第n個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)的總數(shù)為

13、 n2,被分成的兩部分有關(guān)系:下邊部分比上邊部分多n個(gè)點(diǎn).如此一來(lái)，可用構(gòu)造方程來(lái)確定要求的規(guī)律設(shè)第n個(gè)正方形點(diǎn)陣分成的兩部分是x個(gè)點(diǎn)，(x n)個(gè)點(diǎn)，則x(xn)解得 x2n n 2,n2編輯版word解：應(yīng)填:例10欣賞下列的等式:_22222_ 232 42 52,102 1 12 122_22132142寫出一個(gè)由7個(gè)連續(xù)整數(shù)組成，前4個(gè)數(shù)的平方和等于后3個(gè)數(shù)的平方和的等式為:【觀察與思考】關(guān)鍵是如何既簡(jiǎn)練又確切地表示“7個(gè)連續(xù)整數(shù)”，考慮到要計(jì)算“平方和”，那么最好的方法是，設(shè)n為整數(shù)，則7個(gè)連續(xù)整數(shù)表示為：n3,n2,n1,n,n1,n2,n3.如此一來(lái)，可借助方程求出滿足要求的n

14、和7個(gè)整數(shù)來(lái)。設(shè)有,.2222,.、222(n1)(n2)(n3)n(n1)(n2)(n3)2.、2.、22222則n(n1)(n1)(n2)(n2)(n3)(n3)即n212n8n4n,解得n24解：212222232242252262272。【說(shuō)明】某些探索性問(wèn)題，用方程來(lái)解決更準(zhǔn)確、更迅速。關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題有無(wú)構(gòu)造方程的條件，以及如何恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用方程。其實(shí)，方程的作用遠(yuǎn)不止這些。由上可知，必須確立如下的深刻認(rèn)識(shí)：1、對(duì)于求未知數(shù)量值的問(wèn)題，不管是具有實(shí)際背景的，還是純數(shù)學(xué)的；不管是代數(shù)方面的，還是幾何圖形方面的；不管是顯性的，還是較為隱含的，第一條思考解決的途徑都應(yīng)當(dāng)是考慮“構(gòu)造方程”

15、和解方程。2、列出方程的關(guān)鍵是在深入分析題目情景后捕捉到“事關(guān)全局的相等關(guān)系”，以它為基礎(chǔ)再具體化為方程。如上的深刻認(rèn)識(shí)和有效的落實(shí)，才是“方程思想”的深刻表現(xiàn)，才能真正發(fā)揮方程的工具性作用。練習(xí)題1、某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：購(gòu)買香蕉數(shù)（千克）不超過(guò)20千克20千克以上且不超過(guò)40千克40千克以上每千克價(jià)格6元5元4元某人共兩次購(gòu)買50千克香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，請(qǐng)問(wèn)他第一次，第二次分別購(gòu)買香蕉多少千克？2、某人在電車路軌旁與路軌平行的路上騎車行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車從他后面駛向前面，每隔兩分鐘有一部電車從對(duì)面駛向后面。假設(shè)電車和此人行駛的速度都不變（分別為

16、v1,v2表示），請(qǐng)你根據(jù)右面的示意圖,求電車每隔幾分鐘（用t表示）從車站開(kāi)出一部?人車同向示意圖B3、為確保信息安全，信息需要加密偉輸，發(fā)送方將明文加密為密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，已知某種加密規(guī)則為：明文a,b對(duì)應(yīng)的密文為a2b,2ab。例如，明文1,2對(duì)應(yīng)的密文是-3,4。那么當(dāng)接收方收到的密文是1,7時(shí)，解密得到的明文是()A、1,1B、1,3C、3,1D、1,14、直線y2xm與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,若直線AB的長(zhǎng)度等于4*5,求直線的解析式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象。5、如圖，在直角梯形 ABCD中，AD/BC ,C90,BC=16,DC=12,AD=2

17、1。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P, Q分別從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (秒)。(1)當(dāng)t為何值時(shí),B, P, Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?(2)是否存在時(shí)刻t,使得PQ BD ?若存在,6、如圖，拋物線yC,在y軸上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)PA,O為頂點(diǎn)的三角形與CBO相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;7、如圖在RtABC中，A60,E,F分別為邊AB,AC上的點(diǎn)，當(dāng)沿EF將AEF折疊，恰使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處，并且有FDBC時(shí)，點(diǎn)E,F分別在邊AB上和AC上的

18、什么位置?8、如圖Rt ABC中，C 90 AC=6BC=8,點(diǎn)D在AC上,（不與點(diǎn) A, C重合）。點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A, B重合）。如果線段 DE把Rt ABC的周長(zhǎng)和面積都平分成相等的兩部分,請(qǐng)求出 AD和AE的長(zhǎng)。9、星期天，小強(qiáng)騎自行車到郊外與同學(xué)一起游玩。從家出發(fā)2小時(shí)到達(dá) 目的地，游玩3小時(shí)后按原路返回,小強(qiáng)離家4小時(shí)40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強(qiáng)，如圖是他們離家的路程y （千米）與時(shí)間x （時(shí)）的函數(shù)圖象。已知小強(qiáng)騎車的速度為15千米/時(shí)，媽媽駕車的速度為 60千米/時(shí)。（1）小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少千米?（2）媽媽出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與小強(qiáng)相遇？10、根據(jù)以下10 個(gè)乘積，回答答問(wèn)題：11 29;12 28 ；13 27；14 26；15 25；1624；1723；1822；1921；202