1、第一章 集合與函數概念一、集合有關概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：1)元素的確定性如：世界上最高的山2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y 3)元素的無序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3.集合的表示： 如：我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。u 注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集） 記作：N正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R1） 列舉法：a,b,c2） 描述法：將集合中的元素的公共屬性

2、描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。xÎR| x-3>2 ,x| x-3>23） 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn圖:4、集合的分類：(1) 有限集 含有有限個元素的集合(2) 無限集 含有無限個元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關系：A=B (55，且55，則5=5)實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”即： 任何一

3、個集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所

4、組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）SA記作，即CSA=韋恩圖示SA性 質AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 例題：1.下列四組對象，能構成集合的是 （ ）A某班所有高個子的學生 B著名的藝術家 C一切很大的書 D 倒數等于它自身的實數2.集合a，b，c 的真子集共有 個 3.若集合M=y|y=x2-2

5、x+1,xR,N=x|x0，則M與N的關系是 .4.設集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是 5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有 人。6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值(1)已知A=x | -3<x<5,B=x | x<a,若滿足A Í B,則實數a的取值范圍是 ;(2)已知集合=x |

6、 x2+x-6=0,集合 =y | ay+1=0,若滿足B Í A,則實數a所能取的一切值為 .（3）已知集合，且滿足，求實數的取值范圍。二、函數的有關概念1函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域注意：1定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要

7、依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.u 相同函數的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一致 (兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2值域 : 先考慮其定義域(1)觀察法 (2)配方法(3)代換法3. 函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f

8、(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法A、 描點法：B、 圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換4區間的概念（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表示5映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就

9、稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數 (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復合函數如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則 y=fg(x)=F(x)(xA) 稱為f、g的復合函數。二函數的性質1.函數的單調性(

10、局部性質)（1）增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2） 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左

11、到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 8函數的奇偶性（整體性質）（1）偶函數一般地，對于函數f(

12、x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數（2）奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數奇偶性的步驟：首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；確定f(x)與f(x)的關系；作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函

13、數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .9、函數的解析表達式（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）求函數的解析式的主要方法有：1) 湊配法2) 待定系數法3) 換元法4) 消參法10函數最大（?。┲担ǘx見課本p36頁） 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（?。┲?利用圖象求函數的最大（?。┲?利用函數單調性的判斷函數

14、的最大（?。┲担喝绻瘮祔=f(x)在區間a，b上單調遞增，在區間b，c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞減，在區間b，c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：1.求下列函數的定義域： 2.設函數的定義域為，則函數的定義域為_ _ 3.若函數的定義域為，則函數的定義域是 4.函數 ，若，則= 5.求下列函數的值域： (3) (4)6.已知函數，求函數，的解析式7.已知函數滿足，則= 。8.設是R上的奇函數，且當時,則當時= 在R上的解析式為 9.求下列函數的單調區間： 10.判斷函數的單調性并證明你的結論11

15、.設函數判斷它的奇偶性并且求證：（數學1必修）第一章（上） 集合基礎訓練A組一、選擇題1下列各項中，不可以組成集合的是（ ）A所有的正數 B等于的數 C接近于的數 D不等于的偶數2下列四個集合中，是空集的是（ ）A BC DABC3下列表示圖形中的陰影部分的是（ ）ABCD 4下面有四個命題：（1）集合中最小的數是；（2）若不屬于，則屬于；（3）若則的最小值為；（4）的解可表示為；其中正確命題的個數為（ ）A個 B個 C個 D個5若集合中的元素是的三邊長，則一定不是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形6若全集，則集合的真子集共有（ ）A個 B個 C個 D個二、填空題1用

16、符號“”或“”填空（1）_, _, _（2）（是個無理數）（3）_2. 若集合，則的非空子集的個數為 。3若集合，則_4設集合,且，則實數的取值范圍是 。5已知，則_。三、解答題1已知集合，試用列舉法表示集合。2已知，,求的取值范圍。3已知集合，若，求實數的值。4設全集，（數學1必修）第一章（上） 集合綜合訓練B組一、選擇題1下列命題正確的有（ ）（1）很小的實數可以構成集合；（2）集合與集合是同一個集合；（3）這些數組成的集合有個元素；（4）集合是指第二和第四象限內的點集。A個 B個 C個 D個2若集合，且，則的值為（ ）A B C或 D或或3若集合，則有（ ）A B C D4方程組的解集是

17、（ ）A B C D。5下列式子中，正確的是（ ）A BC空集是任何集合的真子集 D6下列表述中錯誤的是（ ）A若 B若CD二、填空題1用適當的符號填空（1）（2），（3）2設則。3某班有學生人，其中體育愛好者人，音樂愛好者人，還有人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數為 人。4若且，則 。5已知集合至多有一個元素，則的取值范圍 ；若至少有一個元素，則的取值范圍 。三、解答題1設2設,其中,如果，求實數的取值范圍。 3集合，滿足，求實數的值。4設，集合，；若，求的值。（數學1必修）第一章（上） 集合 提高訓練C組一、選擇題1若集合，下列關系式中成立的為（ ） A B C

18、D2名同學參加跳遠和鉛球測驗，跳遠和鉛球測驗成績分別為及格人和人，項測驗成績均不及格的有人，項測驗成績都及格的人數是（ ）A B C D 3已知集合則實數的取值范圍是（ ）A B C D4下列說法中，正確的是（ ）A 任何一個集合必有兩個子集； B 若則中至少有一個為C 任何集合必有一個真子集； D 若為全集，且則5若為全集，下面三個命題中真命題的個數是（ ）（1）若 （2）若（3）若A個 B個 C個 D個6設集合，則（ ）A B C D 7設集合，則集合（ ） A B C D 二、填空題1已知，則。2用列舉法表示集合：= 。3若，則= 。4設集合則 。5設全集,集合，,那么等于_。三、解答題

19、1若2已知集合,且,求的取值范圍。3全集，如果則這樣的實數是否存在？若存在，求出；若不存在，請說明理由。4設集合求集合的所有非空子集元素和的和。（數學1必修）第一章（中） 函數及其表示基礎訓練A組一、選擇題1判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為（ ），；，；，；，；，。A、 B、 C D、2函數的圖象與直線的公共點數目是（ ）A B C或 D或3已知集合，且使中元素和中的元素對應，則的值分別為（ ）A B C D4已知，若，則的值是（ ）A B或 C，或 D5為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象適當平移，這個平移是（ ）A沿軸向右平移個單位 B沿軸向右平移個單位C沿軸向左平移個單位 D沿軸向

20、左平移個單位6設則的值為（ ）A B C D二、填空題1設函數則實數的取值范圍是 。2函數的定義域 。3若二次函數的圖象與x軸交于，且函數的最大值為，則這個二次函數的表達式是 。4函數的定義域是_。5函數的最小值是_。三、解答題1求函數的定義域。2求函數的值域。3是關于的一元二次方程的兩個實根，又，求的解析式及此函數的定義域。4已知函數在有最大值和最小值，求、的值。（數學1必修）第一章（中） 函數及其表示 綜合訓練B組一、選擇題1設函數，則的表達式是（ ）A B C D2函數滿足則常數等于（ ）A B C D3已知，那么等于（ ）A B C D4已知函數定義域是，則的定義域是（ ）A B. C

21、. D. 5函數的值域是（ ）A B C D6已知，則的解析式為（ ）A B C D二、填空題1若函數，則= 2若函數，則= .3函數的值域是 。4已知，則不等式的解集是 。5設函數，當時，的值有正有負，則實數的范圍 。三、解答題1設是方程的兩實根,當為何值時, 有最小值?求出這個最小值.2求下列函數的定義域（1） （2）（3）3求下列函數的值域（1） （2） （3）4作出函數的圖象。函數及其表示提高訓練C組一、選擇題1若集合，則是( )A B. C. D.有限集2已知函數的圖象關于直線對稱，且當時，有則當時，的解析式為（ ）A B C D3函數的圖象是（ ）4若函數的定義域為,值域為，則的取

22、值范圍是（ ）A B C D5若函數，則對任意實數，下列不等式總成立的是（ ）A BC D6函數的值域是（ ）A B C D 二、填空題1函數的定義域為，值域為，則滿足條件的實數組成的集合是 。2設函數的定義域為，則函數的定義域為_。3當時，函數取得最小值。4二次函數的圖象經過三點，則這個二次函數的解析式為 。5已知函數，若,則 。三、解答題1求函數的值域。2利用判別式方法求函數的值域。3已知為常數，若則求的值。4對于任意實數，函數恒為正值，求的取值范圍。（數學1必修）第一章（下） 函數的基本性質基礎訓練A組一、選擇題1已知函數為偶函數，則的值是（ ）A. B. C. D. 2若偶函數在上是增

23、函數，則下列關系式中成立的是（ ）A BC D3如果奇函數在區間 上是增函數且最大值為，那么在區間上是（ ）A增函數且最小值是 B增函數且最大值是C減函數且最大值是 D減函數且最小值是4設是定義在上的一個函數，則函數在上一定是（ ）A奇函數 B偶函數 C既是奇函數又是偶函數 D非奇非偶函數。5下列函數中,在區間上是增函數的是（ ）A B C D6函數是（ ）A是奇函數又是減函數 B是奇函數但不是減函數 C是減函數但不是奇函數 D不是奇函數也不是減函數二、填空題1設奇函數的定義域為，若當時， 的圖象如右圖,則不等式的解是 2函數的值域是_。3已知，則函數的值域是 .4若函數是偶函數，則的遞減區間

24、是 .5下列四個命題（1）有意義; （2）函數是其定義域到值域的映射;（3）函數的圖象是一直線；（4）函數的圖象是拋物線，其中正確的命題個數是_。三、解答題1判斷一次函數反比例函數，二次函數的單調性。2已知函數的定義域為，且同時滿足下列條件：（1）是奇函數；（2）在定義域上單調遞減；（3）求的取值范圍。3利用函數的單調性求函數的值域；4已知函數. 當時，求函數的最大值和最小值； 求實數的取值范圍，使在區間上是單調函數。（數學1必修）第一章（下） 函數的基本性質綜合訓練B組一、選擇題1下列判斷正確的是（ ）A函數是奇函數 B函數是偶函數C函數是非奇非偶函數 D函數既是奇函數又是偶函數2若函數在上

25、是單調函數，則的取值范圍是（ ） A B C D3函數的值域為（ ）A B C D4已知函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是（ ）A B C D5下列四個命題：(1)函數在時是增函數，也是增函數，所以是增函數；(2)若函數與軸沒有交點，則且；(3) 的遞增區間為；(4) 和表示相等函數。其中正確命題的個數是( )A B C Ddd0t0 tOAdd0t0 tOBdd0t0 tOCdd0t0 tOD6某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下圖中縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發后的時間，則下圖中的四個圖形中較符合該學生走法的是（ ）二、填空題1函數的單調

26、遞減區間是_。2已知定義在上的奇函數，當時，那么時， .3若函數在上是奇函數,則的解析式為_.4奇函數在區間上是增函數，在區間上的最大值為，最小值為，則_。5若函數在上是減函數，則的取值范圍為_。三、解答題1判斷下列函數的奇偶性（1） （2）2已知函數的定義域為，且對任意，都有，且當時，恒成立，證明：（1）函數是上的減函數；（2）函數是奇函數。 3設函數與的定義域是且,是偶函數, 是奇函數,且,求和的解析式.4設為實數，函數，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值。（數學1必修）第一章（下） 函數的基本性質提高訓練C組一、選擇題1已知函數，則的奇偶性依次為（ ）A偶函數，奇函數 B奇函數，偶函數

27、C偶函數，偶函數 D奇函數，奇函數2若是偶函數，其定義域為，且在上是減函數，則的大小關系是（ ）A> B< C D3已知在區間上是增函數，則的范圍是（ ）A. B. C. D.4設是奇函數，且在內是增函數，又，則的解集是（ ）A B C D5已知其中為常數，若，則的值等于( )A B C D6函數,則下列坐標表示的點一定在函數f(x)圖象上的是（ ）A B C D 二、填空題1設是上的奇函數，且當時，則當時_。2若函數在上為增函數,則實數的取值范圍是 。3已知，那么_。4若在區間上是增函數，則的取值范圍是 。5函數的值域為_。三、解答題1已知函數的定義域是，且滿足,如果對于,都有,

28、（1）求；（2）解不等式。2當時，求函數的最小值。3已知在區間內有一最大值，求的值.4已知函數的最大值不大于，又當，求的值。（數學1必修）第一章（上） 提高訓練C組一、選擇題 1. D 1. B 全班分類人：設兩項測驗成績都及格的人數為人；僅跳遠及格的人數為人；僅鉛球及格的人數為人；既不愛好體育又不愛好音樂的人數為人 。，。3. C 由，；4. D 選項A：僅有一個子集，選項B：僅說明集合無公共元素，選項C：無真子集，選項D的證明：，；同理， ；5. D （1）；（2）；（3）證明：，；同理， ；6. B ；，整數的范圍大于奇數的范圍7B 二、填空題1. 2. （的約數）3. ， 4. 5. ，代表直線上，但是挖掉點，代表直線外，但是包含點；代表直線外，代表直線上，。三、解答題1. 解：， 2. 解：，當時，而 則 這是矛盾的；當時，而，則； 當時，而，則； 3. 解：由得，即， ， 4. 解：含有的子集有個；含有的子集有個；含有的子集有個；，含有的子集有個，。（數學1必修）第一章（中） 提高訓練C組一、選擇題 1. B 2. D 設，則，而圖象關于對稱，得，所以。3. D 4. C 作出圖象 的移動必須使圖象到達最低點5. A 作出圖象 圖象分