1、3.1.43.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示空間向量的正交分解及其坐標表示。，使，實數對共面的充要條件是存在與向量不共線，則向量如果兩個向量byaxpyx,p,baba共線向量定理共線向量定理:復習：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 對空間任意兩個向量 、 （），的充要條件是存在實數 ，使 。有向量的一組基底。）叫做表示這一平面內所、（。，使，一對實數，有且只有任一向量那么對于這一平面內的共線向量，是同一平面內的兩個不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示xyoaijaxiy j(1,0),(0

2、,1),0(0,0).ij問題：問題：p 我們知道，平面內的任意一個向量我們知道，平面內的任意一個向量 都可以用兩個不共線的向量都可以用兩個不共線的向量 來表示（平面來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空間兩兩垂直的向量，那是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量么，對空間任一向量 ，存在一個有序實數組，存在一個有序實數組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在

3、 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ，能得出類似的，能得出類似的 結論：結論：, ,a b c , ,i j k 任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。空間向量基本定理：空間向量基本定理： 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序實數組x，y，z使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做基向量都叫做基向量, ,a b c （1

4、）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特別提示：對于基底特別提示：對于基底a,b,c,除了應知道除了應知道a,b,c不共面，不共面， 還應明確：還應明確： （2） 由于可視由于可視 為與任意一個向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，為與任意一個向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是就隱含著它們都不是 。00（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關連的）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關連的不同概念。不同概念。一、空間直角坐標

5、系一、空間直角坐標系 單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這，則這個基底叫做單位正交基底個基底叫做單位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表示表示 空間直角坐標系：在空間選定一點空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底和一個單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點以點O為原點，分為原點，分別以別以e1,e2,e3的正方向建立三條數軸：的正方向建立三條數軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標軸軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一這樣就建立了一個空間直角坐標系個空間直角坐標系O-xy

6、z 點點O叫做原點，向量叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標向量都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。 給定一個空間坐標系和向量給定一個空間坐標系和向量 ,且設且設e1,e2,e3為坐標為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序數組有序數組( x, y, z)叫做叫做p在空間直角坐標系在空間直角坐標系O-xyz中的坐中的坐標，記作標，記作.P=(x,y,z)二、空間向量的直角坐標系二、空間向量的直角坐標系pxyzOe1e2e3p

7、 在空間直角坐標系在空間直角坐標系O-xyz中，對空間任一點中，對空間任一點A,對應一個向量對應一個向量OA，于是存在唯，于是存在唯一的有序實數組一的有序實數組x,y,z，使，使 OA=x e1+y e2+z e3 在單位正交基底在單位正交基底e1, e2, e3中與向量中與向量OA對應的有對應的有序實數組序實數組(x,y,z)，叫做點，叫做點A在此空間直角坐標系中的在此空間直角坐標系中的坐標，記作坐標，記作A(x,y,z)，其中，其中x叫做點叫做點A的橫坐標，的橫坐標，y叫叫做點做點A的縱坐標，的縱坐標，z叫做點叫做點A的豎坐標的豎坐標.xyzOA(x,y,z)e1e2e3練習：練習：1、在空間坐標系、在空間坐標系o-xyz中，中， ( 分別是與分別是與x軸、軸、 y軸、軸、 z軸的正方向相同的單位軸的正方向相同的單位向量向量)則則 的坐標為的坐標為 。2、點、點M（2，-3，-4）在坐標平面）在坐標平面xoy、xoz、yoz內的正投影的坐標分別為內的正投影的坐標分別為 ，關于原，關于原點的對稱點為點的對稱點為 ，關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為 ，2